Конспект урока по геометрии на тему 'Пирамида. Решение задач'

Конспект открытого урока по геометрии на тему: Пирамида. Решение задач» Подготовила преподаватель математики Гуськова Ю.А.

Цель: повторить понятие пирамиды, ее площади поверхности, решение задач с целью подготовки к итоговой аттестации.

- Формирование аналитического мышления, выбора наиболее рационального метода решения. Анализ полученного результата.

- систематизация и обобщение знаний, полученных в изучении курса геометрии.

- воспитание средствами математики культуры личности, понимание значимости математики для других дисциплин.

- развитие алгоритмической культуры, аккуратности выполнения математических преобразований.

- учить искать нужные сведения в огромных информационных массивах и развивать способность обрабатывать данные в зависимости от конкретной задачи;

- учить применять полученные знания, умения, навыки и информацию в организации процесса собственного труда для плодотворной работы.

Заранее были созданы группы учащихся, которые искали дополнительный материал.

Группа "Математики"

Изучить пирамиду как геометрическое тело.

Найти определения пирамиды, которые были сформулированы древними учеными.

Сравнить современные трактовки с древними.

Группа "Историки"

Найти материалы о первых пирамидах.

Изучить древние пирамиды с математической точки зрения.

Сформулировать вывод о значимости пирамид с исторической и математической точек зрения.

Группа "Исследователи мировой системы пирамид"

Установить наличие мест расположения пирамид на Земле.

Установить связи между местами расположения пирамид.

Сформулировать вывод о расположении пирамид на Земле.

Группа "Исследователи свойств пирамид"

Исследовать уникальные свойства пирамид.

Подготовить материал о практическом применении свойств пирамид.

Группа "Архитекторы"

Найти материал, подтверждающий применение свойств пирамид в архитектуре.

Подготовить эскиз здания с использованием свойств пирамид и отдельных ее элементов.

Группа "Экономисты"

Познакомить с финансовой пирамидой, широко известной финансовой пирамидой России.

Группа «Экологи»

Подготовить материал об экологической пирамиде.

Во время отчетов рабочих групп следить за их выводами и делать свои выводы, в конце урока дать оценку работе каждой группы, отдельно студентам за работу на уроке.

Отчетные материалы

Создание презентации (слайды, рисунки).

Подготовка сообщений.

Тип урока: закрепление изученного .

Методы и приемы работы: реализация проектно-исследовательской технологии.

Оборудование:

Учебник геометрии для 10-11х классов, автор Погорелов А.П., ММК, презентация; диск «стереометрия 10-11 кл.».

Ход урока

Здравствуйте! Давайте посмотрим, все ли готовы к уроку? У всех есть рабочие принадлежности, все ли здоровы? Садитесь.

На сегодняшнем уроке мы должны систематизировать знания по теме «Пирамида». С этой целью были даны опережающие задания в 7 малых группах исследовательского характера.

Начнём урок с проверки домашнего задания.

Домашнее задание проверим с помощью выполнения теста. На выполнение теста 10 минут. Задания находятся у вас на столах.

Наш урок посвящен уже знакомому нам и в тоже время загадочному геометрическому телу - пирамиде.

Запишем в тетрадях дату и тема: «Пирамида. Решение задач».

Почти 5 тысячелетий тому назад была воздвигнута первая пирамида - колоссальная гора из камня, построенная по точному математическому расчету. Египетский фараон и его гениальный зодчий решили воздвигнуть сооружение, какого еще не видывал свет - колоссальную гору из камня, построенную по строгому математическому расчету, такую прочную, чтобы простояла до скончания веков.

Изучением пирамид занимались многие археологи, историки, географы ученые, математики и каждый из них открывал новые свойства этих сооружений. По сей день существует еще много загадок, связанных с пирамидами. Разгадать их еще предстоит будущим поколениям ученых и исследователей. Все это вызывает большой интерес и побуждает к более глубокому изучению свойств пирамид, как с математической точки зрения, так и с других точек зрения. Вот и мы займемся их изучением.

