Задачи повышенной трудности (9 класс)

Решение задач повышенной трудности

Алгебра 9 класс. Москва «Просвещение» 2015. Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва и др.

№721

Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.

Решение:

если число х не делится на 3, то х=3п+1 или х=3п+2, тогда х²=(3п+1)²=9п²+6п+1 или х²=(3п+2)²=9п²+12п+4=9п²+12п+3+1.

Остаток от деления на 3 этих чисел равен 1.

№722

Доказать, что при любом натуральном п число 3п +2 не является квадратом целого числа.

Решение:

Число п может быть чётным: п =2а, или нечётным: п =2а+1, где а - натуральное число.. Допустим квадрат числа п равен 3п +2, тогда (2а)²=3(2а) +2, 4а² =6а +2, 4а²-6а-2=0. Натуральные числа не являются решением этого уравнения. При нечётном п =2а+1, получим:(2а+1)²=3(2а+1)+2, 4а²+4а+1=6а+5, 4а²-2а-4=0, 2а²-а-2=0.

Натуральные числа не являются решением этого уравнения.

№723

1) Доказать, что число 10⁷⁰-361 делится на 27.

Решение:

10⁷⁰-361=100...0-361=99...9639, в числе 100...0 семьдесят нулей, в числе 99...9639 первых 67 девяток. Число делится на 27, если частное при делении на 9 делится на 3. 99...9639:9:3=111...1071:3, в записи делимого первые 67 единиц. Сумма цифр делимого равна 67 + 0 +7 +1=75 и делится на 3, следовательно, 10⁷⁰-361 делится на 27.

2) Доказать, что число 10⁸⁰-298 делится на 99.

Решение:

Число делится на 99, если делится и на 9 и на 11. 10⁸⁹-298=99...9702, в записи этого числа первые 77 девяток. 99...9702:9:11=11...1078:11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11. Проверим число 11...1078 на делимость на 11.

1-1+1-1...+1-0+7-8=0 делится на 11, следовательно, число 10⁸⁰-298 делится на 99.

3) Доказать, что число 91⁵⁰-19⁷⁵ делится на 18.

Решение:

91⁵⁰-19⁷⁵=(90+1)⁵⁰-(18+1)⁷⁵=(18*5+1)⁵⁰-(18+1)⁷⁵= =((18*5)⁵⁰+50*(18*5)⁴⁹+...50*(18*5)*1⁴⁹+1⁵⁰)-(18⁷⁵+75-18⁷⁴+....+75*18+1⁷⁵) эта разность делится на 18 , так как 1⁵⁰-1⁷⁵=0 , а остальные компоненты кратны числу 18.

4) Доказать, что число (75*94)²⁶+(39*56)²⁵ делится на 19.

Решение:

(75*94)²⁶+(39*56)²⁵=(7050)²⁶+(2184)²⁵=(371*19+1)²⁶+(115*19-1)²⁵ первое слагаемое содержит 27 членов, первые 26 кратны числу 19, а последний член = 1, второе слагаемое содержит 26 членов, первые 25 кратны числу 19, а последний член = -1, следовательно сумма содержит слагаемые кратные числу 19 и (75*94)²⁶+(39*56)²⁵ и делится на 19.

№724

Доказать,что если сумма цифр натурального числа не меняется при умножении его на 5, то это число делится на 9.

Решение:

Натуральное число п кратное числу 9: п=9к, тогда 5п=45к, сумма цифр числа 9к равна сумме цифр числа 45к (4+5=9). Если число п не делится нацело на 9, то при умножении на 5 сумма цифр числа меняется

№725

Пусть т, п-натуральные числа, и пусть т-1 делится на 3^п. Доказать, что т³-1 делится на 3^п+1.

Решение:

Так как т-1 делится на 3^п, то т-1= 3^пх, где х - натуральное число, тогда т=1+3^пх,

т³-1=(1+3^пх,)³-1=1+3*1* 3^пх+3*1*( 3^пх)²+( 3^пх)³-1= 3^пх(3+ 3^пх+( 3^пх)²)= 3^пх*3(1+ 3^пх+3^2п-1х²)=

3^п+1х*(1+ 3^пх+3^2п-1х²) делится на 3^п+1.

№726

Доказать, что не существует целых чисел х, у, для которых справедливо равенство х²-у²=2014.

Решение:

(х-у)(х+у)=2*19*53. Рассмотрим системы уравнений: 1) х-у=2 и х+у=1007, 2)х-у=19 и х+у=106, 3) х-у=38 и х+у=53, ни одна из этих систем не имеет целого решения, следовательно, не существует целых чисел х, у, для которых справедливо равенство

х²-у²=2014.

