Интегрированный проект 'Геометрия у реки' (математика=география)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия»

Геометрия у реки

Интегрированная научно- исследовательская работа

(математика и география)

Работу выполнили:

Смирнова Наталия Алексеевна и Чичканова Анастасия Павловна,

ученики 10б класса

МБОУ «Гимназия»

Научные руководители:

Гребенникова Ирина Сергеевна,

учитель математики и

Щербакова Ирина Анатольевна,

учитель географии

г. Моршанск

2014г

Содержание

Введение ………………………………………………………

1.Подготовка к походу……………………………………….

1.1 Изучение маршрута по космическому снимку и

картографическая подготовка к походу……………..

2. Исследовательские работы во время похода……………...

2.1 Практические задания-исследования с помощью геометрии

2.1.1 Измерение высоты дерева………………………………

2.1.2 Измерение ширины реки…………………………………

2.1.3 Измерение глубины реки………………………………..

2.1.4 Вычисление площади водного сечения реки…………….

2.1.5 Определение крутизны склона……………………………..

2.1.6 Геометрический способ разведения костра……………….

2.2 Практическое применение географических знаний…………..

1. Определение сторон горизонта……………………………

2.2.2 Определение погоды……………………………………..

2.2.3 Ориентирование по местным предметам……………….

3. Использование практических задач для подготовки к ЕГЭ…………..

3.1 Решение заданий В6……………………………………….

Заключения. Выводы………………………………………………………

Список литературы……………………………………………………….

Природа говорит языком математики:

буквы этого языка - круги, треугольники

и иные математические фигуры.

Галилей

Введение

Геометрия и география… Казалось бы, как две эти разные науки взаимосвязаны между собой? Некоторые ученые до сих пор скептически относятся к симбиозу этих двух наук. Резонанс мнений исследователей велик, от восторженных взглядов до недоверчивых мыслей на слияние этих двух дисциплин.

Зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, элементами геометрия можно воспользоваться для измерения ширины, глубины, скорости течения реки, определения крутизны склона, высоты дерева и т. д. Знания географии помогают ориентироваться на местности, использовать один из "языков" международного общения - географическую карту, самостоятельно оценивать уровень безопасности окружающей среды как сферы жизнедеятельности. Таким образом, интегрированная научно-исследовательская работа «Геометрия у реки» ярко демонстрирует связь математики с географией.

Создавая интегрированный проект, мы выдвинули гипотезу: Можно ли воспользоваться приобретёнными геометрическими и географическими знаниями на практике, например в походе? Работая по данной проблеме, пытались выяснить, помогают ли учебные знания выполнить поставленные цели и задачи туристического похода, а также выжить и сохранить здоровье?

Актуальность данной работы состоит в том, что в ней мы рассмотрели возможность практического применения основ геометрии и географии в многодневном водном походе по реке Пра. А современная жизнь делает задачи по геометрии актуальными, так как сфера их практического приложения расширяется. Вопросы инновационных технологий в строительстве, космонавтике, технике невозможны без умения производить необходимые чертежи и вычисления, которые требуют знания важных и интереснейших свойств треугольника. Решая на практике планиметрические задачи типа В6, мы готовимся к ЕГЭ по математике.

Объект исследования: река Пра и её склоны.

Предмет исследования: вода и ландшафт реки.

Цель работы: применить полученные знания по геометрии и географии в условиях дикой природы.

Задачи исследования:

• с помощью современных информационных технологий изучить космический снимок Рязанской области; протяжённость маршрута водного похода;

• с помощью геометрии: измерить высоту дерева, определить ширину, глубину, скорость течения, крутизну склонов реки Пра;

• применить географические знания ориентирования и приспособления к условиям выживания в природе, полученные в школе;

• оформить результаты исследования в виде презентации, таблиц и графиков;

• решая практические задачи по планиметрии и географии, подготовиться к ЕГЭ.

Методы и приёмы исследования:

Приемы разностороннего гидрологического изучения;

Наблюдение, эксперимент;

Полевое картирование, фотографические работы;

Знакомство с литературой местного края и архивными источниками.

1.ПОДГОТОВКА К ПОХОДУ

Успех похода во многом зависит от того, насколько подготовился к нему его руководители и как подготовлены к походу все принимающие в нем участие члены туристской группы. Каковы бы ни были цели водных исследований, необходимо, прежде чем приступить к разработке маршрута похода, ознакомиться с краеведческой литературой, имеющей близкое отношение как непосредственно к изучаемому водному объекту, так и к тому району, в котором намечается проводить исследовательские работы. Тщательно продуманный и умело спланированный маршрут во многом предопределяет успех похода. За одну - две недели до выхода на маршрут мы научились пользоваться различными специальными инструментами и самодельным оборудованием, с которым придется иметь дело при исследовательских работах.

