Исследование функции с помощью производной

1.АВТОР: Акимова Анна Геннадиевна; учитель высшей категории.

2. ГОУ средняя общеобразовательная школа №260 г. Санкт-Петербурга Адмиралтейского района.

3.Алгебра,11 класс

4.Учебник: «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Ш.А. Алимов и др. Москва «Просвещение»,2010.

5.Тема: «Исследование функций с помощью производной»

6. Тип урока: Обобщающий урок по теме «Применение производной к исследованию графика функции » (подготовка к ЕГЕ- задание В8).

7. Оборудование: мультимедийный проектор, презентация с помощью прикладной программы POWER POINT.

8. Цели урока:

Обучающие: Показать умение анализировать график функции с помощью применения производной, повторить понятие: экстремума функции, стационарной точки, признаки возрастания (убывания) функции, геометрический и физический смысл производной.

РАЗВИВАЮЩИЕ: Развивать быстроту мысли, внимательность и смекалку.

Воспитательные: Воспитание таких черт характера как активность, взаимопомощь, самостоятельность.

Форма урока: математический бой- игровые формы обучения.

ХОД УРОКА:

Игра проводиться в три этапа: класс разбит на 6 групп по 3-4 человека в каждой.

1. Организационный момент: Учитель здоровается с учениками и начинает урок с цитаты, которая высвечивается на экране: «Теория без практики мертва или бесплодна; практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх всего, - и умения».Алексей Николаевич Крылов (русский ученый-инженер). ( Слайды 1, 2, 3)

2. 1 этап - «Разведка боем» (очередность выступления команд определяется с помощью лотереи). (Слайды 4)

Учитель: Итак, участники, внимание! Сформулируйте или продолжите математическое утверждение. Утверждения считываются с экрана. (По два утв. - каждой команде-2 балла) (Слайды 5-16)

1) Если f ^`(Х)>0 на промежутке, то …

2) Точка Х₀ , такая, что для всех Х из некоторой окрестности Х₀ выполняется неравенство f(Х) ≤ f(Х₀) называется …

3) Точки экстремума функции - это …

4) Стационарные точки - это …

5) Если f^`(Х)<0 на промежутке, то …

6) Точкой минимума функции y=f(Х) называется такая точка Х₀ , что …

7) Необходимое условие экстремума (теория Ферма): Если дифференцируемая в точке х₀ функция f(x) имеет в этой точке экстремум, то …

8) Достаточное условие экстремума: если при переходе через стационарную точку Х₀ производная меняет знак с «+» на «-», то …

9)Скорость Ѵ есть производная …

10) Ускорение a есть производная …

11) Геометрический смысл производной: …

12) Если при переходе через стационарную точку Х₀ производная меняет знак с « - » на «+», то …

Подводятся итоги 1 этапа, выставляются промежуточные баллы командам.

3. 2 этап - «Точечные удары». На экране появляются вопросы один за другим, ученик определенной команды на него отвечает (по очереди). Если ответ неверный, то отвечает ученик другой команды, получая дополнительные баллы ( По два вопроса каждой команде - по 1 балла за каждый вопрос). (Слайд 17)

На экране: Дан график функции y = f (Х) (см. презентацию):

Ученики, ВНИМАНИЕ!

Ответьте на следующие вопросы ( см. презентацию): (Слайды 18-29)

1)Определите количество точек экстремума функции y = f(Х). (9)

2)Определите количество точек min функции y = f(Х) на отрезке [-8;4]. (3)

3)Определите количество точек max функции y=f(Х) на отрезке [-5;9]. (4)

4)Найти сумму точек экстремума функции y = f(Х) на отрезке [-5;3]. (-5)

5)Определить количество целых точек, в которых производная функции y= f(Х) отрицательна. (7)

6)Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=6 или совпадает с ней. (9)

7)Найдите промежутки возрастания функции у = f(Х). Укажите в ответ длину наибольшего из них. (3)

8)Укажите количество точек, в которых производная функции f`(Х)=0. (9)

9)Найдите промежутки убывания функции у = f(Х). В ответ запишите длину наименьшего из них. (1)

10)В какой точке функция принимает наибольшее значение на интервале (-12; 11). (-10)

11)Чему равно значение производной функции y=f(x) в точке Х₀? (-2)

12)Чему равно значение производной функции y=f(x) в точке Х₀? (0,6)

Подводятся итоги 2 этапа, выставляются промежуточные баллы командам.

4. 3 этап - « Математический бой» (смотри 2 этап - аналогично)

На экране: Дан график производной функции y=f^'(x) на интервале (-12;11)

Ученики, Внимание!

Ответьте на следующие вопросы ( см. презентацию): (Слайд 30-42)

1)Найдите количество точек экстремума функции на интервал (-12;11). (5)

2)Найдите промежутки возрастания функции y=f(Х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. (-30)

3)Найдите промежутки убывания функции y=f(Х). В ответ укажите длину наибольшего из них. (6)

4)Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(Х) параллельна прямой у=-2Х-11 или совпадает с ней. (5)

5)Найдите количество точек максимума на отрезке [-9; 2]. (2)

6)Найдите количество точек минимумов на отрезке [-7; 10]. (2)

7)В какой точке функция f(Х) принимает наибольшее значение на отрезке [-10; -7]. (-8)

8)В какой точке отрезка [-6; -1] функция f(Х) принимает наименьшее значение. (-6)

9)В какой точке отрезка [1; 5] функция принимает наибольшее значение. (1)

10)Найдите сумму точек экстремума функции f(Х). (1)

11)Найдите количество точек, в которых производная f`(Х)=0. (5)

12)Найдите наибольшую абсциссу точки, в которой касательная к графику f(Х) параллельна прямой у=3Х-2 или совпадает с ней. (8)

Подводятся итоги 3 этапа, выставляются промежуточные баллы командам.

5. 4 этап - «Быстрый штурм». (Слайд 43)

Учитель объявляет начало 4 этапа. Капитаны команд получают задание у учителя на каждого члена команды и раздают его учащимся. Ребята за определенное время решают эти задания и сдают учителю. Учитель проверяет решенные задания, и добавляет дополнительные баллы команде. ( 1 задание-1 балл)

А теперь решаем задачи письменно:

1. Прямая y=3x+1 является касательной к графику функции ax²+2x+3. Найдите a.

2. Прямая y=-5x+8 является касательной к графику функции 28x² + b*x+15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t²-48t+17, где x-расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9с.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=0,5t³-3t²+2t, где x-расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6с.

5. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t⁴+6t³+5t+23, где x-расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3с.

6. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t⁴+6t³+5t+23, где x-расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3с. 7.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t²-13t+23, где x-расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ( в секундах) ее скорость была равна 3 м/с.

8. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/3*t³-3t²-5t+3, где x-расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с .

5 этап - «Заключительный этап»:

Подведение итогов и выставление оценок. Учитель считает баллы команд по всем этапам и объявляет результаты. Участники команды, занявшей 1 место получают оценку «отлично», 2 и 3 места - оценку «хорошо», а остальные команды получают «утешительные » призы. (Слайд 44)

Литература: 1. Сайт mathege.ru «Открытый банк заданий по математике».