№727

Пусть т и п -взаимно простые натуральные числа. Доказать, что не существует натуральных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению тх+пу=тп.

Решение:

Допустим, что существуют натуральные числа х и у, удовлетворяющие уравнению тх+пу=тп, тогда пу=тп- тх, пу=т(п- х), следовательно, т и п - не взаимно простые, что противоречит условию. Значит, допущение неверно и не существует натуральных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению тх+пу=тп.

№728

Доказать, что число 7п²+1 не делится на 3 ни при каком натуральном п.

Решение:

Рассмотрим случаи, когда п кратно числу 3, п =3т, тогда 7п²+1 =7*9т²+1 не делится на 3 ни при каком натуральном т. Рассмотрим случаи, когда п не кратно числу 3, п =3т+1 или п =3т+2. Тогда 7п²+1 =7( 3т+1)²+1=63т²+42т+7+1= 63т²+42т+6+2 не делится на 3 ни при каком натуральном т. При п =3т+2 получим 7п²+1 =7( 3т+2)²+1= 63т²+84т+28+1= 63т²+84т+27+2 - не делится на 3 ни при каком натуральном т.

№729

Доказать, что не существует целых чисел х и у удовлетворяющих уравнению 15х²=9+7у^2.,

Решение:

х²=, так как числитель дроби не делится нацело на 3, следовательно, не делится на 15, следовательно, не существует целых чисел х и у удовлетворяющих уравнению 15х²=9+7у^2.,

№730

Если т, п и к натуральные числа и т+п+к делится на 6, то т³+п³+к³ также делится на 6.

Доказать

Решение:

( т+п+к)³=( т+п)³+3( т+п)²к+3( т+п)к²+к³=т³+3т²п+ 3тп²+п³+3( т+п)к(т+п+к)+к³,

т³+п³+к³=( т+п+к)³-3тп(т+п)-3( т+п)к(т+п+к).

( т+п+к)³ и 3( т+п)к(т+п+к) делится на 6. Выражение 3тп(т+п) делится на 3 и на 2 при

т или п чётное, а если и т и п нечётные, то т+п- чётное.

№.731

Доказать, что если натуральные числа т и п не делятся на 5, то число т⁴-п⁴ делится на 5.

Решение

Пусть т=5а+х, п=5в+у, где а, в, х, у - натуральные числа и х - остаток от деления числа т на 5, у - остаток от деления числа п на 5 могут быть числами: 1,2,3,4. т⁴-п⁴= (5а+х)⁴-( 5в+у)⁴ = ( 5а)⁴+4( 5а)³ х+6(5а)² х²+4* 5а*х³+х⁴-(( 5в)⁴+4( 5в)³у+6(5в)²у²+4( 5в)у³+у⁴). Из полученных 10 одночленов на 5 не делятся х⁴ и у⁴ Рассмотрим разность х⁴-у⁴, если х =у, то х⁴-у⁴ = 0 и число т⁴-п⁴ делится на 5. Если х и у разные числа (2;1), (3;1), (4;1), (3;2), (4;2),(4;3), при всех допустимых значениях (х;у) разность х⁴-у⁴ делится на 5 без остатка, следовательно, если натуральные числа т и п не делятся на 5, то число т⁴-п⁴ делится на 5.

№732

Доказать, что для любых целых чисел т и п число т⁶п²-п⁶т² делится на 30.

Решение:

т⁶п²-п⁶т² = т²п²( т⁴-п⁴). Число делится на 30, если делится и на 2, и на 3, и на 5.

Если т или п кратно числу 5, то данное выражение делится на 5. Если т и п не делятся на 5, то т⁴-п⁴ кратно числу 5 (№732). Если т или п чётное число, то данное выражение делится на 2. Если т и п нечётные числа, то т⁴-п⁴-чётное число и данное выражение делится на 2.

Если т или п кратно числу 3, то данное выражение делится на 3. Если т и п не кратны числу 3, то т⁴-п⁴ = ( т²-п²)( т²+п²), а т²-п² делится на 3 (№721). Следовательно, для любых целых чисел т и п число т⁶п²- п⁶т² делится на 30 (и на 60).

№733

Доказать, что дробь ^, где п -натуральное число, можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, разность которых равна двум.

Решение:

Рассмотрим числитель дроби: (п+1)⁴ + п⁴-1 = (п+1)⁴-1+ п⁴ = ((п+1)²-1)((п+1)²-1) + п⁴ =

(п²+2п)( п²+2п+2)+ п⁴ = 2п⁴+4п³+6п²+4п = 2n(n³+2n²+3n+2) =2n(n³+2n²+n+2n+2) =

= 2n(n(n+1)²+2{n+1)) = 2n(n+1)(n(n+1)+2) =2(n²+n)(n²+n+2). Получили:

== (n²+n)(n²+n+2).