1. Изучение маршрута по космическому снимку и картографическая подготовка к походу

На Земле русской есть удивительный уголок под древним названием Мещёра, включающий Мещёрский национальный парк и Окский заповедник. Неподалёку, на старинном Муромском тракте, промышлял, согласно преданиям Соловей-разбойник. Мещёра вдохновляла многих художников, поэтов, писателей, музыкантов, таких как С. Есенин, К. Паустовский, Ф. Шаляпин. Одной из многочисленных рек Мещёры является река Пра. Река Пра практически ровно пополам делит рязанскую Мещеру. "Я много видел живописных и глухих мест в России, но вряд ли когда-нибудь увижу реку более девственную и таинственную, чем Пра", - писал К. Паустовский.

Прежде чем отправиться в многодневный байдарочный туристический поход мы с помощью прибора «Космос М-2» изучили космический снимок Рязанской области, её площадь(37374кв. км) и определили географическое положение реки Пра. Пра - река в Рязанской области, левый приток Оки. Берёт начало из озера Святое (Клепиковские озёра), течет Мещёрскими лесами на юг, юго-восток и восток. По спутниковому снимку определили географические координаты истока реки Пра: широта: 54°44'с. ш., долгота: 40°59' в. д. Длина Пры - 192 км. На Пре расположен город Спас-Клепики- районный центр Рязанской области. Начало водного похода у города Спас-Клёпики. Определили по карте его координаты - 55°с.ш. 40°в.д. и направление маршрута по реке Пра до следующего причала у Жуковских Выселок., далее остановка у села Деулино, его координаты - 54°с. ш. 40° в.д., далее до посёлка Брыкин Бор, его координаты - 54 °с. ш . 40°с.ш. С помощью географической карты наметили протяжённость маршрута, который составил приблизительно 120 км.

2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ РАБОТЫ ВО ВРЕМЯ ПОХОДА

2.1 Практические задания-исследования с помощью геометрии

2.1.1 Измерение высоты дерева

Прибрежная растительность реки Пра очень разнообразна. По берегам растёт много различных деревьев и кустарников. Существует множество различных способов измерения высоты дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.

По длине тени: способ Фалеса

Самый лёгкий и самый древний способ - без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался её тенью. Нетрудно изменить этот способ так, чтобы в солнечный день можно было пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив, и свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычислим искомую высоту из пропорции: AB:А₁В₁=BC:В₁С₁

т.е. высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты, во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени. Это вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников АВС и А₁В₁С₁.

Рис.1 Измерение высоты дерева.

Измерение высоты дерева при помощи простого булавочного прибора

Вполне возможно обойтись при измерении высоты и без помощи теней. Прежде всего, мы можем воспользоваться свойством равнобедренного треугольника, обратившись к услугам весьма простого прибора, который легко изготовить из дощечки и трёх булавок. (см. приложение1)

Рис.2 Схема применения булавочного прибора. Рис.3

Приближаясь к дереву или удаляясь от него, мы нашли такое место А (рис.2), из которого, глядя на булавки А₁ и С₁ , увидели, что они показывают верхушку С дерева: это значит, что продолжение гипотенузы А₁С₁ проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние А₁В = СВ, так как угол А₁=45⁰.

Следовательно, измерив расстояние А₁В и прибавив ВD, т.е. возвышение А₁А глаза над землёй, получили искомую высоту дерева.

По другому способу вы обходитесь даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который мы воткнули в землю так, чтобы выступающая часть как раз равнялась нашему росту. Место для шеста выбрали так, чтобы, лежа, как показано на рис.3, мы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как треугольник АВ₁С₁ - равнобедренный и прямоугольный, то угол А=45⁰ и, следовательно, АВ равно ВС, т.е. искомый высоте дерева. Существует ещё множество различных способов измерения высоты дерева. (см. приложение2)

Вывод: применяя различные способы измерения высоты дерева, используя различные инструменты для измерения высот, можно находить высоту различных объектов: здания, магазина, школы, частного дома. Результаты измерений занесли в таблицу и вычислили погрешность измерений (см. приложение).

2.1.2 Измерение ширины реки

Не переплывая реки, измерить её ширину - так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Неприступное расстояние измеряют теми же приёмами, какими мы измеряли недоступную высоту. Ширина реки достаточно точно может быть определена способом построения на берегу реки двух равных прямоугольных треугольников. Выбрав на противоположном берегу какой-нибудь приметный предмет А (дерево, камень и т. п.), расположенный у самой воды, вбиваем против него колышек В (рис.4). Вдоль берега, перпендикулярно к линии АВ, отмеряем рулеткой определенное расстояние (например 20 м) и вбиваем колышек С. На продолжении линии ВС в расстоянии, равном также 20 м, вбиваем еще один колышек Д. От колышка Л в направлении ДЕ, перпендикулярном к линии ДВ, надо идти от реки до тех пор, пока колышек С не окажется на одной линии с предметом А. Так как треугольники ABC = ЕDC, то ширина реки будет равна расстоянию ДЕ минус ВК.