В подготовке к уроку группа была разделена на 7 подгрупп:

математики;

историки;

исследователи мировой системы пирамид;

исследователи свойств пирамид;

архитекторы;

экономисты;

экологи;

которые выполняли работу по исследованию пирамиды со своей точки зрения.

Интересный материал вы можете конспектировать в тетрадях.

Слово предоставляется группе математиков.

Первый ученик. Наша группа изучала пирамиду как геометрическое тело. Нашла определения пирамиды, которые были сформулированы древними учеными, и сравнила все формулировки, а также установила связь между размерами пирамид и многими математическими понятиями.

Итак, изучив материал в учебнике "Геометрия 10-11" Погорелов: Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Sполн = Sбок + Sосн, где Sбок - сумма площадей боковых граней.

Помимо произвольной пирамиды, существуют правильная пирамида, в основании которой правильный многоугольник и усеченная пирамида.

Второй ученик. Однако такое определение пирамиды существовало не всегда. Например, древнегреческий математик, автор дошедших до нас теоретических трактатов по математике Евклид, пирамиду определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости сходятся к одной точке.

Но это определение подвергалось критике уже в древности. Так Герон предложил следующее определение пирамиды: "Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник".

Наша группа, сравнив эти определения, пришла к выводу о том, что в них нет четкой формулировки понятия "основание".

Мы исследовали эти определения и нашли определение Адриена Мари Лежандра, который в 1794 году в своем труде "Элементы геометрии" пирамиду определяет так: "Пирамида - телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания".

Нам кажется, что последнее определение дает четкое представление о пирамиде, так как в нем идет речь о том, что основание - плоское. В учебнике 19 века фигурировало еще одно определение пирамиды: "пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью".

И в заключение своего сообщения мне хочется показать вам учебник элементарной геометрии автора Киселева, 1907 года издания, рекомендованный для средних учебных заведений. В этом учебнике приводится определение пирамиды и ее элементов (показать учебник и зачитать определение). Это определение перекликается с современным определением, изложенным в нашем учебнике геометрии.

Преподаватель: Арабский писатель XIII века сказал: "Все на свете боится времени, а время боится пирамид". Эти слова, как нельзя, кстати. Дело в том, что пирамиды - это единственное из семи чудес света чудо, дожившее до нашего времени, до эпохи телевидения и компьютерных технологий. Обратимся к истории возникновения пирамид и предоставим слово нашим многоуважаемым историкам.

Первый ученик. Наша группа, готовясь к уроку, прочла много энциклопедий и исторических книг. Из них мы узнали о пирамидах. Чтение таких книг завораживает, ты как бы попадаешь в эту эпоху - эпоху пирамид. Так в Большом энциклопедическом словаре написано, что пирамида - монументальное сооружение, имеющее геометрическую форму пирамиды (иногда ступенчатую или башнеобразную). Пирамидами называли гробницы древнеегипетских фараонов 3-го - 2-го тысячелетий до н. э., а так же постаменты храмов в Центральной и Южной Америке, связанные с космологическими культами (на экране слайд египетских пирамид).

Второй ученик. Египетские пирамиды - древнейшие из семи чудес света, незыблемо высятся на фоне желто-коричневых песков Ливийской пустыни. К изучению пирамид приступили сравнительно недавно. Два века назад французский ученый Жомар, сопровождавший армию Наполеона в Египет, составил первое научное описание и провел первые точные измерения пирамид. Самая высокая пирамида - пирамида Хеопса, или Большая пирамида. В древности ее высота достигала 148 метров. Сторона квадратного основания равна 233 метрам, а площадь основания превышает 54 000 квадратных метров. Общий объем всего сооружения - более 2 500 000 кубических метров. Сложена пирамида из 2 300 000 каменных глыб весом свыше 2-х тонн каждая. Глыбы со всех сторон гладко отшлифованы. Это значит, что строителям пришлось обработать около 14 000 000 поверхностей, так как каждый монолит имел 6 граней. Все поверхности отшлифованы с такой математической точностью, что, соединив их, между ними нельзя просунуть тонкое лезвие ножа.

