Конспект урока по геометрииСвойства движений

Свойства движений

Цели урока:

• Рассмотреть свойства движений.

• Научить учащихся применять свойства движений при решении задач.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

1. Теоретический опрос (фронтальная работа с классом).

- Сформулируйте определение отображения плоскости на себя.

- Приведите примеры отображения плоскости на себя.

- Докажите, что осевая (центральная) симметрия является отображением плоскости на себя.

- Что такое движение?

- Являются ли осевая и центральная симметрии движениями?

2. Индивидуальная работа у доски.

Два ученика готовят ответы на опросы в то время, пока идёт фронтальный теоретический опрос. Их ответы заслушиваются, оцениваются всем классом.

- Какое отображение плоскости называют осевой симметрией? Докажите, что осевая симметрия есть движение.

- Какое отображение плоскости называют центральной симметрией? Докажите, что центральная симметрия есть движение.

Индивидуальная работа по карточкам

I уровень ( карточка №1)

1. Рис. 1. Постройте фигуру, симметричную данной относительно О.

2. Рис. 2. Постройте фигуру, симметричную данной относительно l.

II уровень ( карточка №2)

1.Постройте тупоугольный треугольник и его образ при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису внешнего угла, смежного его с тупым углом.

2. Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии относительно точки пересечения его медиан.

III уровень ( карточка №3)

1.Постройте тупоугольный треугольник и его образ при симметрии относительно точке пересечения его высот.

2.С помощью циркуля и линейки постройте ось симметрии равнобедренной трапеции.

Рис. 1 Рис. 2

III.Изучение нового материала

- Вспомните, что называют движением. Перечислите те свойства движений, которые вам уже известны. ( при движении сохраняются расстояние между точками.)

- Как вы думаете, в какую фигуру при движении отображается отрезок? (отрезок при движении отображается на отрезок.)

- Действительно, отрезок при движении отображается на отрезок, но истинность данного утверждения нам с вами нужно сегодня доказать.

Теорема

При движении отрезок отображается на отрезок

Дано: отрезок MN, при движении тока М отображается в точку М_1,точка N в точку N₁

Доказать: отрезок MN в отрезок M₁N₁

Доказательство: пусть Р - произвольная точка отрезка MN, которая при движении отображается в Р₁. Т. к. Р MN, то МP + РN= MN. При движении сохраняется расстояние между точками, поэтому M₁N₁=MN,M₁P₁=MP,N₁P₁ =NP, отсюда М₁Р₁+N₁P₁=MP+NP=MN=M₁N₁, т.е. M₁P₁+N₁P₁=M₁N₁, а это значит, что Р₁ M₁N₁. Итак, точки отрезка MN отображаются в точке отрезка M₁N₁.

Докажем, что в каждую точку Р₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка Р отрезка MN.

Т.к. Р₁ M₁N₁, то M₁N₁ = М₁Р₁ + Р₁N₁ = МР + PN = MN т.е. Р MN. Теорема доказана.

Задания учащаемся:

- Выясните в какую фигуру при движении отображается треугольник, и докажите справедливость своего утверждения.

(Дать учащимся 2-3 минуты на обдумывание, а затем выслушать все варианты ответов.)

Ответ: При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Доказательство можно организовать с использованием только что доказанной теоремы, в этом случае получим равенство треугольников по трём сторонам.

- В какую фигуру отображается при движении прямая, луч?

- В какую фигуру отображается при движении произвольный четырёхугольник, окружность?

- В какую фигуру отображается при движении угол?

IV. Закрепление изученного материала

1. Разобрать решение задачи

Задача

Решение: При движении отрезок отображается на отрезок, треугольник - на равный ему треугольник, угол - на равный ему угол.

Используя эти свойства движений, можно получить различные способы решений, а именно:

а) ∆АВD → ∆А₁В₁D₁, ∆ВСD → ∆В₁С₁D₁, АВСD → А₁В₁С₁D₁, причём АВСD = А₁В₁С₁D₁, т.к. ∆АВD = ∆А₁В₁D₁, ∆ВСD = ∆В₁С₁D₁.

б) АВ → А₁В₁, АD → А₁D₁, ВС → В₁С₁, СD → С₁D₁,;

А →А₁, В → В₁, С → С₁, D → D₁, причём АВ = А₁В₁, АD = А₁D₁, ВС = В₁С₁, СD = С₁D₁, А = А₁, В = В₁, С = С₁, D=D₁, тогда АВСD → А₁В₁С₁D₁, причём АВСD = А₁В₁С₁D₁.

2. Решить самостоятельно задачи, дополнительные задачи.

Дополнительные задачи

1. Докажите, что при движении смежные углы отображаются на смежные, а вертикальные - на вертикальные.

2. Докажите, что при движении подобные треугольники отображаются на подобные треугольники.

V. Подведение итогов урока