Использование элементов истории математики в преподавании

Использование элементов истории математики в преподавании

«… Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймёт…» Лейбниц

Вопрос об использовании элементов истории в преподавании математики не новый. Этот вопрос не раз обсуждался на семинарах учителей математики.

Математик Е.И.Попов сказал: «Обычное преподавание геометрии с её теоремами и доказательствами вызывает в детях в огромном большинстве случаев, такое непобедимое отвращение и скуку. Редко кто, из прошедших курс общеобразовательной школы, сохранит хоть какую - то склонность заниматься геометрией вне школы»

В разное время учёные и методисты по-разному определяли цели введения элементов истории математики в преподавании. Однако общими почти всегда были и остаются поныне следующие цели:

1. Повышение интереса учащихся к изучению математики и углубление понимания ими изучаемого материала.

2. Расширение умственного кругозора учащихся и повышение их общей культуры.

Конечно, эти цели ставит перед собой каждый учитель. Но, согласитесь, учителю географии, биологии, истории, литературы гораздо легче привить интерес учащихся к своему предмету.

Что же делать учителю математики?



А ему нужно преодолеть две трудности:

1. Трудность самого предмета. 2. Презумпцию «скуки». Однако в программе нет конкретных указаний на то, какие сведения по истории математики следует сообщать учащимся в процессе преподавания, в каких классах, в каком объёме и по каким разделам школьной программы.



Школьные учебники, как правило, таких сведений содержат мало. Одно сообщение сведений по истории математики далеко не всегда способствует достижению тех целей, о которых говорилось выше. Знакомство учеников с историей математики означает: - продуманное планомерное использование на уроках фактов из истории науки; - тесное сплетение их с систематическим изучением всего материала программы. Лишь такое сплетение может способствовать достижению указанных целей. Координируя изучение математики с другими предметами, в частности с историей, подчёркивая роль и влияние практики на развитие математики. Указывая условие, а иногда и причины зарождения и развития тех или иных идей и методов, мы тем самым способствуем развитию у школьников логического мышления, способствуем процессу их умственного созревания и сознательному усвоению ими учебного материала.

Какие трудности могут возникнуть.

1. Ознакомление учеников с историей математики должно проводиться, в основном, на уроках математики и лишь во вторую очередь на внеклассных занятиях. И мы не можем рассчитывать на какие - либо дополнительные часы. То есть возникает вопрос, как выкроить необходимое время? Но его можно выкроить - это 5 -12 минут, тем более, что в среднем на каждые 6 уроков приходится одна беседа. Материал для некоторых бесед может быть избыточным для использования его на одном уроке. В таком случае учитель сам отбирает из материала то, что, по его усмотрению наиболее важно и интересно, или же распределяет его на 2 - 3 урока. Например, технология использования УДЕ (укрупнённых дидактических единиц) даёт положительный результат - дополнительные часы. Интерес к предмету и эффективность занятий появляются не сразу после первого урока, первой беседы, но результат обязательно будет положительным. Пусть это произойдёт через месяц или в конце семестра. Использованное время на изложение фактов из истории математики на уроке нельзя считать потерянным, если учитель сумеет исторический факт преподнести в тесной связи с излагаемым на уроке программным материалом.

2. Большую методическую трудность представляет решение вопроса об отборе конкретного материала по истории математики и о порядке его использования в том или другом классе. - В данном вопросе необходимо руководствоваться Программой по математике. - Учитывать возрастные особенности учащихся. Естественно, что содержание и объём, стиль изложения вопросов по истории математики не могут быть одинаковыми в разных классах. Например, в 5 - 6 классах следует ограничиться начальными сведениями из истории математики и обращать внимание учеников на элементарные вопросы развития сёта и числовых алгоритмов, математическую терминологию и символику. Возникновение мер, создание способов измерения и простейших инструментов, сопутствующих измерению. Частично затронуть и некоторые стержневые вопросы истории математики такие как: - развитие понятия числа: - происхождение и некоторые аспекты развития геометрии и алгебры; - целесообразно дать начальные сведения из истории уравнений; - геометрические инструменты; - происхождение дробей и т. д. Большое поле деятельности! Есть немало вопросов, к которым возвращаются в курсе средней школы не один раз.

3. Главную методическую трудность представляет вопрос о том, как на деле сочетать изучение определённого раздела программы математики с изложением соответствующего исторического материала. Здесь, конечно, конкретных предложений нет. Каждый учитель это будет делать так, как считает нужным. У каждого будут свои методы и приёмы. Преодолеть эту трудность можно лишь постепенно, в ходе планомерной и скрупулёзной работы.

