Конспект занятия математического кружка на тему 'Выпуклые многогранники и их свойства', 11 класс

Конспект занятия математического кружка на тему «Выпуклые многогранники и их свойства», 11 класс

Цели: продолжение начатого на уроках знакомства с многогранниками, выпуклыми многогранниками, формулировка основных их свойств.

Оборудование: проектор, бумага, модели выпуклых и невыпуклых многогранников, карандаш, линейка, угольник.

План занятия:

1) организационный момент;

2. рассказ учителя;

3. исследовательская работа (работа с наглядными пособиями);

4. подведение итогов;

5. домашнее задание.

В начале урока нужно дать ребятам задание рассмотреть предложенные им различные геометрические тела (шар, тетраэдр, куб, цилиндр, пирамида, призма, конус, прямоугольный параллелепипед и др.). Попросить ответить на следующие вопросы:

- На какие две группы можно поделить все геометрические тела? (тела вращения и многогранники);

Затем нужно сказать, что на кружке мы будем изучать многогранники. Предложить выделить из всех геометрических тел многогранники и рассмотреть их.

Рассмотрите многогранники (можно предложить куб и тетраэдр):

- Из чего состоит поверхность многогранника? (из многоугольников);

- Как называются эти многоугольники? (гранями);

- Как называются стороны и вершины многоугольников? (ребрами и вершинами многогранника)

- Как ведут себя грани многогранника? (грани могут пересекаться и не пересекаются);

- Если две грани пересекаются, то каким может быть их пересечение? (либо общая вершина, либо общее ребро);

- Что можно сказать о поверхности многогранника? (у него поверхность замкнутая, состоит из многоугольников).

- Рассмотрите «стакан» и куб. Чем отличаются их поверхности? (у «стакана» поверхность не замкнутая).

Еще раз подчеркиваем, что у многогранника поверхность замкнутая и состоит из многоугольников.

- Пусть дан куб и одна из его граней разбита на два треугольника диагональю (показать). Можно ли сказать, что эти треугольники являются гранями куба? (нет).

Подводя итоги, дайте определение многогранника.

Определение 1: Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого замкнута и состоит из конечного числа плоских многоугольников, удовлетворяющих следующим условиям:

1. пересечение любых двух многоугольников либо пусто, либо равно их общей вершине, либо их общей стороне;

2. каждая сторона является общей стороной точно двух многоугольников;

3. никакие два многоугольника, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости.

Эти многоугольники называются гранями, их вершины - вершинами, а стороны - ребрами многогранника.

Примерами многогранников являются тетраэдры, произвольные пирамиды и призмы, изучаемые в средней школе.

Далее следует предложить рассмотреть куб, призму или тетраэдр и простой звездчатый многогранник. Попросить ответить на следующие вопросы:

- Рассмотрите хорошо известные вам многогранники: куб, тетраэдр призму. Проведём через любую грань куба плоскость. Как лежит куб по отношению к этой плоскости? (он целиком будет лежать в одной полуплоскости);

- Будет ли такое же свойство иметь место для тетраэдра, призмы? (да, будет);

- А как будет себя вести звездчатый многогранник? (Часть лежать в одной полуплоскости, а часть в другой).

Все эти примеры необходимо проиллюстрировать.

- По замеченным нами свойствам многогранники делятся на два класса: выпуклые и невыпуклые.

Определение 2: Многогранник F называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из её граней.

Определение выпуклого многогранника можно дать другое, используя выпуклое тело. Тело Ф называется выпуклым, если для любых точек А, В Ф отрезок АВ целиком лежит в Ф.

Обратить внимание, что все многогранники, удовлетворяющие определению 2, вместе с любыми двумя точками содержат и определяемый этими точками отрезок. Проиллюстрировать, что звездчатый многогранник, «ящик» (рис. 1, г) не удовлетворяет этому условию, не удовлетворяет и определению 2.

Рассмотрим примеры выпуклых многогранников. Если основание пирамиды является выпуклым многоугольником, то такая пирамида является выпуклым многогранником. В частности, тетраэдр - выпуклый многогранник. «Ящик», звёздчатый многогранник не будут выпуклыми многогранниками.

а) б) в)

г) д)

Рис. 1

На рис. 1, а), б) - изображены выпуклые многогранники, в) - «ящик», г) - невыпуклая пирамида, д) - тор.

Если основанием призмы служит выпуклый многоугольник, то такая призма является выпуклым многогранником. В частности, параллелепипед - выпуклый многогранник.

Далее можно попросить ребят нарисовать в тетрадях и на доске выпуклые и не выпуклые многогранники.

Ещё один способ получения выпуклых многогранников из многогранников, уже известных, основан на разложении многогранников. Говорят, что фигура ФЕ₃ разложена на фигуры F_1, F_2,…, F_{m ,} если выполнены следующие два условия:

1. фигуры F_k образуют покрытие фигуры Ф, т. е. Ф = F_k;

2. любые две фигуры F_i , F_j не имеют общих внутренних точек:

Ø (i, j = 1, 2, … , m; i j).

