Методика опережающего знакомства с теоремой Виета при решении квадратных уравнений общего вида

Методика опережающего знакомства

с теоремой Виета при решении квадратных

уравнений общего вида

Хорошо известно, что при изучении темы: «Квадратные уравнения», сначала идет знакомство с универсальной методикой решения, а затем с теоремой Виета. При этом возникает проблема, состоящая в том, что, овладев навыками решения квадратных уравнений через дискриминант, ребята неохотно применяют теорему Виета на практике. Их логика такова: «Я и так решу любое квадратное уравнение. Зачем мне еще теорема Виета?» При этом любые доводы о том, что с теоремой Виета решать многие квадратные уравнения быстрее, для подавляющего большинства учащихся, кажутся неубедительными. Им «мешает» универсальная методика.

Поэтому я решила попробовать научить ребят решать квадратные уравнения с помощью теоремы Виета до знакомства с универсальной методикой.

После первого урока по теме «Квадратные корни», учащимся объявляется цель изучения этой темы, а цель - научиться решать уравнения вида:

ax²+bx+c=0 (a≠0).

Затем, на каждом последующем уроке, мы 10-12 минут уделяем решению квадратных уравнений общего вида. Структура подачи материала следующая:

I. В течении первых двух уроков мы устно решаем уравнения вида:

1) (х-2)(х-3)=0; (х+5)(х+8)=0; (х-12)(х+16)=0;…

2) (4х+3)(х-2)=0; (х-8)(5х+4)=0; (0,4х+3)(х+1)=0…

II. Следующие два урока мы посвящаем переходу к равносильному квадратному уравнению.

(х-1)(х-7)=0 = х²-8х+7=0 = х₁=1,

х₂=7.

(х-3)(х+2)=0 = х²-х-6=0 = х₁=3,

х₂=-2.

(5х-4)(х-1)=0 = 5х²-9х+4=0 = х₁=4/5,

х₂=1. И т. д.

При этом мы ставим главную цель: научиться обратному переходу, т.е.

х²+5х-14=0 = (х-2)(х+7)=0 = х₁=2,

х₂=-7.

х²-9х+8=0 = (х-1)(х-8)=0 = х₁=1,

х₂=8.

III. После четырех уроков ставится задача: как найти корни квадратного уравнения, если они целые?

Записываем уравнение:

х²-8х+15=0

Допустим, что х=a - целый корень уравнения, тогда а²-8а+15=0 - верное равенство, при этом а²-8а делится на а, 0 делится на любое число ( кроме 0), тогда 15 делится на а. Значит возможные значения числа а следующие: +1; +3; +5; +15.

Подбором мы убеждаемся, что число 3 является корнем данного уравнения.

Далее в течение трех или четырех уроков мы занимаемся «угадыванием» только одного корня у квадратных уравнений двух видов.

1-ый вид уравнений:

а) х²-5х+6=0;

б) х²+9х-10=0;

в) х²-7х+12=0;

г) х²+9х+18=0…

2-ой вид уравнений:

а) 2х²+5х-7=0;

б) 3х²+7х-10=0;

в) 4х²+х-18-0;

г) 2х²-3х-9=0…

При рассмотрении примеров эти виды уравнений лучше перемежать между собой, причем в уравнениях второго вида желательно, чтобы целые корни не выходили за рамки +1; +2; +3.

IV. Затем учащимся формулируется теорема Виета для приведенного квадратного уравнения:

x²+px+q=0 x₁+x₂=-p (1)

x₁x₂=q (2), где х₁ и х₂ корни уравнения.

После этого мы начинаем заниматься поиском уже двух целых корней, опираясь на принцип логического угадывания и на соотношение (2). Например: х²-12х+20=0. Подбором ребята легко угадывают корень х₁=2, а после, по следствию из теоремы Виета, х₂=20/х₁; х₂=10.

На протяжении нескольких уроков мы отрабатываем навык нахождения целых корней разнообразных приведенных квадратных уравнений (при условии, что оба корня целые числа).

Надо отметить, что такой подход к решению квадратных уравнений общего вида с целыми корнями, во многих случаях гораздо более эффективен, чем прямое использование принципа:

х₁+х₂=-p,

х₁x₂=q.

Особенно это будет видно на следующем этапе.

V. После этого рассматривается формулировка теоремы Виета для неприведенного квадратного уравнения:

ах²+bx+c=0 (a=0)

х₁+x₂=-b/a (3)

х₁x₂=c/а (4) , где х₁ и х₂ корни квадратного уравнения.

Формула является «пугающей» для ученика 8-го класса.

Начинаем разбирать эту теорему для практики:

5х²+8х-13=0.

Ребята легко угадывают корень х₁=1, а далее из соотношения (4)

х₁ х₂=-13/5, тогда х₂=-13/5.

Рассматривается большое количество таких примеров, у которых целый корень 1 или -1, чтобы учащиеся привыкли к соотношению (4).

6х²+4х-10=0; 7х²-3х-4=0;

9х²-4х-5=0; 8х²+3х-11=0…

Обязательно нужно предложить ребятам самостоятельно придумать похожие примеры, они охотно выполняют это задание.

Затем добавляются уравнения с целыми корнями +2 и +3.

5х²-3х-14=0; 2х²+3х-9=0; 4х²-5х-6=0…

Образец решения на доске:

3х²-8х-3=0.

Заметим, что целый корень х₁=3;

по теореме Виета х₁ х₂=-1; 3х₂=-1; х₂=-1/3.

VI. В дальнейшем учащимся предлагается формула

ах²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) ,

где х₁ их₂ корни уравнения ах²+bх+с=0.

И естественно в больших количествах рассматриваются переходы:

х²-5х+6=0 = (х-2)(х-3)=0 = х₁=2,

х₂=3.

х²-14х+33=0 = (х-3)(х-11)=0 = х₁=3,

х₂=11.

5х²+7х-12=0 = 5(х-1)(х+12/5)=0 = х₁=1,

х₂=-12/5. И т.д.

Можно также потренироваться в разложении квадратного трехчлена на множители:

х²-8х+9=(х-1)(х-8)

3х²+5х-8=3(х-1)(х+8/3) и т. д.

Опережающее знакомство с теоремой Виета позволит в дальнейшем, после усвоения универсальной методики решения квадратного уравнения общего вида, находить корни гораздо быстрее. Это позитивно отразится на качестве решения уравнений и неравенств более сложной структуры, например иррациональных, логарифмических и т. д.