Программа элективного курса по теме Решение задач с параметрами

Итоговая работа

Программа элективного курса

«Решение задач с параметрами»

Пояснительная записка.

Элективный курс «Решение задач с параметрами» рассчитан на учащихся 9 класса, увлекающихся математикой, но благодаря содержанию может быть полезен и ученикам 10-11 классов при подготовке к экзаменам Программа рассчитана на 24 часа.

Данный элективный курс направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих параметр, и в построении графиков элементарных функций, содержащих параметр, необходимы не только ученикам, желающим успешно выступить на олимпиадах, но и хорошо подготовиться к сдаче экзаменов. Наряду с основной задачей обучения математики - обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, выбору профиля дальнейшего обучения.

Общая характеристика курса.

Задания с параметрами - один из труднейших разделов школьного курса математики. На заданиях с параметрами можно проверять знание основных разделов математики школьного курса, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности. Способы логического рассуждения, планирования и коммуникации, моделирования реального мира, реализуемые и развиваемые данным элективным курсом, являются необходимым элементом общего математического образования, что соответствует требованиям ФГОС

Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходиться обдумывать по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости. При изучении данного курса учащиеся знакомятся со стандартными подходами к решению задач с параметрами и идеей отыскания контрольных точек, позволяющих судить о координальном изменении характера уравнения или неравенства при различных контрольных значениях параметра. Наряду с аналитическими методами решения заданий с параметрами мы познакомимся и с графическими методами в плоскости «переменная-значение» и в плоскости «переменная-параметр».

Потребность проведения данного курса возникла в связи с тем, что:

• Эта тема недостаточно освещена в учебниках (исключение составляют сборники задач для классов с углубленным изучением математики) и в школе решению таких примеров уделяется очень мало времени.

• Отсутствие системы знаний по данной теме. В базовых учебниках нет таких тем. Лишь в учебники 11 класса (авт. А.Г. Мордкович) на тему «Уравнения и неравенства с параметрами» отводиться 3 часа.

• Отсутствует общая методика решения произвольных уравнений и неравенств с параметрами. При решении приходиться исходить из структуры конкретного уравнения или неравенства.

• Задания с параметрами, кроме значительной логической нагрузки, несут в себе и не меньшую психологическую: параметр является величиной постоянной, и в то же время он может принимать различные значения.

• Задачи с параметрами систематически встречаются на ЕГЭ (ОГЭ) различных олимпиадах. И результативность выполнения таких заданий мала.

Цели курса:

- Формирование прочной и осознанной системы знаний по данной теме

- Формирование устойчивого интереса к предмету

- Выявление и развитие математических способностей, выбору профиля дальнейшего обучения.

Задачи курса:

- Научить учащихся решать линейные уравнения и неравенства с параметром

- Научить решать и исследовать квадратные уравнения и неравенства

- Рассмотреть аналитический и графический метод решения задач с параметрами

- Помочь овладеть рядом интеллектуальных умений

- Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им.

- Помочь ученику оценить свой потенциал.

Место предмета в базисном учебном плане:

Данный элективный курс реализуется за счёт часов вариативной части учебного плана, рассчитан на 24 часа.

Личностные, метапредметные, предметные результаты освоения курса.

Программа обеспечивает достижение следующих результатов:

личностные:

• формирование ценностных ориентаций (саморегуляция, стимулирование, достижение и др.);

• формирование математической компетентности;

• формирование ответственного отношения к учению, осознанному построению индивидуальной образовательной траектории с учетом познавательных интересов;

• умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры,

• уважать и принимать чужое мнение, если оно обосновано, доказывать свою точку зрения;

• поднимать самооценку учащихся, формировать у них чувство собственного достоинства, понимание ценности своей и чужой личности;

• формирование готовности и способности вести диалог с другими людьми и достигать в нем взаимопонимания (идентификация себя как полноправного субъекта общения).

метапредметные:

• умение ориентироваться в своей системе знаний и понимать, что нужны дополнительные знания для решения задач;

• умение выделять свойства в изучаемых объектах и дифференцировать их;

• умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач;

• овладение приемами контроля и самоконтроля усвоения изученного;

• работа по алгоритму, с памятками, правилами - ориентирами по формированию общих приемов учебной деятельности по усвоению математических понятий;

• умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

• умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, умение работать в группе;

• умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

• умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;

предметные:

• усвоить основные приемы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметрами;

• проводить полное обоснование при решении и исследовании задач с параметрами;

• применять приобретенных знаний и умений для решения задач.

Требования к уровню подготовки учащихся:

В результате изучения курса учащиеся должны:

• усвоить основные приемы и методы решений уравнений и неравенств с параметрами;

• применять аналитический метод и графический метод при решении уравнений и неравенств, содержащих параметр;

• проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;

• анализировать правдоподобность полученных результатов.