Пусть Ф - выпуклый многогранник и плоскость σ пересекает внутренность Ф этого многогранника (т. е. Ø). Так как Ф и σ фигуры выпуклые, то их пересечение Ф σ = F₀ является фигурой выпуклой. Легко видеть, что F₀ - выпуклый многоугольник. Плоскость σ делит все не принадлежащие ей точки многогранника Ф на две части и , расположенные по разные стороны от плоскости σ. Мы приходит к двум новым выпуклым многогранникам Ф₁ = F₀ и Ф₂ = F₀ , причем данный многогранник Ф разложен на многогранники Ф₁ и Ф₂.

Ясно, что наименьшее число вершин у выпуклого многогранника равно четырём, и такое число вершин имеет тетраэдр. В этом смысле тетраэдр - простейший выпуклый многогранник.

Можно доказать, что всякий выпуклый многогранник разложим на конечное число выпуклых многогранников, а всякий выпуклый многогранник разложим на конечное число тетраэдров.

Предложить вопрос: можно ли невыпуклый многогранник разложить на конечное число выпуклых многогранников? Начать с рассмотрения рис. 1, г) и в), взять звездчатый многогранник.

Вывод: Всякий многогранник можно разложить на конечное число выпуклых многогранников.

Отсюда следует, что выпуклые многогранники играют, как бы, основную роль.

Представьте себе, что поверхность многогранника сделана из хорошей резины, а его вершины приколочены на колышках. Мы взяли насос и стали надувать наш многогранник, во что он превратиться? (в сферу). Поверхность каких рассмотренных нами многогранников станет сферой? (все, кроме «ящика»). Поверхность сферы - называют поверхностью нулевого рода.

Если одну фигуру можно растянуть (как резиновую) в другую, то такие фигуры называются гомеоморфными.

Если многоугольник представить резиновым, то многоугольник, который можно растянуть в круг, называется простым многоугольником или клеткой.

Определение 3: Родом многогранника называется род его поверхности. Граница тетраэдра гомеоморфна сфере, следовательно, тетраэдр - пример многогранника нулевого рода. Многогранники нулевого рода, грани которых являются клетками, называются также простыми. Тетраэдр и куб - примеры простых многогранников.

- Какие ещё многогранники нулевого рода вы знаете?

- Во что раздуется «ящик»? (в бублик). Этот бублик называется тором.

«Ящик» не раздувается в шар, он раздуется в тор (рис. 1, д.). Поверхность тора называется поверхностью первого рода.

- Какие еще многогранники будут иметь поверхность первого рода?

На рис. 2, а) изображен тор, на рис. 2, б) и в) сфера с ручкой. Все эти поверхности будут первого рода.

- Как вы думаете, существуют ли поверхности второго рода? (существуют).

- Как они выглядят?

На рис. 2, г) изображен крендель или по-другому его называют тор склеенный. На рис. 2, д) и е) изображена сфера с двумя ручками. Все эти поверхности второго рода. Крендель можно получить из многогранника, изображенного на рис. 2, ж) путем его раздувания.

а) г)

б) в) д)

е) ж)

Рис. 2

Методические рекомендации. Если есть учащиеся, проявляющие повышенный интерес к предмету, то можно рассказать о роде многоугольника. Все многоугольники, которые изучаются, простые. Они все нулевого рода, т. е. при растягивании они «превратятся» в круг. Многоугольники первого рода при растягивании станут кругом с дыркой, а второго рода - кругом с двумя дырками. Примеры многоугольника нулевого рода изображен на рис. 3, в), многоугольник первого рода на рис. 3, а) растянется в фигуру на рис.3), б). Многоугольник второго рода на рис. 3, д) перейдёт в фигуру на рис. 3, г).

а) б) в)

г) д)

Рис.3

В конце занятия, в виде обобщения, можно рассказать следующие теоремы.

1. Выпуклый многогранник является простым.

2. Все точки выпуклого многогранника расположены в одном и том же замкнутом полупространстве, границей которого является плоскость любой грани.

3. Если все точки многогранника F расположены в одном замкнутом полупространстве, границей которого является плоскость любой грани, то F - выпуклый многогранник.

4. (Т. А. Александрова). Если каждая из граней выпуклого многогранника имеет центр симметрии, то и сам этот многогранник имеет центр симметрии.

5. (Т. А. Александрова). Пусть F и F׳ выпуклые многогранники, а А и А׳ - множества, элементами которых служат грани многогранников F и F׳ соответственно. Если существует биективное отображение f: A → А׳, удовлетворяющее двум условиям: 1) внешние нормали каждых двух соответственных граней одинаково направлены; 2) ни одну из двух соответственных граней нельзя перевести внутрь другой с помощью параллельного переноса, то многогранники F и F׳ равны.

В качестве домашнего задания можно предложить ребятам сделать модели геометрических тел (шар, тетраэдр, куб, цилиндр, пирамида, призма, конус, прямоугольный параллелепипед и др.).