Рис.4

При помощи нитки или травинки

Очень прост и удобен приближенный прием определения ширины реки при помощи травинки или нитки. Стоя на берегу реки в точке А(рис.5), заметим на противоположном ее берегу два приметных предмета (например лодку В и дерево С), расположенных близ уреза. Затем, взяв травинку за ее концы вытянутыми перед собой руками, замечают ее длину d, которой закрывается промежуток ВС между выбранными предметами (смотреть надо одним глазом). Затем, сложив травинку (нитку) пополам, отходим от реки до тех пор (точка D), пока промежуток ВС не будет закрыт травинкой. Расстояние AD будет равно ширине реки (на основании существующей в геометрии зависимости между величинами центрального и вписанного углов, опирающихся на одну и ту же хорду).

Рис.5

Существует множество способов решения этой задачи, которые подробно рассмотрены в приложении 3.

Вывод: вот несколько легко выполнимых приёмов, при помощи которых всегда возможно, не переправляясь на другой берег, измерить не только ширину реки, но и расстояние до любого недоступного объекта со вполне удовлетворительной точностью.

2.1.3 Измерение глубины реки

Близ берега реки мы отыскали водное растение, которое доставило нам реальный материал для практической задачи: без всяких приспособлений, не замочив даже рук, определить глубину водоёма в неглубоком месте. Рис.6

Решение: Пусть растение возвышается над водой на 0,5м. перегнём его так, чтобы его надводная часть коснулась воды. Тогда расстояние от стебля (точки С) до точки В, касания с водой, составило 1,5м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDС. Обозначим искомую глубину реки СD через х. (рис.6) Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

BD² =DС²+СВ², значит BD² =х²+СВ²

ВD= х+0,5, расстояние СВ=1,5м, получим

(х+ 0,5)²=х² + 1,5²,

Х²+х+0,25=х²+2,25, отсюда х=2

Ответ: искомая глубина реки составила 2м.

Вывод: при помощи различных способов (см. приложение) мы измеряли глубину реки и составили таблицу глубин(см. приложение). Определили, что средняя глубина реки Пра ≈ 1,5 м.

2.2.4 Определение площади водного сечения реки

Умея измерять глубины в отдельных точках и зная положение последних по ширине реки, нетрудно определить площадь поперечного водного сечения.

Проще всего и точнее всего при определении поперечного сечения реки перетянуть через нее промерную веревку (трос) и через равные по ширине расстояния произвести измерение глубин (примерно в 10-20 точках).

По данным измерений, записанным в таблице(см.приложение) (графы 1-3), легко вычертить профиль поперечного сечения реки и вычислить его площадь. Пример построения профиля поперечного сечения реки показан на рисунке 7.

Вычисление площади поперечного сечения заключается в определении площадей отдельных отсеков между соседними промерными вертикалями, представляющих собою трапеции или треугольники (по краям сечения), и последующем суммировании этих частных площадей. Найдя полусуммы соседних глубин и помножив их на соответствующие расстояния между промерными вертикалями, получим частные площади, а просуммировав их, и общую площадь поперечного сечения. Подсчет площади живого сечения дан в графах 4-6 приведенной выше таблице(См. приложение).

Рис.7

2.1.5 Определение крутизны склона

Для измерения крутизны склона применили самодельный прибор эклиметр,(см. приложение1) Для измерения крутизны склона прибор должен занять положение, параллельное склону, при этом отвес покажет некую величину β. Для вычисления угла α следует вычесть из 90^о эту, полученную путем измерения, величину β, тогда α=90^о-β, а сама работа по определению крутизны склона при помощи эклиметра - на рисунке 8

Рис.8

Крутизна склона приближенно может быть определена измерением его поверхности шагами. Подняв записную книжку до уровня глаз (рис. 26) и держа ее горизонтально, замечают на склоне точку В, в которую попадает луч зрения, скользящий вдоль края книжки. Расстояние АВ измеряют парами шагов.

Частное от деления 60 градусов на количество пар шагов, пройденных от точки стояния А до точки В, расположенной на склоне на уровне глаз измеряющего, покажет примерную крутизну склона в градусах.

Например, Число 60° выражает приблизительную величину радиана, т. е. центрального угла, опирающегося на дугу окружности, равную длине радиуса ( радиан равен 57°18 ′ ). Отсюда, крутизна склона

α : 60° = АС : АВ

Так, если АВ равно 4 парам шагов, а АС (рост человека) - 1 паре шагов, то крутизна склона будет равна 60:4=15 градусам.

2. Практическое применение географических знаний

1. Определение сторон горизонта

По Солнцу и часам

Устанавливаем часы горизонтально, затем поворачиваем их так, чтобы часовая стрелка была направлена на солнце. Угол на циферблате часов между направлением часовой стрелки и направлением на цифру 1 делим пополам. Биссектриса этого угла и показывает направление на юг. Полярная звезда всегда находиться на севере в созвездии малой медведицы. Ориентирование по Луне дает приближенные данные.

