Конспект занятия Обратные тригонометрические функции

Тема: Обратные тригонометрические функции. Примеры использования обратных тригонометрических функций.

Цель: формирование алгоритма вычислений значений тригонометрических выражений, в которых участвуют обратные тригонометрические функции и применение алгоритма для решения более сложных задач.

Задачи:

1. Научить применять определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса для нахождения значений выражений, содержащих аркфункции.

2. Составить алгоритм вычисления синуса, косинуса, косинуса, тангенса и котангенса то арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

3. Формировать способность оценивать поставленную задачу и по результатам анализа научить составлять алгоритм действий по решению новой задачи.

Ход занятия:

I. Актуализация знаний.

1. На уроках мы с вами занимались изучением обратных тригонометрических функций.

• Какие обратные тригонометрические функции вы знаете?

(y=arcsin x, x [-1;1]; y=, x [-1;1]; y=arctg x, x [-;+]; y=arcctg x, x [-;+])

• Дайте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a.

(arcsin a=?, где a [-1;1], а ? [-/2; /2]; arccos a= ?, где a [-1;1], а [0; ]; arctg a= , где a [-;+], а [-/2; /2]; arcctg a = , где a [-;+], а [0; ])

• Перечислите формулы для арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по группам.

  • (sin (arcsin a)=a, a [-1;1]; cos(arccos a)=a, a [-1;1]; tg(arctg a)=a, a [-;+]; ctg(arcctga)=a, a [-;+]).

  • arcsin(sin )= , [-/2; /2];arccos(cos )= , [0; ]; arctg(tg )= , [-/2; /2]; arcctg(ctg )= , [0; ].

2. Распределите данные выражения на 2 группы, при решении которых может быть использована та или иная группа формул.

Значения каких выражений могли бы найти устно? Каких нет? Почему? Какова же цель нашего урока? (Цель: нахождение способа решений выражений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, аргументами, которых являются арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.)

II. Формирование алгоритма по решению задач нового типа:

III. Решение задач повышенной сложности

Обратные тригонометрические функции имеют широкое применение в математическом анализе. Однако у большинства старшеклассников задачи, связанные с данным видом функций, вызывают значительные затруднения. В основном это связано с тем, что во многих учебниках и учебных пособиях задачам такого вида уделяется слишком мало внимания. И если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся хоть как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие такие функции, в большинстве своем ставят ребят в тупик. На самом деле, в этом нет ничего удивительного, ведь практически ни в одном учебнике не объясняется методика решения даже самых простейших уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим несколько уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, и решим их с подробным объяснением.

Пример 1.

Решить уравнение: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Решение.

Выразим из уравнения обратную тригонометрическую функцию, получим:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Теперь воспользуемся определением арккосинуса.

Арккосинусом некоторого числа a, принадлежащего отрезку от -1 до 1, является такой угол y из отрезка от 0 до π, что его косинус и равен числу x. Поэтому можно записать так:

2x + 3 = cos 5π/6.

Распишем правую часть полученного уравнения по формуле приведения:

2x + 3 = cos (π - π/6).

Имеем:

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 - √3/2.

Приведем правую часть к общему знаменателю.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Ответ: -(6 + √3) / 4.

Пример 2.

Решить уравнение: cos (arccos (4x - 9)) = x² - 5x + 5.

Решение.

Так как cos (arcсos x) = x при x принадлежащем [-1; 1], то данное уравнение равносильно системе:

{4x - 9 = x² - 5x + 5,

{-1 ≤ 4x - 9 ≤ 1.

Решим уравнение, входящее в систему.

4x - 9 = x² - 5x + 5.

Оно квадратное, поэтому получим, что

x² - 9x + 14 = 0;

D = 81 - 4 · 14 = 25;

x₁ = (9 + 5) / 2 = 7;

x₂ = (9 - 5) / 2 = 2.

Решим двойное неравенство, входящее в систему.

-1 ≤ 4x - 9 ≤ 1. Прибавим ко всем частям 9, будем иметь:

8 ≤ 4x ≤ 10. Разделим каждое число на 4, получим:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Теперь объединим полученные ответы. Легко видеть, что корень x = 7 не удовлетворяет ответу неравенства. Поэтому единственным решением уравнения будет x = 2.

Ответ: 2.

Пример 3.

Решить уравнение: tg (arctg (0,5 - x)) = x² - 4x + 2,5.

