- Учителю
- Таблица по геометрии к теме 'Четырехугольники' 8 класс
Таблица по геометрии к теме 'Четырехугольники' 8 класс
Четырехугольники
Основные определения и свойства
Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:
∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:
∠A < ∠B+∠C+∠D, ∠B < ∠A+∠C+∠D,
∠C <����������������������������������������������������������
��������������������������������������������������
�������b < a+c+d,
c <�������������������
������������������������������������������������������������
����али выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого - нет.
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:
AB||CD, BC||AD.
У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:
AB=CD, BC=AD;
∠A=∠C, ∠B=∠D.
Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:
∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠A+∠D=180°.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:
AO=OC; BO=OD.
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:
∠ABC=∠CDA; ∠ABD=∠CDB.
Признаки параллелограмма:
-
Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
-
Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
-
Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам - параллелограмм.
-
Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:
AB=BC=CD=AD.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:
AC⊥BD;
∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB; ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.
Признаки ромба:
-
Если у четырёхугольника все стороны равны, то это ромб.
-
Если у четырёхугольника диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то это ромб.
-
Если в параллелограмме диагональ лежит на биссектрисе его угла, то это ромб.
-
Если в параллелограмме высоты равны, то это ромб.
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:
AC=BD;
AO=BO=CO=DO.
Признаки прямоугольника:
-
Если у четырёхугольника три угла прямые, то это прямоугольник.
-
Если у четырёхугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то это прямоугольник.
-
Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник.
-
Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.
Квадрат
Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны:
∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=AD.
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.
Признаки квадрата:
-
Если в ромбе один угол прямой, то это квадрат.
-
Если в ромбе диагонали равны, то это квадрат.
-
Если в ромбе соседние углы равны, то это квадрат.
-
Если в прямоугольнике соседние стороны равны, то это квадрат.
-
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то это квадрат.
-
Если в прямоугольнике диагонали являются биссектрисами его углов, то это квадрат.
Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:
AD||BC.
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные - боковыми сторонами.
Высота трапеции - перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°:
∠A+∠B=∠C+∠D=180°.
Средней линией трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:
AK=KB; CL=LD.
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:
KL||AD; KL||BC;
KL = ½(AD+BC).
Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:
AB=CD.
У равнобокой трапеции:
-
диагонали равны:
AC=BD;
-
углы при основании равны:
∠A=∠D, ∠B=∠C;
Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.