Федеральное агентство по образованию

ГОУ СПО «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

М Е Т О Д И Ч Е С К А Я Р А З Р А Б О Т К А

открытого урока по теме «МНОГОГРАННИКИ. ПРИЗМА»

Дисциплина «Математика»

Самара 2009

ОДОБРЕНА Составлена в соответствии с

Предметной Государственными требованиями

(цикловой) к минимуму содержания

комиссией и уровню подготовки

по специальности выпускника

Афонина Н.Е._______ Рекомендовано к изданию

«____»_________2009г. решением методического

совета № _____

от «____»___________ 2009г.

Председатель совета

зам. директора по научно-

методической и

инновационной работе

________________Нисман О.Ю.

Разработала: Председатель ПЦМК

математики Афонина Н.Е.

Преподаватель

математики Амукова С.Н.

Рецензент: Методист

ГОУ СПО «СГППК»

Данная методическая разработка адресована преподавателям математики для проведения уроков итогового тематического контроля по дисциплине «Математика». Методическая разработка нацелена на повышение качества усвоения новых знаний студентами.

ВВЕДЕНИЕ

Последнее время для средних специальных образовательных учреждений особо остро встает вопрос о необходимости повышения качества образования. Одним из способов повышения качества образования является проведение открытых мероприятий, на которых студенты могут получить оценку своих знаний по данной теме комиссией, состоящей из преподавателей математики.

На данном занятии студенты знакомятся с многогранниками, свойствами.

Разнообразные виды деятельности, используемые на занятии, способствуют формированию полноты, глубины, оперативности, конкретности и обобщённости, системности знаний.

Наглядные пособия вносит элемент разнообразия в учебный процесс, вызывает особое оживление у студентов, стимулирует их активность, обостряет внимание и формирует интерес к изучаемой теме и математике в целом.

ТЕМА УРОКА И ЕГО ЦЕЛИ

Тема «Многогранники. Призма»

Форма урока: урок-экскурсия.

Цели урока:

образовательные:

• усвоение новых знаний по теме «Многогранники»;

• формирование знаний, умений и навыков по распознаванию видов многогранника, вычислению площади и объёма призмы;

• выяснение роли многогранников в развитии общества;

• показ целостности и гармонии окружающего мира.

развивающие:

• развитие логического и эвристического мышления, устойчивости внимания, познавательной активности, пространственного воображения;

• развитие математических способностей студентов и интереса к предмету;

воспитывающие:

• воспитание целеустремлённости, настойчивости;

• воспитание самостоятельности в поисках и выборе пути решения задач;

• воспитание любви к прекрасному, математике;

• побуждение учащихся само- и взаимоконтролю.

• воспитание чувства ответственности за качество выполняемой работы.

Оборудование: мультимедийное обеспечение, чертёжные инструменты, модели многогранников, сопроводительные рисунки к этапам урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Мотивация и сообщение темы урока

1) Ввод в сюжет.

Ребята, я вам предлагаю сегодня совершить маленькое путешествие во времени и посетить страну «Геометрия», в частности, город «Многогранники». С вашего позволения я буду экскурсоводом нашего путешествия.

Геометрия - одна из самых, а может, самая древняя наука, её возраст исчисляется тясячелетиями. В геометрии много формул, фигур, теорем, задач, аксиом. Это своего рода «автографы», оставленные учёнными своим потомкам. Они вечны, так как на них запечатлены великие идеи, не проходящие идеи».

Страна «Геометрия» славится серией достопримечательностей. Сегодня мы рассмотрим фигуры, которые отличаются специфической конструкцией, познакомимся с основными видами геометрических достопримечательностей, сделанных в стиле многогранности и вы сможете различить в дальнейшем данный вид архитектуры.

Итак, мы подъезжаем к границам страны «Геометрия».

Уважаемые господа студенты, нам необходимо будет пройти контроль перед въездом в страну.

2) Устный опрос (въезд в страну).

1. Что такое стереометрия?

2. Без каких основных объектов не может существовать стереометрия?

3. Что такое многоугольник?

4. Что можно определить у многоугольника?

5. Какой многоугольник называется правильным?

6. Как можно определить площадь квадрата, если известна сторона?

7. Какой физической формулой связаны масса, плотность и объём?

Итак, мы держим путь в город «Многогранники».

IV. Объяснение темы.

Многие строения в окружающем нас мире, в частности, пирамида Хеопса, имеют форму многогранников. Поэтому для лучшей эксплуатации и моделирования зданий нужно изучить свойства многогранников.

Итак, мы с вами едем по городу «Многогранники».

Посмотрите, пожалуйста, направо. Справа от вас остаётся серия достопримечательностей, которая носит название «Многогранники» (модели выпуклых и невыпуклых многогранников). Здесь мы сделаем первую остановку.

1) Остановка «Многогранники»

Что же является характерной чертой данных объектов? Обратите внимание, что каждая поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Многогранник - это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности.

Вопрос: Из чего состоит поверхность многогранника? (из многоугольников.)

