Конспект урока по геометрии '«Признак перпендикулярности плоскостей».

Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса

Тема урока: «Признак перпендикулярности плоскостей».

Цель урока: введение понятия угла между плоскостями.

Задачи:

Образовательная: дать определение перпендикулярных плоскостей, доказать признак перпендикулярности двух плоскостей;

Развивающая: развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления;

Воспитательная: воспитание аккуратности, внимательности, культуры математической речи.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный

Оборудование: компьютер, интерактивная доска.

Литература:

1. Геометрия. 10-11 классы : учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] - 18-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 255 с.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин)

2. Актуализация знаний (5 мин)

3. Изучение нового материала (12 мин)

4. Закрепление изученного материала (21 мин)

5. Домашнее задание (2 мин)

6. Подведение итогов (3 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.

2. Актуализация опорных знаний.

Учитель: Точка А лежит на ребре двугранного угла. Верно ли, что ∠ABC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру?

Ученики: Нет.

Учитель: Верно ли, что ∠BAC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС лежат в гранях двугранного угла?

Ученики: Нет.

Учитель: Верно ли, что ∠BAC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру, а точки В а С лежат на гранях угла?

Ученики: Да.

Учитель: Линейный угол двугранного угла равен 80°. Найдется ли в одной из граней угла прямая, перпендикулярная другой грани?

Ученики: Нет.

Учитель: ∠ABC - линейный угол двугранного угла с ребром а. Перпендикулярна ли прямая а плоскости ABC?

Ученики: Да.

Учитель: ∠ABC - линейный угол двугранного угла с ребром а. Перпендикулярна ли прямая а плоскости ABC?

Ученики: Да.

Учитель: Что называется двугранным углом?

Ученики: Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.

3.Изучение нового материала.

Учитель: Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока.

Запись на доске и в тетрадях:

15.12.14.

Признак перпендикулярности плоскостей.

Учитель: При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между пересекающимися плоскостями называется линейный угол φ этого двугранного угла, который 0° < φ ≤ 90° (рис. 1).

Учитель: Если φ = 90°, то плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) (рис. 2).

Учитель: Приведите примеры взаимно перпендикулярных плоскостей.

Ученики: Плоскости стены и пола, стены и потолка комнаты.

Учитель: Ясно, что в этих случаях каждый из четырех двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями, прямой (рис. 2). Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3). Доказать: α ⊥ β.

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD - линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β. Запишите теорему и её доказательство в тетради и сделайте чертёж.

Запись на доске и в тетрадях:

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3). Доказать: α ⊥ β.

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD - линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β.

4.Закрепление изученного материала.

Учитель: При решении задач используются утверждения:

1. Плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, перпендикулярна к его граням (следствие).

2. Перпендикуляр, проведенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к линии их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости (№ 178).

Учитель: Решим №172 у доски.

Ученик: №172

Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC равен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4). Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС. Отсюда следует, что ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника , ∠ВСК = 60°. Из ΔВСА по теореме Пифагора:

Из ΔВКС:

Ответ: 6√3 см.

Запись на доске и в тетрадях:

№172

Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС α, угол между плоскостями α и ABC равен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4). Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ α  КС - проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника , ∠ВСК = 60°.

Из ΔВСА:

Из ΔВКС:

Ответ: 6√3 см.

5.Подведение итогов.

Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Ученики: Узнали какие плоскости называются перпендикулярными, признак перпендикулярности плоскостей.

6.Домашнее задание.

Запись на доске и в дневниках: п. 23, №173, №174.