Олимпиадные задачи для 5-6 классов по математике

Цели:1) повышение интереса к математике как к учебному предмету;

2) воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон.

Задачи: 1. Стимулирование продуктивной деятельности учащихся 5-6 классов, ориентированной на личностную и творческую самореализацию.

2.Задания олимпиады направлены на проверку внимания и логического мышления.

1. Задачи на переливание:

1) Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?

Банки

6 л

4 л

3 л

До переливания

6

0

0

После 1-го переливания

2

4

0

После 2-го переливания

2

1

3

После 3-го переливания

5

1

0

После 4-го переливания

5

0

1

2) Имеются два сосуда: один объемом 4 литра, а другой объемом 9 литров. Получится ли с их помощью налить из озера ровно 6 литров воды? Разрешается переливать всю воду из одного сосуда в другой и выливать воду из любого из них обратно в озеро.

3) Богатырь подошел к реке с двумя ведрами, вмещающими 15 литров и 16 литров. Удастся ли ему налить (отмерить) при помощи этих ведер ровно 8 литров воды?

4) Отлейте из бочки ровно 13 литра кваса при помощи двух бидонов: один емкостью 17 литров, а другой емкостью 5 литров.

5) Бочка вмещает 12 ведер воды. Для полива с вечера ее наполнили до верху. Имеются две пустые бочки, вмещающие 5 ведер и 8 ведер воды. Разлейте содержимое бочки поровну.

6) В канистре не менее 10 литров керосина. Можно ли отлить из нее 6 литров керосина, используя девятилитровую и пятилитровую канистру?

7) В бочке не менее 13 ведер воды. Можно ли из нее отлить ровно 8 ведер, если имеются две пустые бочки, вмещающие 9 и 5 ведер?

8) Имеется два полных бидона яблочного сока по 10 литров в каждом. Как налить из них в две пустые кастрюли объемами 4 литра и 5 литров по 2 литра молока?

9) Бидон емкостью 10 литров наполнен квасом. Требуется перелить из него 5 литров в семилитровый бидон, при помощи еще одного трехлитрового бидона. Как это сделать?

2. Задачи на города, дороги и графы

1) В шахматном турнире принимали участие 7 школьников. Известно, что Павел сыграл шесть партий, Марина - пять, Лена и Федя - по три Игорь и Денис - по две, Алиса - одну. С кем из участников турнира играла Лена?

Решение. Лучше проводить решение с помощью построения графа:

По построенному графу видно, что Лена играла с Мариной, Павлом и Федей.

2) Победитель олимпиады по математике Антон отметил на доске 6 точек и соединил каждую из них ровно с четырьмя другими точками так, что все отрезки оказались непересекающимися. Вовочка случайно стер с доски все 6 точек. Сможете ли Вы повторить рисунок юного математика?.

3) Программистам компьютерного центра поставили задачу соединить имеющиеся 2013 компьютеров проводами так, чтобы каждый компьютер соединялся ровно с пятью другими. Смогут ли программисты осуществить этот план?

4) В стране «Цифрандия» построены девять городов с названиями 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Путешествуя по стране, математик Антон заметил, что два города имеют железнодорожное сообщение в том случае, когда двузначное число, составленное из их цифр-названий, делится на 3. Можно ли поехать из города с названием 1 в город с названием 9?

5) Вовочка вернулся из путешествия по стране Врунляндия и рассказал учителю математики, что в ней есть озера и соединяющие их реки. Из каждого озера вытекают ровно 3 реки, но каждое озеро по 4 реки. Учитель математики без труда определил, что Вовочка сказал неправду. Как он до этого догадался?

6) Можно ли провести на листе бумаге 9 отрезков, чтобы каждый нарисованный отрезок пересекался ровно с тремя другими отрезками?

7) В сказочном новогоднем лесу 1000 деревьев, причем от каждого дерева отходит по 4 гирлянды к каким-то другим деревьям. Найдите количество гирлянд в этом лесу.

8) Репетитор по математике поставил ученику Диме задачу изобразить в тетради несколько точек и соединить их ровно 55-ю отрезками. Дима быстро нашел решение и оно оказалось правильным. Сколько точек он нарисовал репетитору по математике?

9) На миниатюрной шахматной доске расположены два коня, как показано на рисунке 1:
Можно ли за какое-нибудь количество ходов расположить этих коней так, как показано на рисунке 2?