Определение сторон горизонта по Солнцу и часам.

а - до 13 часов; б - после 13 часов

По Полярной звезде

Полярная звезда всегда находится на севере. Чтобы найти Полярную звезду, сначала находим созвездие Большой Медведицы, напоминающее ковш, составленный из семи довольно ярких звезд. Затем через две крайние правые звезды Большой Медведицы мысленно проводим линию, на которой откладываем пять раз расстояние между этими крайними звездами, и тогда в конце этой линии находим Полярную звезду, которая, в свою очередь, находится в хвосте другого созвездия, называемого Малой Медведицей. Став лицом к Полярной звезде, мы получаем направление на север.

Для похода за продуктами в деревню, пришлось вспомнить азимут, чтобы не заблудиться и найти место стоянки.

2. Определение погоды

По народным приметам

Чистый закат солнца, переходящий от желтого цвета (у горизонта) к золотисто - розовому, а затем зеленому, - признак устойчивой ясной погоды.

• Если небо днем мутное и белесоватое, вечерняя заря красная, а солнце закрыто облаком, из-за которого видны лишь его лучи, - будет дождь.

• Усиление ветра к вечеру - к ухудшению погоды. Если в это время направление его меняется против движения часовой стрелки, будут продолжительные осадки.

• Если днем появляются мощные и высокие кучевые облака, если была гроза, но после нее не похолодало, ждите ночью снова грозы.

• На закате солнце красное - к ветру и похолодает, а если зайдет за тучи будет дождь.

• Солнце после восхода- дождь пойдет.

• Весь день солнце сильно печет - вечером жди дождя.

• Ночью на небе много звезд - день будет ясный. На луне четкие пятна - к ветру.

• Если рано утром по небу плывут редкие как туман облака, будет дождь.

2.2.3Ориентирование по местным предметам

Стороны горизонта в лесу мы определяли и по коре деревьев. Нужно помнить, что южная сторона деревьев, получая больше тепла и света, чем северная, имеет более сухую и светлую кору. Это особенно заметно в хвойных лесах. Помимо этого на более освещенной стороне деревьев имеются характерные наплывы и сгустки смолы, долго сохраняющие светло - янтарный цвет.

А также можно определять по лиственным деревьям. Так, стволы осин, а особенно тополя, с севера покрываются мхом и лишайниками. И даже если лишайник разросся по всему дереву, то с северной стороны его больше, там он влажный и плотный. Это особенно хорошо заметно по нижней части ствола. А кора белой березы с южной стороны всегда белее по сравнению с северной стороной. А, учитывая, что береза очень чувствительна к ветрам, наклон ее ствола также поможет ориентироваться в лесу.

Вывод

Знания, полученные в школе на уроках географии и на дополнительных занятиях, очень помогают в многодневном водном походе сохранить здоровье и благополучно вернуться домой.

3.Применение практического опыта в решении планиметрических задач

3.1Решение заданий В6, используемых на ЕГЭ по математике

Исследуя, решая и анализируя задания В6 ЕГЭ, нами было выделено несколько групп планиметрических задач по теме «Треугольник».

• Задачи, на нахождение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника

1.В треугольнике ABC угол C равен 90^о, AB = 10, AC = 8.Найдите cosB.

Решение.

В прямоугольном ΔABC по теореме Пифагора BC = =6.

Следовательно, cosB= =0,6 . Ответ: 0,6.

2. В треугольнике ABC угол C равен 90^о, высота CH= 6, AC = 10. Найдите tgA.

Решение.

В прямоугольном ΔACH по теореме Пифагора AH = =8.

Следовательно, tgA = =0,75. Ответ. 0,75

• Задачи, на нахождение сторон прямоугольного треугольника

1.В ΔABC угол C = 90^о, tgA = 0,75, AC = 8. Найдите AB.

Решение.

Так как tgA = ,то 0,75 = .

Имеем ВС=8∙ 0,75=6.

По теореме Пифагора находим AB == 10. Ответ: 10

• Задачи, на нахождение высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла

1. В ΔABC угол C равен 90^о, CH - высота, BC = 6,cosA = 0,8. Найдите CH.

Решение.

Так как ВС=6, и cos А = = , следовательно АС=8, АВ=10. По свойству АС=, тогда 8= , значит АН=6,4. По теореме Пифагора СН= =4,8. Ответ: 4,8.

• Задачи, на нахождение элементов равнобедренного треугольника

1. В ΔABC AC = BC = 10, sin В = 0,8. Найдите AB.

Решение.

Проведем высоту CH. Так как sinВ = . Имеем CH = ВC ∙ sinВ = 10∙0,8=8. По теореме Пифагора находим ВH = =6. Так как Δ АВС равнобедренный, то АН=НВ и, следовательно, AB = 12 Ответ: 12.