Формы работы по использованию элементов истории математики на уроках.

- Краткая беседа. - Экскурс. - Лаконичная справка. - Решение исторических задач. - Показ и разъяснение рисунка. - Выступление с сообщением ученика.

Следует широко использовать для ознакомления с историей математики уроки закрепления пройденного материала, что будет способствовать оживлению этих уроков. Если начать такую работу с 5 класса и проводить её систематически, то со временем исторический элемент станет для самих учащихся необходимой частью урока.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белл Э.Т. Творцы математики-предшественники современной математики. (Под ред. С.Н. Киро, М.1979). 2. История математики с древнейших времён до начала 19 столетия. ( Под ред. ЮшкевичаА.П.,М.,1970, т.1и2, 1972 т. 3). 3. Хрестоматия по истории математики. (Под ред. А.П.Юшкевича, М.,1975, т.1, 1976, т. 2). 4. Математика в школе - журнал. Рубрика «Математический календарь» и «Учёные математики» с 1975г.

Примерный план использования элементов истории математики

5 - 6 классы

Тема: Натуральные числа.

- Как считали в старину. - О происхождении арифметики. - Счёт и десятичная система исчисления. - О происхождении и развитии письменной нумерации. - Цифры разных народов. - Числа великаны, связь с астрономией. - Происхождение терминов и понятий в геометрии (фигура, линия, биссектриса, циркуль).

Тема: Сложение и вычитание натуральных чисел.

- О том, как дошли люди до настоящей арифметики. - Буквы и знаки. Алгебраические выражения. - Математически язык - язык понятный всем. - О геометрических фигурах. Вычисление отрезков. - Геометрические инструменты.

Тема: Умножение и деление натуральных чисел.

- Из истории уравнений. Метод ложного положения. - О записи и знаках умножения и деления. - О происхождении некоторых числовых суеверий. - Счётные приборы. - Квадрат и куб числа. Развитие понятия степени.

Тема: Обыкновенные дроби.

- Происхождение дробей. Дроби в древнем Риме и Руси. - Попасть в дроби. Из истории дробей. - От натуральных чисел к дробным числам. - Древнеегипетская задача с дробями. - Из истории нуля.

Тема: Десятичные дроби.

- От шестидесятеричных к десятичным дробям. Ал - Каши. - «Десятая»- книга из 7 страниц Симона Стевена.

- Распространение десятичных дробей. Их значение в жизни современного общества. - Проценты в прошлом и в настоящее время. Знак процента. - Древнекитайская задача с дробями. - Задача с дробями у древних армян. - Старо индийская задача с цветами и пчёлами. - Древнеегипетская задача с дробями.

Приложение

Исторические задачи - одна из любимых ребятами форм работы с историческим материалом. Ребятам очень приятно и интересно, ведь этим задачам 200 - 300 лет, а может и больше. И если ученик сам справится с решением, то, сколько восторга и гордости можно увидеть в его глазах! Решение древних задач способствует развитию у детей: - творческого поиска, - стремление к истине, - потребности самоутверждения.

Исторические задачи (курс 5 - 6 класса).

1.Из русской рукописи 17 века (задача на движение №41). «Юноша некий пошёл из Москвы к Вологде, идёт он всякий день по 40вёрст. А другой пошёл после него на следующий день, а идёт он всякий день по 45 вёрст. Через сколько дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти ты».

2. Задача из папируса Ахмеса ( №38 ). «У семи человек по семи кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышей. Каждая мышь съедает по 7 колосьев. Из каждого колоса может вырасти по 7 мер зерна. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

3. Перед вами картина «Устный счёт» ( №34 ). Картина художника Н.П.Богданова - Бельского (1868год). На ней изображён урок арифметики в сельской школе 19 века, в которой преподавал профессор С.Н.Рачинский, покинувший университетскую кафедру, чтобы стать народным учителем. На классной доске записана следующая задача:

Решите её. Устно!

4. Задача Алькуина ( № 40 ). « Собака гонится за кроликом находящимся в 150 футах от неё. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик делает прыжок на 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?»