Вывод: Многоугольники - это грани.

Вопрос: Что такое многоугольник? (это плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков.)

Вывод: прямолинейные отрезки - это рёбра, а концы рёбер - это вершины.

Отрезок, соединяющий две не соседние вершины одной грани, называется диагональю грани, а отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, - это диагональ многогранника. (показ на примере уже известного многогранника - куба)

Повсюду мы встречаемся с многогранниками: здания архитектуры, ювелирные изделия, многогранная обработка сувениров и т.д.

Многие многогранники изобрёл не человек, а создала природа в виде кристаллов, соли - куб, льда, хрусталя - «заточенная» с двух сторон призма.

Посмотрите, пожалуйста, вперёд. Здесь вы видите более сложные по виду многогранники.

2) Остановка «ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ»

Итак, наш путь продолжается. Посмотрите, пожалуйста, налево. Здесь вы видите серию многогранников, которые носят название «Правильные многогранники». Они характеризуются тем, что грани этих фигур - это правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число рёбер.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452-1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадоре Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего - нет, он «подсмотрел» их у природы. Послушаем сообщение … «Правильные многогранники»:

«Всего существуют пять типов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «ЭДРА» - ГРАНЬ,

«ТЕТРА» - 4,

«ГЕКСА» - 6,

«ОКТА» - 8,

«ИКОСА» - 20,

«ДОДЕКА» - 12.

Великий древнегреческий ученый Платон, живший в IV-V вв. до н. э., считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. Человечеству были известны четыре сущности (стихии): огонь, вода, земля и воздух. По мнению Платона, их атомы имели вид правильных многогранников: огня - тетраэдр, земли - гексаэдр, воздуха - октаэдр, воды - икосаэдр.

Но оставался еще додекаэдр. Платон предположил, что существует еще одна сущность, так называемый, мировой эфир, атомы которого имеют вид додекаэдра, т.е. «всё сущее». Платон и его ученики в своих работах уделяли большое внимание правильным многогранникам, и поэтому их ещё называют «платоновыми телами».

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма кристаллов. Взять, например, поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Кристаллы сернистого колчедана имеют форму додекаэдра.

Свойства этих многогранников изучали ученые и священники; их модели можно увидеть в работах архитекторов и ювелиров, им приписывались различные магические и целебные свойства.»

Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

3) Остановка «ПРИЗМА»

Простейшим многогранником является призма.

Следующая остановка состоится в районе фигур призма.

Призма - это многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, - боковые ребрами призмы.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы. (Показ объектов на примере треугольной призмы.)

Призма называется n-угольной, если её основания - n-угольники.

Каждый, кто посетил город «Многогранники», должен знать фокус Эйлера. В чём же он заключается?

Задание 1. Постройте n-угольную призму и определите основные объекты. Посчитайте количество граней, вершин и рёбер (Г, Р, В).

Определите по формуле Г+В-Р число. (должно получиться 2).

Формула Г+В-Р=2 является характеристическим свойством не только для призм, но и для всех выпуклых многогранников (теорема Эйлера).

ТЕОРЕМА. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

, - периметр основания призмы, - длина боковых ребер.

ОБЪЁМ ПРИЗМЫ

Объём любой призмы равен произведению площади её основания на высоту: .

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Параллелепипед - призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Рис.1 Рис.2

прямой параллелепипед наклонный параллелепипед

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащим.

ТЕОРЕМА. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Прямоугольный параллелепипед - это прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники.

Куб - прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами. У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

Свойства диагоналей:

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

2. Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Задание 2.

Известны три измерения прямоугольного параллелепипеда. Определите диагональ параллелепипеда.

ТЕОРЕМА. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту, т.е. на длину бокового ребра.

Объём прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, c вычисляется по формуле V=abc.

Объём любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Задание 3.

Стр. 76: №38,

№17,

№20.

Стр. 106: №1,

№5.

V. Итоги урока.

Подходит к концу наша экскурсия по стране «Многогранники», подведём итоги.

- С какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились?

- Какая особенность характерна для правильных многогранников?

- В чём заключается теорема Эйлера?

- Что такое призма? Основные её объекты.

- Как определяется боковая поверхность призмы?

- Как определяется объём призмы?

VI. Домашнее задание.

• Изготовить модель многогранника из подручных средств (бумага, дерево, проволока и т.п.).

• Создать презентацию по теме «Многогранники и их применение».

• Теоретический материал на стр. 61- 65

• №17, № 35

- Уважаемые ребята и гости, подошла к концу наше путешествие по стране «Геометрия». Я, надеюсь, что вам понравилась наша экскурсия, и вы узнали много нового и интересного. Спасибо за внимание.

Список литературы

1. В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», Просвещение 1990 г.

2. Тесты «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс, Дрофа 2001 г.

3. Высшая математика для экономистов под редакцией - А.Н. Романова, Москва 2002 г.

4. Л.В. Кузнецова. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс основной школы.