Третий ученик. Пирамиды строили не только в Египте. Они вырастали и по другую сторону океана, в древних государствах Центральной Америки. К северу от Мехико ученые открыли обширный город Теотиукан, ошеломляющий пирамидами гигантских размеров. Самая большая - пирамида Солнца, периметр ее основания равен 1000 метров, а напротив нее возвышается пирамида Луны (на экране слайды с изображениями пирамид).

О пирамидах можно рассказывать бесконечно. Наша группа прочла много книг, казалось бы, читаешь об одном и том же объекте, но появляются новые сведения. Систематизировав прочитанное, перед глазами вырисовывается картина, на которой изображено самое совершенное сооружение в мире.

Преподаватель: Изучение пирамид с двух представленных точек зрения не заканчивается. Проводятся новые исследования, обнаруживаются уникальные свойства и взаимосвязи. Слово предоставляется третьей группе - группе исследователей мировой системы пирамид.

Первый ученик. Наша группа занималась изучением и исследованием мировой системы пирамид. Как уже было отмечено, существуют не только египетские пирамиды, на Земле существует целая сеть пирамид. На фоне Гималайского хребта четко выделяется пирамидальное образование - гора Кайлас (слайд); существуют мексиканские пирамиды. Так вот, расположение г. Кайлас, египетских и мексиканских пирамид очень интересное, а именно (слайд) - если соединить г. Кайлас с мексиканскими пирамидами, то соединяющая их линия выходит на остров Пасхи. Если соединить г. Кайлас с египетскими пирамидами, то линия их соединения опять выходит на остров Пасхи. Очертилась ровно одна четвертая земного шара.

Продолжая исследования, мы обнаружили, что если соединить мексиканские пирамиды и египетские, то мы увидим два равных треугольника. Если найти их площади, то их сумма равна одной четвертой площади земного шара.

Если рассмотреть расстояние "Кайлас - египетские пирамиды" и "остров Пасхи - мексиканские пирамиды", то мы получим ровно одну четвертую длины линии "Кайлас - о. Пасхи". В результате наших исследований мы пришли к выводу, что на Земле существует строгая пирамидально-географическая система пирамид.

Преподаватель: Спасибо 3-ей группы за их уникальные исследования. Дело в том, что мы чаще всего слышим о египетских пирамидах, а не о том, что существует строгая пирамидально-географическая система пирамид, внутри которой существуют такие уникальные связи. Но на этом уникальные свойства пирамид не иссякли. Их исследованиями занималась 4-я группа - группа исследователей свойств пирамид. Но прежде чем предоставить слово этой группе, давайте вернёмся к группе "математиков", так как их исследования тесно переплетаются.

Ученик первой группы. Очень часто в своих исследованиях учёные используют свойства пирамид с пропорциями Золотого сечения.

В математическом энциклопедическом словаре даётся следующее определение Золотого сечения - это гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении - деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая его часть АС является средним пропорциональным между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ.

Алгебраическое нахождение Золотого сечения отрезка АВ = а сводится к решению уравнения а : х = х : (а - х), откуда х приблизительно равно 0,62а. Отношение х можно выразить дробями 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, где 2, 3, 5, 8, 13, 21 - числа Фибоначчи.

Геометрическое построение Золотого сечения отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливается перпендикуляр к АВ, на нём откладывают отрезок ВЕ = 1/2 АВ, соединяют А и Е, откладывают ДЕ = ВЕ и, наконец, АС = АД, тогда выполняется равенство АВ : СВ = 2 : 3.

Золотое сечение часто применяется в произведениях искусства, архитектуры, встречается в природе. Яркими примерами являются скульптура Аполлона Бельведерского, Парфенон. При строительстве Парфенона использовалось отношение высоты здания к его длине и это отношение равно 0,618. Окружающие нас предметы также дают примеры Золотого сечения, например, рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте Золотого сечения (слайды). Каждый из нас "носит" Золотое сечение с собой "в руках" - это отношение фаланг пальцев.

