Методические рекомендации по изучению геометрии в 7-9 классах. Окружность.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Покровская средняя общеобразовательная школа.

Закрепление навыков работы с окружностью при изучении различных тем курса геометрии в 7-9 классах.

Подготовила:

Любуцина Елена Петровна,

учитель математики МКОУ Покровская СОШ.

2015 г.

Известно, что способность учащихся решать геометрические задачи прямо пропорциональна знанию теории, правильному построению и чтению чертежа, количеству решаемых на уроке задач. Количество переходит в качество при системном повторении и закреплении отдельных приемов решения. Осуществлять это можно с помощью задач на готовых чертежах. Это значительно увеличивает темп урока и объем решаемых задач. Чертежи могут использоваться как для устной работы, так и для различных видов контроля.

Многие начинающие учителя математики сталкиваются с тем, что на изучение темы « Окружность» отводится недостаточно времени. Но можно вводить задачи, позволяющие закреплять знания и развивать навыки работы с окружностью при изучении других тем курса геометрии.

С окружностью учащиеся впервые знакомятся в 5 классе. Вводятся понятия центр, радиус, диаметр. Они учатся строить окружность заданного радиуса и точки, удаленные от двух заданных точек на заданное расстояние. Все это позволяет начать работу по закреплению понятий центр, радиус, диаметр несколько раньше, чем это предусмотрено учебником Л.С. Атанасян.

По учебнику Л.С. Атанасян [1] окружность изучается в 7 классе в главе II §4 «Задачи на построение». На его изучение отводится 3 часа. Понятно, что этого времени недостаточно для того, чтобы вместе с задачами на отработку определения окружности и ее элементов отработать и задачи на построение.

Но весь материал, изучаемый в теме «Окружность», основан на нахождении элементов в равных или подобных треугольниках. Поэтому в своей работе я ориентирую учащихся на способ решения задач, который называю «ищи треугольник». Даже в случае, когда учащийся забывает какое-то свойство окружности, хорд и касательных, он может решать задачу, используя знания о треугольнике.

Поэтому с окружностью нужно начать работать раньше. Например, при изучении первого признака равенства треугольников, рекомендуется после доказательства теоремы разобрать как можно больше задач на готовых чертежах, как наглядное применение первого признака к нахождению равных треугольников, отрезков, углов. Примерами заданий могут быть № 2, № 3, № 9 в таблице 7.12.

После изучения свойств равнобедренного треугольника для устной работы могут использоваться задания № 4, № 6.

При изучении второго и третьего признаков равенства треугольников можно использовать №5, №7.

Такие задачи на готовых чертежах развивают наглядное представление об окружности и ее элементах, развивают мышление, способность достраивать недостающие элементы фигур и позволяют коротко формулировать условие и вопрос задачи, что экономит время на уроке. К тому же у учащихся постепенно формируется представление об окружности, как фигуре, несущей дополнительные условия к задаче - например, равенство сторон треугольника, являющихся радиусами окружности.

При таком закреплении навыка нахождения равных треугольников, отрезков, углов, закрепляются и понятия радиус, диаметр окружности, центр. Поэтому при изучении § 4, п.21 «Окружность» учащиеся смогут решать задачи №144-147 как в ходе обучающей самостоятельной работы, так и в ходе домашней работы.

Можно продолжить закрепление знаний по теме «Окружность» при изучении признаков параллельности прямых (например, таб.7.12 №8), теоремы о сумме углов треугольника, неравенства треугольника, признаков равенства прямоугольных треугольников (таб.7.12 № 5, № 7).

В 8 классе при изучении главы VIII «Окружность» учащиеся знакомятся с касательной к окружности, центральными и вписанными углами, четырьмя замечательными точками треугольника, вписанной и описанной окружностями. Уровень сложности теоретического материала такой, что учитель имеет возможность в большей степени опираться на самостоятельную работу учащихся с учебником. Но теоретические сведения, изложенные в параграфах главы, необходимо пополнить.

Так при изучении §1 «Касательная к окружности» целесообразно решать задачи и упражнения на готовых чертежах, например, такие, как в таблице 7.13.

Но особо следует уделить внимание следующим задачам :

№ 635 - на нахождение угла между касательной и хордой;

№ 636 - на нахождение угла между двумя касательными;

№ 637 - на нахождение угла между касательной и секущей.

Наибольший интерес представляет §2 «Центральные и вписанные углы». При закреплении знаний, предъявляемых к обязательному уровню подготовки учащихся, при устной работе можно использовать задачи из таблиц 9.4 и 9.5.

Параграф содержит большое количество важнейших задач, которые в школьном курсе математики используются редко. Это задачи, утверждающие, что:

№ 659 - дуги, заключенные между параллельными хордами, равны;

№ 664 - угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри этого угла;

№ 670 - если через точку вне окружности к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезков секущей;

№ 672 - для секущих, проходящих через одну точку, произведение отрезков одной - равно произведению отрезков другой;

№ 716 - если дуги равны, то стягивающие их хорды равны.

Теорию, которую несут в себе условия данных задач, учащиеся смогут запомнить и применять в дальнейшем только при условии неоднократного возвращения к ним. Поэтому для этих задач мы заготовим чертежи и в течение нескольких уроков работаем по ним устно, вырабатывая зрительную память и иногда повторяя доказательства утверждений, сформулированных в задачах.

Также следует обратить внимание на задачи

№ 662 (угол между двумя хордами),

№ 660, № 661(угол между двумя секущими),

№ 658 (угол между касательной и секущей).

А из дополнительных задач - на № 758 (по образцу решения № 662), в которой утверждается, что угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между сторонами угла, продолженными в обе стороны; № 719 ( по образцу решения № 660) -угол между секущими равен полу разности дуг, заключенных внутри угла.

Можно обратить внимание учащихся на то, что угол между касательной и секущей, двумя касательными, так же равен полу разности дуг, заключенных между его сторонами.

В результате изучения §1 и §2 учащиеся должны знать возможные случаи расположения прямой и окружности, определение касательной, свойство и признак касательной; уметь их доказывать и применять при решении задач. Знать какой угол называется центральным, вписанным; градусную меру дуги; уметь доказывать теорему о вписанном угле и теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд; применять их при решении задач. Для утверждений, сформулированных в перечисленных задачах, следует составить конспект со словесной формулировкой и соответствующими чертежами не для обязательного запоминания, а для возможного использования в дальнейшем.

При изучении §4 «Вписанная и описанная окружности» необходимо ввести основные понятия, доказать теорему об окружности вписанной в треугольник, теорему об окружности, описанной около треугольника; познакомить учащихся со свойствами вписанного и описанного четырехугольника.

Следует остановиться на решении № 697 (доказать, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности). Хорошо закрепляют знания по теме задачи на готовых чертежах (таб. 9.9 и таб.9.11.)

Задачи на вписанные и описанные многоугольники настолько разнообразны, что невозможно разобрать их решения за отведенное для этого в рамках учебного предмета времени, но возможно его закрепление при изучении различных теорий: признаки подобия треугольников; решение прямоугольных треугольников; свойство точки пересечения медиан треугольника; свойство биссектрисы треугольника; свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе и т. д. В каждом случае учитель самостоятельно может составить условие задачи так, чтоб окружность была одной из фигур, присутствующих в задаче.

Список литературы.

1. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. - 19-е изд.-М, : Просвещение, 2009

2. Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы. Геометрия. -М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003