Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)

Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)

Тип урока: урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения, формирования знаний, умений, навыков.

Девиз урока: Не стыдно не знать, стыдно не учиться.

Цели урока:

• Обучающие: повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.

• Развивающие: развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память.

• Воспитательные: воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу, осуществление подготовки к ЕНТ.

План конспект урока.

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний учащихся.

1.Устная работа с классом на повторение определений и свойств:

1. Что называется криволинейной трапецией?
2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х².
3. В чем заключается признак постоянства функции?
4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на хI?
5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.
6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?
7. В чем заключается основное свойство первообразной?
8. Чему равна первообразная для функции f(х)=.
9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их
первообразных»?
10. Что называется неопределенным интегралом?

11.Что называется определенным интегралом?

12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.

Ответы
1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.
2. F(x)=x³/3+С.
3. Если F`(x₀)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) - постоянная на этом промежутке.
4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).
5. F(x)= - cosx+C.
6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.
7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде
F(x)+C, где F(x) - одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С -
произвольная постоянная.
8. F(x)=2+C.
9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.
10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).

11. Разность значений первообразной функции в точках b и a для функции у = f (x) на промежутке [a; b] называется определенным интегралом функции f(x) на промежутке [a; b] .

12..Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.

Применение интеграла. (дополнительно записать в тетрадях)

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла

s - перемещение,
,
А - ускорение

a(t) =

A - работа,
F - сила,
N - мощность

F(x) = A'(x)
N(t) = A'(t)

m - масса тонкого стержня,
- линейная плотность

(x) = m'(x)

q - электрический заряд,

I -сила тока

I(t) = q(t)

Q - количество теплоты
с - теплоемкость

c(t) = Q'(t)

Правила вычисления первообразных

- Если F - первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.
-Если F - первообразная для f, a k - постоянная, то kF есть первообразная для kf.
-Если F(x) -первообразная для f(x), ak, b - постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).
^ 4) - формула Ньютона-Лейбница.
5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке [a;b] функций и таких, что для всех x [a;b] вычисляется по формуле
6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:
или

Найдите неопределенный интеграл: (устно)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ответы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

III Решение заданий с классом 1. Вычислите определенный интеграл: ( в тетрадях, один учащийся на доске)

1) ;
2); 3) .

Задачи по рисункам с решениями:

№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x³, y=0, x=-3, x=1.

Решение.

0 1 0 1

-∫ х³ dx + ∫ x³ dx = - (x⁴/4) | + (x⁴ /4) | = (-3)⁴ /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5

-3 0 -3 0

№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x³+1, у=0, x=0

Решение.

(3/4)

№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х², у=0,

Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.

(10 2/3)

№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x, у=0, x=0, x=п/2

Решение.

F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cosп/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2

Вычислите площадь криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.

д)

3. Вычислите по рисункам площади заштрихованных фигур ( самостоятельная работа в парах ) Задание: вычислите площадь заштрихованной фигуры

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

III Итоги урока.

а) рефлексия: -Какие выводы от урока вы сделали для себя?

- Есть ли каждому над чем поработать самостоятельно?

- Полезен ли был для вас урок?

б) анализ работы учащихся

в) Дома: повторить, свойства все формулы первообразных, формулы нахождения площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения. № 136 (Шыныбеков)