Первый ученик четвёртой группы. То, о чём расскажем мы, некоторым может показаться странным и не вполне объяснимым. Когда наша группа готовилась к уроку, нами была прочитана масса научно-познавательной литературы, из которой мы узнали многое о пирамидах.

При постройке египетских пирамид было установлено, что квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это подтверждается новейшими измерениями.

Мы знаем, что отношение между длиной окружности и её диаметром, есть постоянная величина, хорошо известная современным математикам, школьникам - это число "Пи" = 3,1416... Но если сложить четыре стороны основания пирамиды Хеопса, мы получим 931,22 м. Разделив это число на удвоенную высоту пирамиды (2*148,208), мы получим 3,1416..., то есть число "Пи".

Кстати «Пи» отмечает своё день рождение 14 марта.

Следовательно, пирамида Хеопса - единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа "Пи", играющего важную роль в математике.

Еще удивительнее другое соотношение: если сторону основания пирамиды разделить на точную длину года - 365,2422 суток, то получается 10-миллионная доля земной полуоси с большой точностью.

Я полагаю, что всё выше изложенное позволяет более подробно изучить приближённые вычисления, которые, честно сказать, мы не очень любим и стараемся их избегать.

Второй ученик. Выше рассказывалось о Золотом сечении, так вот, пирамида с пропорциями Золотого сечения в зоне своей деятельности прямо или опосредованно исправляет структуру пространства, приближает его к состоянию гармонии. Всё, что находится, либо попадает в это пространство, начинает развиваться в направлении гармонии. С удвоением высоты пирамиды, её активное воздействие усиливается в 5 - 7 раз. Многие учёные исследовали уникальные свойства пирамиды с пропорциями Золотого сечения и были очень удивлены тем, что при морозе 40 градусов внутри пирамиды не замерзает обычная вода, но при резком встряхивании бутылки с такой водой она замерзает за 2 - 3 секунды. Если смотреть на пирамиду локатором в диапазоне волн 10 см, над ней виден ионный столб в несколько километров высотой. Аналогичную картину дают энергоблоки атомных станций.

Третий ученик. Мы много раз слышали о понятии библейского рая. Но его надо рассматривать не в географическом смысле, а в смысле структуры среды обитания, обитания в среде близкой к состоянию гармонии.

В 1997 году близ города Осташкова на берегу озера Селигер была построена пирамида высотой 22 метра. Исследования воды в озере показали, что она стала намного чище, чем была прежде. Недалеко от пирамиды аист свил гнездо, что говорит об улучшении экологической обстановки. Вдоль русла речек открылись новые родники, о которых не помнят даже старожилы. Аналогичные эксперименты проводились в области сельского хозяйства. В Днепропетровской и Запорожской областях были засеяны тысячи гектаров семенами подсолнечника, кормовой и сахарной свеклы, кукурузой, овощами, зерновыми, побывавшими в пирамиде с пропорциями Золотого сечения. Прибавка урожая составила от 30% до 50%. В условиях засухи растения прекрасно росли и развивались.

Всё выше изложенное говорит о том, что пирамиды, их свойства интересны не только с исторической и математической точек зрения, но они представляют интерес и в повседневной жизни. Пирамиды позволяют изучать необычные свойства предметов, условия их развития и многое другое.

Преподаватель: и дальше о пирамидах послушаем представителей пятой группы - группы "архитекторов".

Ученик. Сегодня на уроке мы узнали очень много о пирамидах. Какова история их возникновения, на сколько важны их свойства в математике.

Однако и с точки зрения архитектуры, и дизайнерского искусства пирамиды представляют большой интерес. Элементы пирамид применяют в строительстве. Сейчас это очень модно и придаёт зданию некоторый шик.

Ярким представителями в этой области являются:

Торговый центр в Илинге (Лондон) - образец постмодернизма. Одна из его башен имеет форму пирамиды и придаёт зданию величавый вид;

Здание книжной ярмарки во Франкфурте (Германия) - крыша здания украшена стеклянной пирамидой;

Вход в Лувр (Париж) - это не обычная дверь, а пирамида, сделанная из стекла, имеющая высоту 21,65 метра.