№734

Доказать, что ни при каких натуральных числах т и п не может быть верным равенство:

1) т(т+1)=п(п+2)

Решение:

При т=п и при т<п левая часть равенства меньше правой части, при т>п левая часть равенства больше правой. Допустим, т > = n+1. Тогда (n+1 )(n+2) =п²+3п+2 > п²+2п, значит, т(т+1) > п(п+2) при m >n.

Левая часть равенства - произведение двух последовательных натуральных чисел всегда чётное число. Правая часть равенства - произведение двух последовательных натуральных чисел одинаковой чётности может быть или числом нечётным, или числом чётным. При нечётном п правая часть неравенства - нечётное число.

№735

Доказать, что ни при каком натуральном числе п сумма п³+6п²+15п+15 не делится на п+2.

Решение:

Если бы выражение делилось на п+2, тогда п = -2 являлось бы корнем уравнения п³+6п²+15п+15 =0. При п = -2 получим (-2)³+6(-2)²+15п+15=0, -8+24-30+15=0, -38+39, 1 =0, неверно, следовательно, п = -2 не является корнем уравнения п³+6п²+15п+15 =0 и сумма п³+6п²+15п+15 не делится на п +2 ни при каком натуральном числе п.

№736

Найти все натуральные числа п, при которых число п⁴+п²+1 является простым.

Решение:

Разложим на множители многочлен п⁴+п²+1. п⁴+п²+1 = п⁴+2п²-п²+1=( п²+1)²-п² =

( п²+1+п)( п²+1-п). Так как простое число имеет только 2 делителя: 1 и само число, то или

п²+1+п =1 или п²+1+п =1. Из первого уравнения п₁ =0, п₂ =-1 числа не натуральные.

Из второго уравнения п₁ =0, п₂ =+1.Следовательно, только при п = 1 число п⁴+п²+1 является простым.

№737

Найти все пары целых чисел х,у, удовлетворяющих уравнению х²=у²+2у+13.

Решение:

х²-у²-2у-1=12, х²-(у+1)²=12, (х-у-1)(х+у+1) = 12, так как х и у целые числа, то сомножители в левой части уравнения целые числа. Число 12 равно произведению чисел или 2 на 6 , или -2 на -6, или 3 на 4, или -3 на -4. Если множители равны числам 3 и 4, то значения х и у дробные, что не удовлетворяет условию. Получили 4 системы уравнений: 1) х-у-1 = 6 и х+у+1 = 2, 2) х-у-1 = -6 и х+у+1 = -2, 3) х-у-1 = -2 и х+у+1 = -6, 4 ) х-у-1 = 2 и х+у+1=6,

Ответ: (4;-3), (-4;1), (-4;-3), (4;1).

№738

Найти четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 50400

Решение;

Разложим на простые множители число 5040.

5040 = 2³*3²*7, значит 5040 = 7*8*9.

Ответ: 5040 = 7*8*9.

№739

Пусть m,n,p,q - натуральные числа, и пусть значение многочлена mx³+nx²+px+q при любом х есть целое число, делящееся на 5. Доказать, что каждое из чисел m,n,p,q делится на 5.

Решение:

Если многочлен при любом х делится на 5, то при х = 0 получим q кратно числу 5. Значит и mx³+nx²+px кратно числу 5 при любом х.

х(mx²+nx+p) при любом х есть целое число, делящееся на 5, то mx²+nx+p кратно числу 5 при любом значении х. При х = 0 получим p кратно числу 5, тогда mx²+nx кратно числу 5 .

х(mx+n) при любом х есть целое число делящееся на 5, то mx+n кратно числу 5, при х = 0

п кратно числу 5, mх при любом х делится на 5 если m кратно числу 5.

№740

Доказать, что если a,b, c- натуральные числа, то дискриминант D=b²-4ac квадратного трёхчлена не может принимать значение, равное 63.

Решение:

Допустим b²-4ac =63,тогда b² =63+4ac, значит b нечётное число. Пусть b =2п+1,тогда (2п+1)² = 63+4ac, 4п²+4п+1 = 63+4ac, 4п²+4п-4ас = 63-1, 4п²+4п-4ас = 62. Правая часть равенства делится на 4 нацело, а левая нет, значит, если a,b, c - натуральные числа, то дискриминант D =b²-4ac квадратного трёхчлена не может принимать значение, равное 63.