2. ВΔABCAC = BC, AB = 10, cosA = 0,6. Найдите высоту AH .

Решение.

В равнобедренном ΔABC угол Aравен углу B, следовательно cosA=cosВ= , тогда BH = AB ∙ cosB = =10∙0,6=6. По теореме Пифагора находим AH==8. Ответ: 8.

3. В ΔABC AB = BC, высота CH равна 5,tgC = . Найдите AC .

Решение.

В равнобедренном ΔABCугол Aравен углу C,значит tgС=tgА= = , тогда АН= = = 5 . По теореме Пифагора находим AC= = 10. Ответ: 10.

4. В ΔABCAC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cosA .

Решение.

В прямоугольном ΔABH по теореме Пифагора находим BH==6 , следовательно

cosB = =0,6. Так как АС=ВС, то ΔABС- равнобедренный, угол А равен углу В и, следовательно, cosA =cosB = 0,6. Ответ: 0,6.

5. В ΔABCAB = BC, высота CH = 6, AC= 10. Найдите тангенс угла ACB .

Решение.

По теореме Пифагора в прямоугольном ΔACH, AH = = 8. Откуда tgA = = 0,75 . Так как ∟A =∟C ΔABC , тоtg∟ACB=tgA= 0,75 . Ответ: 0,75

Практические задачи

Геометрия давно стала языком науки и техники. В настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Она помогает людям в решении многих практических задач, позволяет рассуждать о формах окружающего мира, помогает познать его красоту и многообразие. Особенно хочется отметить, что при выполнении работы (особенно практической её части), «шагая», пусть не всегда уверенно, но осознавая куда, зачем и как мы получили, ни с чем несравнимый, свой собственный драгоценный опыт!

Получив конкретное задание, тесно связанное с окружающим его миром, ученик всегда заинтересуется прикладным принципом решения задачи, какой бы трудной она ему ни казалась вначале

Задача 1. Для определения расстояния от пункта В до недоступной точки С отметили на местности точку А, находящуюся от пункта В на расстоянии 50 метров. Измерили угол А и угол В, оказалось, что ∟А=90^о , ∟В= 38^о . Найти расстояние от пункта А до недоступной точки С.

Решение: cosВ = , тогда cos38º = , следовательно ВС= =63,45. Ответ: 63,45

Задача 2. Для определения высоты дерева АС измерили расстояние ВС равно6 метров и угол В равен 41º. Найти высоту дерева.

Решение. Так как tg В = , то tg 41º = , следовательно АС=6∙0,87 =5,22. Ответ: 5,22.

Задача3

В 40м одна от другой растут две сосны. Вы измерили их высоту: одна оказалась 31м высоты, другая, молодая - всего 6м. Можете ли вы вычислить, как велико расстояние между их верхушками?

РЕШЕНИЕ

Искомое расстояние между верхушками сосен по теореме Пифагора равно =47м.

Решите сами

Задача 3. Чтобы определить расстояние от точки А до недоступной точки В измерили отрезок АС= 40м и углы:∟ВАС=57^о,∟АСВ=63^о.Найти расстояние АВ.

Задача 4. Чтобы определить высоту заводской трубы измерили расстояние АВ= 2 м и углы: £=35^о, ß=49^о.

Найдите высоту трубы

Задача 5 . Длина тени от многоэтажного дома 14 м, а длина тени от двухметрового шеста, вертикально воткнутого в землю, равна 1 м. Найдите высоту дома.

Задача6. Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте равной 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2200 км? Радиус Земли равен 6370км.

Ответ: могут.

Задача 7. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10м, а концы желоба расположены на высоте 8м и 4м над землей. Найдите длину желоба.

Ответ:м ≈ 10,8м.

Задача 8.Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7м, составляет 4м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом.

Ответ:60^о16^/.

Заключение

Исследование и решение мною заданий В6 ЕГЭ показало, что свойства треугольников, тригонометрические формулы широко используются при решении планиметрических задач. Несмотря на то, что эти задачи вычислительного характера, для их решения важно владение теоретическим материалом. необходимо владеть знаниями на уровне применения свойств треугольников, проводить вычисления.

Заметил, что свойства треугольников, тригонометрические формулы используются на практике при проведении различных измерительных работ на местности: определение высоты предмета, нахождение расстояния до недоступной точки, определение ширины реки и т.д.

Мой проект поможет учащимся подготовиться к ЕГЭ. Он может быть использован на уроках математики и факультативных занятиях, как при объяснении нового материала, так и при повторении. Эта работа так же предназначена для самостоятельного решения заданий В6 и контроля процесса подготовки учащихся к ЕГЭ.

Заключение

Геометрия возникла на основе практической деятельности, поэтому важно знать как при помощи геометрии измерить некоторые величины.