5. Феномен К.Гаусса ( № 44 ). Знаменитый немецкий математик К.Гаусс ( 1777 - 1855 ) ещё в детстве обнаружил выдающиеся способности. Однажды в школе учитель предложил следующую задачу: « Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100». Не прошло и минуты, как маленький Гаусс дал ответ 5050. Когда его спросили, как он решил задачу? Гаусс объяснил: каждая пара чисел, которые одинаково отстоят от концов ряда ( например: 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97 и т.д.) составляют в сумме 101. А так как таких пар 50, то нужно умножить 101 на 50. Найдите таким же способом сумму всех натуральных чисел: а) от 1 до 120. б) от 1 до230. в) от 1 до п.

6. Древнекитайская задача ( № 49). «В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов».

7. Задача из Акмишского папируса (6 век № 56). « Некто взял из сокровищницы из того, что осталось. Другой взял . Оставил же он в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?»

8.Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следующее содержание: ( № 57). «Диофант провёл шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую - в юности. После седьмой части, проведённой в бездетном супружестве и ещё 5 лет, у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет отца. После чего Диофант прожил только 4 года. Сколько лет жил Диофант?»

9. Задача из Арифметики Ал - Хорезми ( № 64 ).

Найти число, зная , что если отнять от него 1/3 1/4 , то получится 8.

10. Древнеримская задача (2 век, № 67 ).

« Некто, умирая, завещал; если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано имения, а жене остальная часть. Если же родится дочь, то ей , а жене - .родилась двойня - сын и дочь. Как разделить имение?»

11. Задача из « Математики в 9 книгах» ( № 68 ). «Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесёт по 9 (денежных единиц), то останется 11. Если же каждый внесёт по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы».

12. Задача Ньютона ( № 70 ). «Трава на всём лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы её за 24 дня, а 30 коров за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней?» (Предполагается, что траву коровы поедали равномерно).

13. Задача Л.Н.Толстого ( № 72 ). Великий русский писатель Лев Николаевич Толстой (1828 - 1910 ) проявлял особый интерес к математике и её преподаванию. Много лет преподавал начала математики в основанной им же знаменитой яснополянской школе. Написал оригинальную « Арифметику» и « Руководство для учителя». Своим гостям Л.Н.Толстой нередко предлагал многие интересные задачи, среди которых находилась и следующая задача: «Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились. Одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его закончила. Другая половина косцов перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?»

14. Древнеиндийская задача (математика Сриздхари 11 век , № 6 ). «Есть Кадамба цветок, на один лепесток пчёлок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету Сименгда и на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, её трижды сложи и тех пчёл на Кутай посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде. Всё летала то взад, то вперёд и везде ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, подсчитавши в уме, сколько пчёлок всего здесь собралось?»

15. Задача Пифагора (6 век, № 3 ). На вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил: «Половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме одного, есть три женщины. Сколько учеников посещало школу Пифагора?»

16. Задача Московского папируса. ( № 2 ). К первым, самым древним задачам на составление уравнений, по - видимому, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском Московском папирусе ( музей изобразительных искусств в Москве). «Число и его половина составляют 9. Найти число».

Ответы и указания к решению задач

1. На восьмой день. 2. 7, 49, 343, 2401, 16807, 19607. 3. 2 (указание + + += 36. 4. 75. 5. 1+2+3+…+ п = (1+п) + (2+п-1)+…+.п 6. 12 кроликов, 23 фазана. 7. 172; в рукописи представлена в виде суммы единичных дробей , , , . 8. 84 года. 9 . 4 . 10. Указание: Сын должен получить в 2 раза больше жены, жена - в 2 раза больше дочери. Имение следовало разделить между сыном, женой и дочерью прямо пропорционально числам 4:2:1. 11. 9 человек. Стоимость курицы -70. 12. 20 . Указание: Пусть «паёк» - количество травы, съедаемое одной коровой в день. За 24 дня 70 коров 24х70= 1680 «пайков». В эти пайки входит и прирост травы за 24 дня. 30 коров за 60 дней 30х60=1800 «пайков». В обоих случаях была съедена вся трава на лугу. То 1800 - 1680 = 120 пайков - составляет прирост за 60 - 24 = 36 дней. Значит прирост за 24 дня 80 пайков. Первоначальный запас 1680 - 80 =1600пайков. За 96 дней будет прирост 1600+ 320 =1920 пайков. За один день съедают 1920 :96 =20 пайков, то за 96 дней всю траву поедают 20 коров. 13. 8 косцов. 14. 15. Указание: 1 - - - 3( - ) = ; 1 : = 15. 15. 28. Указание 1) + + = ; 2) 1 - = ; 3) 3 : = 28. 16. 6.