3. Задачи со спичками:

1) Переставьте три спички так, чтобы рыбка поплыла в обратном направлении. Другими словами, нужно повернуть рыбу на 180 градусов по горизонтали.

Решение: Для решения задачи будем передвигать спички, которые составляют нижнюю часть хвоста и туловища, а также нижний плавник нашей рыбы. Переместим 2 спички наверх, а одну вправо, как показано на схеме. Теперь рыбка плывет не вправо, а влево.

2) Перед Вами девять маленьких квадратов, образованных двадцатью четырьмя спичками. Уберите 8 спичек, не трогая остальных, чтобы осталось всего лишь 2 квадрата.

3) Переложите 2 спички так, чтобы образовать 7 квадратов.

4) Передвиньте 2 спички так, чтобы вместо 9 треугольников остался только один.

4. Задачи на переправы и разъезды

1)Отряд солдат подходит к реке, через которую надо переправиться. Но мост сломан, а река глубока. Вдруг командир замечает двух мальчиков, которые катаются на лодке недалеко от берега. Но лодка так мала, что может выдержать только одного солдата или только двух мальчиков - не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано?

Решение: Дети переехали реку. Один из мальчиков остался на берегу, а другой пригнал лодку к солдатам и вылез. После этого в лодку сел солдат и переправился на другой берег. Мальчик, оставшийся там, пригнал лодку обратно к солдатам, взял своего товарища, отвёз на другой берег и снова доставил лодку обратно, после чего вылез, а в неё сел другой солдат и переправился через реку. Таким образом, после каждых двух перегонов лодки через реку и обратно переправлялся один солдат. Так повторялось столько раз, сколько было солдат.

2) Крестьянину надо перевести через реку волка, козу и капусту. Но в лодке может поместиться только крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевёз свой груз крестьянин?

3) По каналу один за другим идут три парохода: А, Б, В. Навстречу им показались ещё три парохода, которые тоже идут один за другим: Г, Д, Е. Канал такой ширины, что два парохода в нём разъехаться не могут, но в канале с одной стороны есть залив, в котором может поместиться только один пароход. Могут ли пароходы разъехаться так, чтобы продолжать свой путь по-прежнему

4) К берегу реки подошли 3 контрабандиста с двумя мешками золота каждый. У берега нашлась трехместная лодка в которую помещались любые три мешка, или контрабандист + 2 мешка, или 2 контрабандиста + 1 мешок или 3 контрабандиста. Каждый из преступников не может оставить ни один из своих мешков наедине с другими преступниками, но может их оставить на безлюдном берегу. Могут ли все они переправиться через реку?

5) Семья (папа, мама, сын и бабушка) ночью подошла к мосту, способному выдержать только двух человек одновременно. По мосту можно двигаться только с фонариком. Известно, что папа может перейти мост в одну сторону за минуту, мама - за две, сын - за пять и бабушка - за десять минут. Фонарик у них один. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках тоже. Если по мосту идут двое, время перехода определяется наиболее медлительным членом семьи. Как семье переправиться за 17 минут?

5. Задачи на разрезание:

1) Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?

Решение: Существует

2) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

4) Попробуйте тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков.

5) Каким образом необходимо разрезать данный крест, чтобы из полученных кусков можно было собрать квадрат с пустотой внутри него в виде такого же по форме и размерам креста.

6. Задачи с числами.

1)Напишите подряд семь цифр от 1 до 7: 1 2 3 4 5 6 7.Необходимо соединить их знаками плюс и минус так, чтобы получилось 40.

Решение: 12+34-5+6-7=40

2) Напишите подряд девять цифр от 1 до 9: 1 2 3 4 5 6 7 8 9.Необходимо соединить их знаками плюс и минус так, чтобы получилось 100.

3) Выразите единицу, употребив все 10 цифр.

4) Можно ли пятью двойками выразить число 28?

5) Можно ли записать пятью тройками и знаками действий число 10?

6) Можно ли выразить 1000 восемью одинаковыми цифрами и знаками действий?

7) Какие три целых числа, если их перемножить дают столько же, сколько получается от их сложения?

8) Напишите наибольшее девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр и которое делится без остатка на 11

9)Расшифруйте запись примера на сложение.

А Б В Д

+ А Б Г Д

В Д Г А Д

Литература: 1) Эдуард Балаян: 700 лучших олимпиадных и занимательных задач по математике. 5-6 классы
2) http://4brain.ru

3) http://math.all-tests.ru