Целью работы служит рассмотреть применение геометрии на практике.

Рассмотренные примеры в работе позволяют измерить высоту дерева несколькими способами, не залезая на него (по длине тени, при помощи простого булавочного прибора, при помощи записной книжки), измерить ширину реки и глубину реки.

Данная работа важна тем, что наглядно показывает, что геометрия - это не просто школьный предмет, а наука, находящая применение в жизни.

Практическое применение работы состоит в том, чтобы использовать знания и умения в решении задач по геометрии, расширении кругозора учащихся.

Список литературы и интернет - ресурсов

1. Г.И. Глейзер ,« История математики в школе», Москва ,

« Просвещение» ,1982г.

2. Г.П.Бевз, И.Г.Владимирова ,«Геометрия 7-11класс»,1994г.

3. А.Д.Александров, «Геометрия 8-9», Москва, « Просвещение», 1991г.

4. Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский «Геометрия в таблицах 7-11 классы» Москва. Издательский дом «Дрофа» ,1997г.

5. Б.Г.Зив, В.Н.Мейлер ,«Задачи по геометрии», Москва «Просвещение», 2000г

6. А.Л. Семенова и И.В. Ященко «ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся», Ярославль « Интеллект-центр», 2011

7. И.Р. Высоцкий « Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ» Москва «Астрель», 2010

8. Зыкова Л. Окский государственный заповедник. - Рязань: Рязанская областная типография,2005.

9. Пармузин Ю.П. Живая география. - М.: Просвещение, 1993.

10. Паустовский К.Г. Мещёрская сторона. - Воронеж, Центрально-Чернозёмное книжное издательство, 2003.

11. Терешкин И.С. На краю Мещёры. - Саранск: Мордовское книжное издательство, 1999.

12. Ф.Ф. Лысенко «Математика. Подготовка к ЕГЭ- 2014.» Учебно- методический комплекс . - Ростов -на-Дону: издательство « Легион», 2013.

13. Я.И. Перельман «Занимательная геометрия». - Москва: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1950.

14. maps.yandex.ru; Географическое положение

15. marshruty.ru›Places/Place.aspx…; Исток реки

16. ru.wikipedia.org›wiki/Пра; Википедия

17. skitalets.ru›photogallery/2005/pra_alex/;Походы по реке Пра

Получив конкретное задание, тесно связанное с окружающим его миром, ученик всегда заинтересуется прикладным принципом решения задачи, какой бы трудной она ему ни казалась вначале.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение1

Использование инструментов и самодельных приборов при исследовательских работах

На дощечке любой формы, даже на куске коры, если у него есть плоская сторона, намечают три точки - вершины равнобедренного треугольника - и в них втыкают торчком по булавке. (рис.2) Если нет под рукой чертёжного треугольника для построения прямого угла, нет циркуля для отложения равных сторон, перегнём любой лоскут бумаги один раз, а затем поперёк первого сгиба ещё раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали, - и получим прямой угол. Та же бумага пригодится вместо циркуля, чтобы отмерить равные расстояния.

Рис.2 Булавочный прибор для измерения высот.

Обращение с булавочным прибором не сложнее изготовления. Отойдя от измеряемого дерева, держим прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можно использовать ниточку с грузиком, привязанной к верхней булавке.

Измерение высоты дерева, не приближаясь к дереву, с помощью планок

Рис. 6

Случается, что почему-либо неудобно подойти вплотную к основанию измеряемого дерева. Можно ли в таком случае определить его высоту?

Для этого и придуман остроумный прибор, который, как и предыдущие, легко изготовить самому. Две планки ab и cd скрепляются под прямым углом так, чтобы аb равнялось bc, а bd составляло половину аb. Вот и весь прибор. Чтобы измерить им высоту, держат его в руках, направив планку cd вертикально, и становятся последовательно в двух местах: сначала в точку А, где располагают прибор концом вверх, а затем в точке A', подальше, где прибор держат вверх концом d. (рис. 10) Точка А избирается так, чтобы, глядя из а на конец с, видеть его на одной прямой с верхушкой дерева. Точку же А' отыскивают так, чтобы, глядя из а' на точку d', видеть её совпадающей с В. В отыскании этих двух точек А и А' заключается всё измерение, потому что искомая часть высоты дерева ВС равна расстоянию АА'. Равенство вытекает, как легко сообразить, из того, что аС=ВС, а а'С=2ВС; значит, a'C-aC=BC.

Вы видите, что, пользуясь этим простым прибором, мы измеряем дерево, не подходя к его основанию ближе его высоты. Само собою разумеется, что если подойти к стволу возможно, то достаточно найти только одну из точек - А или А', чтобы узнать его высоту.

Самодельный угломер (эклиметр)

Прибор можно легко изготовили из прямоугольно­го куска картона размером 15x20 см. На него с помощью транспортира наносят полуокружность, размеченную на градусы. В центре полуокружности подвешивают на прочной нитке небольшой грузик.

