Учебно-исследовательская работа учащейся 8 класса по теме Точки и прямые на плоскости, научный руководитель Ражева Н.В.

Муниципальное образовательное учреждение Подвязновская средняя общеобразовательная школа. Ивановский район.

___________________________________________________________________

Учебно-исследовательская работа по математике

Работу выполнила: Коновалова Виктория

ученица 8 класса

Научный руководитель: Н.В.Ражева

учитель математики

2012

Муниципальное образовательное учреждение Подвязновская средняя общеобразовательная школа

Учебно-исследовательская работа по математике ученицы 8 класса Коноваловой Виктории

Тема работы: «Точки и прямые на плоскости»

Цель исследования: установить взаимную связь количества точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, и количества прямых, которые через них можно провести. Вывести формулы для подсчета количества прямых на плоскости, которые можно провести через заданное количество точек.

Выдвигаем гипотезу: между количеством точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, и количеством прямых, которые через них можно провести, существует закономерность.

Предмет исследования:

В начале изучения геометрии мы познакомились с аксиомой: «Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну».

А

В

Я задалась вопросом, сколько прямых можно провести на плоскости через 3,4,5, … точек, не лежащих на одной прямой, и как подсчитать количество этих прямых.

Задачи исследования:

1. Освоить поисково-исследовательские методы;

2. Подтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу;

3. Подобрать формулы для подсчета прямых на плоскости, которые можно провести через заданное количество точек, не лежащих на одной прямой.

Литература:

• Учебник. Алгебра - 9. Под редакцией С.А. Теляковского.

М. «Просвещение», 2011

Темы:

• Арифметическая и геометрическая прогрессии;

• Элементы комбинаторики.

Методы исследования:

• Наглядно-практический;

• Метод перебора возможных вариантов;

• Наблюдение, анализ полученных результатов;

• Поисковый.

Описание работы:

1. В начале работы, прямые через заданное количество точек, я подсчитывала, выполняя чертеж:

1

3

2

3 прямые:

Первую точку можно соединить со второй и третьей, третью со второй, т.е. через каждую пару точек можно провести единственную прямую.

4 точки

1

2

3

4

6 прямых:

Первую точку можно соединить тремя прямыми со 2,3,4 точками.

Вторую точку - с 3,4, с первой она уже соединена единственной прямой.

Третью точку - с 4, а со 2 и1 она уже соединена. Четвертая точка уже соединена с 1,2,3 точками

5 точек

1

2

3

5

4

10 прямых:

Первую точку соединяем прямой со 2,3,4,5.

Вторую - с 3,4,5.

Третью - с 4,5.

Четвертую- с 5.

Пятая точка соединена прямыми со всеми имеющимися точками.

Уже на этом этапе стало понятно, что провести подсчет прямых можно без рисунка.

2. Например, количество прямых можно подсчитывать таким образом:

(1;2), (1;3), (1;4), (1;5)

(2;3), (2;4), (2;5)

(3;4), (3;5)

(4;5)

1+2+3+4=10

6

(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6)

(2;3), (2;4), (2;5), (2;6)

(3;4), (3;5), (3;6)

(4;5), (4;6)

(5;6)

1+2+3+4+5=15

7

(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (1;7)

(2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (2;7)

(3;4), (3;5), (3;6), (3;7)

(4;5), (4;6), (4;7)

(5;6), (5;7)

(6;7)

1+2+3+4+5+6=21

8

(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (1;7), (1;8)

(2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (2;7), (2;8)

(3;4), (3;5), (3;6), (3;7), (3;8)

(4;5), (4;6), (4;7), (4;8)

(5;6), (5;7), (5;8)

(6;7), (6;8)

(7;8)

1+2+3+4+5+6+7=28

9

(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (1;7), (1;8), (1;9)

(2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (2;7), (2;8), (2;9)

(3;4), (3;5), (3;6), (3;7), (3;8), (3;9)

(4;5), (4;6), (4;7), (4;8), (4;9)

(5;6), (5;7), (5;8), (5;9)

(6;7), (6;8), (6;9)

(7;8), (7;9)

(8;9)

1+2+3+4+5+6+7+8=36

10

(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (1;7), (1;8), (1;9), (1;10)

(2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (2;7), (2;8), (2;9), (2;10)

(3;4), (3;5), (3;6), (3;7), (3;8), (3;9), (3;10)

(4;5), (4;6), (4;7), (4;8), (4;9), (4;10)

(5;6), (5;7), (5;8), (5;9), (5;10)

(6;7), (6;8), (6;9), (6;10)

(7;8), (7;9), (7;10)

(8;9), (8;10)

(9;10)

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

Составим таблицу зависимости количества прямых от количества точек, не лежащих на одной прямой. Количество точек каждый раз будем увеличивать на одну.По таблице видно, что при увеличении количества точек на одну, количество прямых увеличивается на разное число или в разное количество раз. То есть, предположение о том, что между количеством точек и количеством прямых, которые через них можно провести существует закономерность, не подтверждается. Направим исследование на вывод формул для подсчета количества прямых по заданному количеству точек, не лежащих на одной прямой; так как, при достаточном увеличении количества точек, продолжать подсчет прямых методом перебора не рационально.

3. Подсчитывая количество прямых в зависимости от количества точек, методом перебора, замечаю, что ряд чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,… представляет собой арифметическую прогрессию, т.к. каждый член, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

При нахождении количества прямых через 8 точек, нужно найти сумму первых 7 членов этой прогрессии, через 9 точек - сумму 8 первых членов прогрессии, через 10 точек - сумму 9 первых членов прогрессии,…

Формула суммы n-первых членов: S_n =

a₁=1, d=1

9

S_9-1=S₈==36

10

S_10-1=S₉==45

25

S_25-1=S₂₄==300

4. Еще один способ подсчета прямых:

Определение: Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Элементами (n) нашего множества являются точки, каждая прямая проводится через два (k) элемента этого множества.

Подсчёт количества прямых, используя сочетания из n элементов по k выполняется по формуле: C_n^k= (! - знак факториала)

Например, для 25 точек на плоскости надо найти сочетание из 25 элементов по 2.

C₂₅² ====12=300

Получается 300 прямых.

Выводы:

Выдвинутая гипотеза была опровергнута. Хотя и нет закономерности, но для любого количества точек можно подсчитать количество прямых, которые через них можно провести.

Для подсчета количества прямых на плоскости я использовала четыре метода:

• Наглядно-практический;

• Метод перебора;

• По формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии;

• По формуле сочетаний из n элементов по k.