(на экране демонстрируются слайды)

Мы слышали о пирамидах не только как о геометрическом теле, но и как об абстрактном понятии. Так же термин пирамида используется в экономики и экологии.

Далее мы послушаем Экономистов.

Финансовая пирамида (также инвестиционная пирамида) - способ обеспечения дохода участникам структуры за счёт постоянного привлечения денежных средств. Доход первым участникам пирамиды выплачивается за счет вкладов последующих участников. В большинстве случаев истинный источник получения дохода скрывается и декларируется вымышленный или малозначимый. Подобная подмена является . Как правило, в финансовой пирамиде обещается высокая доходность, которую невозможно поддерживать длительное время, а погашение обязательств пирамиды перед всеми участниками становится заведомо невыполнимо.

В АООТ «» зарегистрировало свой первый проспект эмиссии акций, которые начали активно продавать в феврале . Деятельность «МММ» впоследствии была охарактеризована как финансовая пирамида, от которой пострадало по разным оценкам 10-15 миллионов вкладчиков.

МММ-2011 - новый проект основателя АО «МММ» Сергея Мавроди, запущенный им в январе 2011-го года и закрытый в июне 2012-го.

МММ-2012 - финансовая пирамида, основанная Сергеем Мавроди 31 мая 2012 года.

Слово предоставляется «Экологам»

Экологическая пирамида - графические изображения соотношения между продуцентами и консументами всех уровней (травоядных, хищников; видов, питающихся другими хищниками) в экосистеме.

Схематически изображать эти соотношения предложил американский зоолог Чарльз Элтон в 1927 году.

При схематическом изображении каждый уровень показывают в виде прямоугольника, длина или площадь которого соответствует численным значениям звена пищевой цепи (пирамида Элтона), их массе или энергии. Расположенные в определенной последовательности прямоугольники создают различные по форме пирамиды.

Во время подготовки к уроку каждой группе пришлось выполнять свою работу, и все соединилось воедино лишь сейчас. Мне кажется, что каждый из нас получил на сегодняшнем уроке большой запас знаний не только из области математики, но и из области истории, географии, да и просто из окружающей действительности.

Подведем итог исследовательской работы. Спасибо все молодцы.

А сей час перейдём к следующему этапу решение задач.

Рисунок к задаче выполнять не будем, он есть на доске. 3 минуты вам на обдумывание.

Решение задач (задачи из дика «стереометрия 10-11 кл»)

1. В правильной семиугольной пирамиде апофема равна 12, а боковой ребро 13. Найти периметр основания. (решают задачу с места комментируя решение и вписывая его в задачу)

А теперь к другому типу задач, на сбор формулы: используя интерактивную доску.

На доске представлена правильная треугольная пирамида, и некоторое количество элементов для выбора и составления формулы полной поверхности пирамиды

2. Дана правильная треугольная пирамида. Составить формулу для вычисления полной поверхности пирамиды из формул: Н, ,, 3a, 4a, , , ah, , 3a+3b

Ответ:

Обращаю ваше внимание, что формула полной поверхности пирамиды нам еще потребуется.

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и n-штук площадей одной боковой грани.

(Дополнительная задача)

А теперь открываем учебник на странице 87 задача № 46, 48

3. Задача из учебника №46 Вставить пропуски в решении.

Основание пирамиды - параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

4. Задача №48 : Основание пирамиды равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см, и 25 см. ЕЁ высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.

5. Задача из ЕГЭ

Этап решения задач закончен, за решение задач получают баллы:

А сей час запишите задание на дом.

И в заключении нашего урока в качестве подведения его итога вам нужно будет выполнить пошаговое решение задачи на листах, они у вас на столах.

Задача: Правильная четырёхугольная пирамида с площадью основания 64 и высотой 3. Найдите:

1. Сторону а (8)

2. Периметр основания (32)

3. Высоту, проведённую на сторону основания (5)

4. Ребро )

5. Площадь основания (144)

Д.З №47 с 87

Рефлексия.