Определение крутизны склонов. Крутизну склона, т. е. угол наклона поверхности склона к горизонтальной плоскости, удобнее всего измерять с помощью эклиметра - несложного инструмента в виде транспортира с отвесом, приспособленного для измерения на местности вертикальных углов.

Наиболее распространенные в практике измерительных работ разновидности самодельных эклиметров (эклиметр на палке, с планкой, на обложке записной книжки, карманный эклиметр) изображены на рисунке 24,

74

Приложение2

Различные способы измерения высоты дерева

При помощи записной книжки

Рис. 5 Измерение высоты дерева при помощи записной книжки.

В качестве прибора для оценки недоступной высоты мы можем использовать карманную записную книжку, если она снабжена карандашом, всунутым в петельку при книжке. Она поможет построить в пространстве два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжка должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигается над верхним обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а, видеть вершину В дерева покрытой кончиком В₁ карандаша. (рис. 5) Тогда вследствие подобия треугольников А₁В₁С₁ и А₁BC высота ВС определиться из пропорции ВС: В₁С₁= А₁C: А₁С₁

Расстояние В₁С₁,А₁С₁ и А₁С измеряются непосредственно. К полученной величине ВС надо прибавить ещё одну длину СD, т.е. - на ровном месте - высоту глаза над почвой. Так ширина А₁С₁ книжки неизменна, то если встать на одном и том же расстоянии от изменяемого дерева, высота дерева (например, 10м) будет зависеть только от выдвинутой части В₁С₁ карандаша. Поэтому можно заранее вычислить, какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа на карандаш. Записная книжка превратится в упрощённый высотомер, и при её помощи можно определять высоты сразу, без вычислений.

Приложение3

Различные способы измерения ширины реки

Для первого способа понадобится уже знакомый нам «прибор» с тремя булавками на вершинах треугольника. Пусть требуется определить ширину АВ реки (рис.10), стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на противоположный. Став где-нибудь у точки С, держите булавочный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают точки В и А. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на продолжении прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок и заметьте точку D, покрываемую этими булавками, т.е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. После этого воткните в точку С веху, покиньте это место и идите с вашим инструментом вдоль прямой СD, пока не найдёте на ней такую точку Е (рис.11), откуда можно одновременно покрыть для глаза булавкой b шест точки С, а булавкой а - точку А. Это будет значить, что вы отыскали на берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором угол С - прямой, а угол Е равен острому углу булавочного прибора, т.е. ½ прямого. Очевидно, и угол А равен - прямого, т.е. АС=СЕ. Если вы измерите расстояние СЕ хотя бы шагами, вы узнаете расстояние АС, а отняв ВС, которое легко измерить, определите искомую ширину реки.

Рис.8 Рис.9

Рис.10

Второй способ сходен с первым. Здесь также находят точку С на продолжении АВ и намечают при помощи булавочного прибора прямую CD под прямым углом к СА. Но дальше поступают иначе. (рис.12) На прямой СD отмеряют равные расстояния СУ и ЕF произвольной длины и втыкают в точки Е и F вехи. Став затем в точке F с булавочным прибором, намечают направление FG, перпендикулярное к FC. Теперь, идя вдоль FG, отыскивают на этой линии такую точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Это будет означать, что точки Н,Е и А лежат на одной прямой.

Задача решена: расстояние FH равно расстоянию АС, от которого достаточно лишь отнять ВС, чтобы узнать, искомую ширину реки.

Рис.11

Описанный сейчас способ можно видоизменить: отмерить на прямой СF не равные расстояния, а одно в несколько раз меньше другого. Например, (рис.13) отмеряют FE в четыре раза меньше ЕС, а далее поступают по-прежнему: по направлению FG, перпендикулярному к FC, отыскивают точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Но теперь уже FH не равно АС, а меньше этого расстояния в четыре раза: треугольники АСЕ и ЕFH здесь не равны, а подобны. Из подобия треугольников следует пропорция АС:FH=СУ:УF=4:1.

Значит, измерив FH и умножив результат на 4, получим расстояние АС, а отняв ВС, узнаем искомую ширину реки. Этот способ требует меньше места и потому удобнее для выполнения, чем предыдущий.

Четвёртый способ основан на том свойстве прямоугольного треугольника, что если один из его острых углов равен 30', то противолежащий катет составляет половину гипотенузы. Убедиться в правильности этого положения осень легко. Пусть угол В прямоугольного треугольника АВС равен 30'; докажем, что в таком случае АС=1/2АВ. Повернём треугольник АВС вокруг ВС так, чтобы он расположился симметрично своему первоначальному положению (рис.14), образовав фигуру АВD; линия АСD - прямая, потому что оба угла у точки С прямые. В треугольнике АВD угол А=60', угол АВD, как составленный из двух углов по 30', тоже равен 60'. Значит, АD=BD как стороны, лежащие против равных углов. Но АС=1/2AD; следовательно, АС=1/2АВ.