Содержание курса.

1. Решение линейных уравнений и неравенств с параметром. (3 часа)

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащих параметр. Решение простейших уравнений и неравенств с параметром. Геометрическая интерпретация. Исследование полученного ответа.

Цель: Дать первоначальное представление о параметре, о контрольных значениях параметра. Помочь привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений и неравенств, в частности линейных уравнений и неравенств.

2. Уравнения с параметрами, требующие дополнительной проверки. (3 часа)

Уравнения с параметрами, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением их области определения.

Цель: Научиться решать уравнения с ограниченной областью определения и исследовать количество корней в зависимости от параметра, используя графическую иллюстрацию.

3. Квадратные уравнения с параметром. (5 часов)

Аналитический и графический способы решений квадратных уравнений с параметром. Исследование количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета при определении знака корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки с абсциссой, равной m, и расположение корней квадратного трехчлена относительно отрезка.

Цель: Формирование навыков решения и исследования квадратных уравнений с параметром и уравнений к ним сводящимся.

4. Квадратные неравенства с параметрами. (3 часа)

Аналитический способ решения квадратного неравенства, используя график квадратного трехчлена, анализируя знаки старшего коэффициента и дискриминанта. Неравенства с ограниченными условиями: найти параметр, при котором, если переменная х принадлежит некоторому промежутку, то выполняется неравенство, или задачи, в которых все решения неравенства принадлежат данному промежутку.

Цель: Формирование навыков решения и исследования квадратных неравенств с параметром.

5. Решение рациональных неравенств. (2 часа)

Применение метода интервалов при решении неравенств

Цель: выработать навыки решения неравенств методом интервалов.

6. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля при наличии параметра. (3часа)

Определение модуля и его график. Раскрытие модуля с использованием определения модуля, метода интервалов и построения графика.

Цель: Научиться решить задания с параметрами, содержащие модуль.

7. Графический метод решения заданий с параметрами. (3 часа)

Графический подход к решению заданий с параметрами во многих случаях является рациональным решением, иногда основанном на неожиданной идее. Показать возможность использования не только плоскости «переменная-значение», но и плоскости «переменная-параметр».

Цель: Научится использовать графики и свойства функций при решении заданий с параметрами.

8. Итоговая работа по курсу. (2 часа)

Цель: Определение уровня подготовленности учащихся по данной теме и дальнейшей возможности обучения их в профильном классе

Тематическое планирование.ПРИЛОЖЕНИЕ.

Самостоятельная работа №1.

№1. Решите уравнения:

1). (а - 1) х = а² - 1 2). 6(ах - 1) -а = 2(а + х) - 7

№2. Решите неравенство: а·(3х - 5) ˂ 6 + ах

Практическая работа №1.

№1. Решите уравнения:

1). = 2 2). +

№2. Исследовать уравнение, выяснить при каком значении параметра m существует единственное положительное решение.

Самостоятельная работа №2.

№1. Решите уравнение и исследуйте знаки корней в зависимости от параметра а:

(а -1) х² + 2 · (2а + 1) х + 4а +3 =0

№2. При каких значениях параметра а один корень уравнения

х² - (3а + 2)х + 2а -1 =0 больше 1, а другой меньше 1?

Самостоятельная работа №3.

№1. Решить неравенство: (а - 3) х² - 2ах + 3а - 6 ≥ 0

№2. При каких а, если выполняется неравенство х² - а(1 +а²)х + а⁴ ˂ 0, то выполняется неравенство х² + 4х +3 ˂ 0?

Самостоятельная работа №4.

№1. При каких значениях параметра а неравенство (х³ - 8) · (а - х) 0 имеет единственное решение?

№2. При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства

(1 - х) · (х - а) ≥ 0 содержится пять целых чисел?

№3. При каких значениях параметра а решением неравенства

(х - а)²(х - 3)(х + 1) ≤ 0 служит сплошной промежуток?

Самостоятельная работа №5.

№1. При каких значениях параметра а уравнение

ǀx + 2ǀ -ǀx - 2ǀ = x + a имеет единственное решение.

а) решите аналитически

б) решите графически

№2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

ǀх +1ǀ +2ǀх + аǀ ˃ 3 - 2х выполняется для любого значения х.

Итоговая контрольная работа.

№1. Решите уравнение: + =

№2. При каких значениях а существует единственный корень уравнения

х² - ах + 2 = 0, удовлетворяющий условию 1 ˂ х ˂ 3?

№3. При каких значениях параметра а решением неравенства

(х - а)²(х + 4) ≥ 0 является луч?

№4. Решить уравнение: ǀǀх + 1ǀ - 2ǀ = а

№5*. Для каждого значения параметра а определите число решений системы уравнений: ǀхǀ + ǀyǀ = а

х² + y² = 1

5