Обучение решению линейный неравенств с одним неизвестным. Алгебра, 8 класс.

Логико-математический и дидактический анализ правила решения неравенств с одним неизвестным, сводящихся к линейным

I. Логико-математический анализ.

1. Правило. Для решения неравенства с одним неизвестным, которое сводится к линейному, нужно:

1. перенести члены, содержащие неизвестную, в левую часть неравенства, а члены, не содержащие неизвестную - в правую;

2. приведя подобные члены, разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

2. Форма представления - словесная.

3. Алгоритм:

1. перенести члены, содержащие неизвестную, в левую часть неравенства;

2. перенести члены, не содержащие неизвестную, в правую часть неравенства;

3. привести подобные члены;

4. проверить, равен ли нулю коэффициент при неизвестной:

1. если коэффициент при неизвестной не равен нулю, то обе части неравенства разделить на него (учтя его знак);

2. если коэффициент при неизвестной равен нулю, то:

   1. если получилось верное числовое равенство, то решение не равенства - любое значение переменной;

   2. если получилось неверное числовое неравенство, то неравенство не имеет решений.

Действия I , II, IV формально не являются новыми для учеников - аналогичные действия выполнялись при решении уравнений, линейных неравенств. Новой является ситуация применения шагов I , II, IV.1 и доказательство их обоснованности, а так же новый вид неравенства. Приведение подобных членов уже выполняется автоматически.

4. Другие формы представления алгоритма.

1. Символьная форма.

ax+b  cx+d, где  - любой из знаков <, >, <,>.

Этапы решения:

I. ax - cx+b  d

II. ax - cx  d - b

III. (a - c)x  d - b

IV. (a - c) = 0?

1. a - c = 0  x  (d - b)/(a - c):

если (a - c) >0, то знак  совпадает со знаком ;

если (a - c) <0, то знак  - противоположный для знака .

2. . a - c = 0  :

если 0  d - b - верное числовое равенство, то решение не равенства - любое значение переменной;

если 0  d - b - неверное числовое равенство, то неравенство решений не имеет.

2. В виде блок-схемы.

5. Теоретическая основа алгоритма: свойства неравенств (о переносе членов неравенства из одной части в другую, деление и умножение обеих частей неравенства на число, не равное нулю), решение линейных неравенств.

6. Решение неравенств связано с решением уравнений, текстовых задач, геометрических задач и т.п. Будет использоваться при решении многих текстовых задач

II. Дидактический анализ.

1. Упражнения для актуализации.

1. Сформулируйте определение линейного неравенства с одним неизвестным.

2. Что мы понимаем под членом неравенства?

3. Дайте определение решению неравенства.

4. Что значит, решить неравенство?

5. Как решаются линейные неравенства с одним неизвестным?

6. Решите следующие неравенства или уравнения:

1. x - 6x > 5,

2. -8x + 8x <-4,

3. 7х + 3х < 11,

4. x - x > 9,

5. 4x + 1 = x - 2.

2. Мотивация.

6. 4х + 1 < х - 2.

3. УЗ: найти способ решения неравенств, сводящихся к линейным, и зафиксировать его.

Планирование решения:

1. Выяснить, чем отличается неравенство №6 от неравенств №1 - 4.

2. Проанализировать решение уравнения №5.

3. Сформулировать свойства уравнений, использовавшихся при решении задачи №5.

4. Провести аналогию между свойствами уравнений и неравенств: выделить сходства и особенности.

5. Сформулировать свойства неравенств о переносе членов неравенства из одной части в другую, деление (умножение) обеих частей неравенства на число, отличное от нуля.

6. По аналогии с решением уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным, опираясь на полученные свойства неравенств, вывести способ решения неравенств, сводящихся к линейным (при этом необходимо учесть случай, когда коэффициент при неизвестном равен нулю ( №2, 4)).

7. Выделить несколько форм представления правила.

4. Система вопросов, заданий для выделения общего способа действий.

1. Чем отличается неравенство №6 от неравенств №1 - 4?

2. Есть ли что-то общее между неравенством №4 и уравнением №5?

3. Расскажите подробно ход решения уравнения №5.

4. Чем мы пользовались при решении уравнения №5?

5. Сформулируйте основные свойства уравнений.

6. Можем ли мы сформулировать аналогичные свойства для неравенств? Почему? (исходя из свойств числовых неравенств).

Далее формулируются и записываются в тетрадь полученные свойства.

7. По аналогии с ходом решения уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным, и опираясь на полученные свойства неравенств, попробуйте решить неравенство №6.

8. Выделите общие шаги в решении неравенства.

Далее выделяется способ решения неравенств.

9. Давайте проверим, все ли возможные случаи мы учли при нахождении способа решения неравенств. Пользуясь полученным способом, решите неравенство: x -1 > 8 + х.

10. Какой случай мы не рассмотрели?

Далее, анализируя №2 и №4, выделяется случай, когда коэффициент при неизвестном равен нулю и формулируется правило в виде алгоритма, а затем формулируется словесно.

5. Правило фиксируется как алгоритм (п.3 логического анализа) и в словесной (п.1 логического анализа) форме. Даётся название нового вида неравенств.

Затем по алгоритму составляется блок-схема (п.4 логического анализа).

После этого класс разбивается на несколько групп (по 4 - 5 человек). Каждой группе выдаётся задание: используя полученные формы представления правила, преобразовать его в символьную форму:

ax+b  cx+d, где  - любой из знаков <, >, <,>.

Этапы решения: …

Затем одна из групп представляет свою запись, а другие группы дополняют и исправляют ошибки.

6. Система упражнений на осознание.

1. Решите неравенства:

а) 2x + х + 2 > x - 1;

б) 2x - x + 2 < x - 1;

в) 2x - x +2 > x - 1.

2. Найти все значения t, удовлетворяющие условию:

а) 5t + 1 > 3(t - 2);

б) 4t - 5 < 2(2t + 1);

в) 0,5(4t + 5) < 3( t - 3).

</