Рис. 12 Рис. 13

Желая воспользоваться этим свойством треугольника, мы должны расположить булавки на дощечке так, чтобы основания их обозначали прямоугольный треугольник, в котором катет вдвое меньше гипотенузы. С этим прибором мы помещаемся в точке С (рис.15) так, чтобы направление АС совпадало с гипотенузой булавочного треугольника. Смотря вдоль короткого катета этого треугольника, намечают направление СD и отыскивают на нём такую точку Е, чтобы направление ЕА было перпендикулярно к СD. Легко сообразить, что расстояние СУ - катет, лежащий против угла 30', - равно половине АС. Значит, измерив СЕ, удвоив это расстояние и отняв ВС, получим искомую ширину АВ реки.

Таблица измерения глубин и вычислений площади поперечного сечения реки

Приложение5

Определение сторон горизонта

Для определения направления по сторонам света вначале определили направление север-юг; после чего, став лицом к северу, определяющий имеет направо - восток, налево - запад. Стороны света обыкновенно находят по компасу, а при отсутствии его - по Солнцу, Луне, звездам и по некоторым признакам местных предметов.

По Солнцу:

В северном полушарии места восхода и захода Солнца по временам года следующее:

• зимой Солнце восходит на юго-востоке, а заходит на юго-западе;

• летом Солнце восходит на северо-востоке, а заходит на северо-западе;

• весной и осенью Солнце восходит на востоке, а заходит на западе.

• Солнце примерно находится в 7.00 на востоке, в 13.00 - на юге, в 19.00 - на западе. Положение Солнца в эти часы и укажет соответственно направления на восток, юг и запад.

• Самая короткая тень от местных предметов бывает в 13 часов, и направление тени от вертикально расположенных местных предметов в это время будет указывать на север.

По восходу и закату солнца:

На открытой местности определяли азимуты (угол в градусах, измеренный по ходу часовой стрелки от северного конца меридиана до направления на ориентир), точек восхода и заката солнца. Полусумма азимутов указывает направление истинного меридиана. Если полусумма меньше 180^◦, то склонение восточное, если больше - западное.

По карте

Для этого ориентируем крупномасштабную карту по линиям местности накладываем компас нулевым диаметром на линию истинного меридиана и по отклонению магнитной стрелки судим о величине и направлении магнитного склонения. При движении по азимуту тщательно выдерживаем направление и чаще сверяемся с компасом. В случае обхода препятствий на противоположной стороне следует заметить какой - либо ориентир и, обойдя препятствие, продолжать движение по азимуту из этого ориентира.

1.2 Решите сами.

1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=182, АС=70.Найдите tg А.

2. В треугольнике АВС угол С равен 90°,cosB=0,6, АВ=5. Найдите АС.

3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна 10, а высота, проведённая к основанию, равна 8. Найдите косинус угла А.

4. В треугольнике АВС угол С равен 90°,АВ=5,АС=3. Найдите sinА.

5. В треугольнике АВС угол С равен 90°,СН-высота,АВ=39,tgA=. Найдите АН.

6. В треугольнике АВС АС=ВС, высота СН равна 2,5, sinA=. Найдите АВ.

7. В треугольнике АВС угол С равен 90°,tgA=0,4. Найдите tgВ.

8. В треугольнике АВС угол С равен 90°,sinA=0,48. Найдите cosВ.

9. В треугольнике АВС угол С равен 90°,cosA=, ВС=2. Найдите АВ.

10.Острые углы прямоугольного треугольника равны 52и 38°. Найдите угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

11. Острые углы прямоугольного треугольника равны 52ºи 38º.Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

13. Острые углы прямоугольного треугольника равны 52ºи 38º.Найдите угол между медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

13.В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол В равен 30°, ВС= 3. Найдите АС.

14.В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол А равен 60°, ВС= .

Найдите АС.

15.В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол А равен 30°. Найдите синус угла ВАД.( угол ВАД - внешний угол треугольника).

16.В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол В равен :60°. Найдите синус угла ВАД.( угол ВАД - внешний угол треугольника).

17.Один острый угол прямоугольного треугольника на 30°больше другого. Найдите больший острый угол.

18.В треугольнике АВС АС=ВС, угол С равен 120°, АВ=. Найдите АС.

19. Длины двух сторон треугольника 3 и 7. Найдите наибольшее возможное целое значение длины третьей стороны.

20. Длины двух сторон треугольника 4 и 6. Найдите наименьшее возможное целое значение длины третьей стороны.

ОТВЕТЫ

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ответ

2,4

4

0,6

0,8

27

10

9

2,5

0,48

14

Номер задания

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ответ

7

7

3

1

0,5

0,5

60

1

5

3

.