Решение.

Так как tg (arctg x) = x при всех действительных числах, то данное уравнение равносильно уравнению:

0,5 - x = x² - 4x + 2,5.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта, предварительно приведя его в стандартный вид.

x² - 3x + 2 = 0;

D = 9 - 4 · 2 = 1;

x₁ = (3 + 1) / 2 = 2;

x₂ = (3 - 1) / 2 = 1.

Ответ: 1; 2.

Пример 4.

Решить уравнение: arcctg (2x - 1) = arcctg (x²/2 + x/2).

Решение.

Так как arcctg f(x) = arcctg g(x) тогда и только тогда, когда f(x) = g(x), то

2x - 1 = x²/2 + x/2. Решим полученное квадратное уравнение:

4x - 2 = x² + x;

x² - 3x + 2 = 0.

По теореме Виета получим, что

x = 1 или x = 2.

Ответ: 1; 2.

Пример 5.

Решить уравнение: arcsin (2x - 15) = arcsin (x² - 6x - 8).

Решение.

Так как уравнение вида arcsin f(x) = arcsin g(x) равносильно системе

{f(x) = g(x),

{f(x) € [-1; 1],

то исходное уравнение равносильно системе:

{2x - 15 = x² - 6x + 8,

{-1 ≤ 2x - 15 ≤ 1.

Решим полученную систему:

{x² - 8x + 7 = 0,

{14 ≤ 2x ≤ 16.

Из первого уравнения по теореме Виета имеем, что x = 1 или x = 7. Решая второе неравенство системы, получаем, что 7 ≤ x ≤ 8. Поэтому в окончательный ответ подходит только корень x = 7.

Ответ: 7.

Пример 6.

Решить уравнение: (arccos x)² - 6 arccos x + 8 = 0.

Решение.

Пусть arccos x = t, тогда t принадлежит отрезку [0; π] и уравнение принимает вид:

t² - 6t + 8 = 0. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета, получим, что t = 2 или t = 4.

Так как t = 4 не принадлежит отрезку [0; π], то получим, что t = 2, т.е. arccos x = 2, а значит x = cos 2.

Ответ: cos 2.

Пример 7.

Решить уравнение: (arcsin x)² + (arccos x)² = 5π²/36.

Решение.

Воспользуемся равенством arcsin x + arccos x = π/2 и запишем уравнение в виде

(arcsin x)² + (π/2 - arcsin x)² = 5π²/36.

Пусть arcsin x = t, тогда t принадлежит отрезку [-π/2; π/2] и уравнение принимает вид:

t² + (π/2 - t)² = 5π²/36.

Решим полученное уравнение:

t² + π²/4 - πt + t² = 5π²/36;

2t² - πt + 9π²/36 - 5π²/36 = 0;

2t² - πt + 4π²/36 = 0;

2t² - πt + π²/9 = 0. Умножим каждое слагаемое на 9, чтобы избавиться от дробей в уравнении, получим:

18t² - 9πt + π² = 0.

Найдем дискриминант и решим полученное уравнение:

D = (-9π)² - 4 · 18 · π² = 9π².

t = (9π - 3π) / 2 · 18 или t = (9π + 3π) / 2 · 18;

t = 6π/36 или t = 12π/36.

После сокращения имеем:

t = π/6 или t = π/3. Тогда

arcsin x = π/6 или arcsin x = π/3.

Таким образом, x = sin π/6 или x = sin π/3. То есть x = 1/2 или x =√3/2.

Ответ: 1/2; √3/2.

Пример 8.

Найти значение выражения 5nx₀, где n - количество корней, а x₀ - отрицательный корень уравнения 2 arcsin x = - π - (x + 1)².

Решение.

Так как -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, то -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Кроме того, (x + 1)² ≥ 0 при всех действительных x,

тогда -(x + 1)² ≤ 0 и -π - (x + 1)² ≤ -π.

Таким образом, уравнение может иметь решение, если обе его части одновременно равны -π , т.е. уравнение равносильно системе:

{2 arcsin x = -π,

{-π - (x + 1)² = -π.

Решим полученную систему уравнений:

{arcsin x = -π/2,

{(x + 1)² = 0.

Из второго уравнения имеем, что x = -1, соответственно n = 1, тогда 5nx₀ = 5 · 1 · (-1) = -5.

IV. Итог занятия