Учителю
Методические разработки уроков математике по статистике для учащихся 11 класса по теме «Перестановки».

Методические разработки уроков математике по статистике для учащихся 11 класса по теме «Перестановки».

Автор публикации: Захарова М.Е.

Дата публикации: 29.11.2014

Краткое описание: Методические разработки уроков математике по статистике для учащихся 11 класса по теме «Перестановки» Урок №1-лекция.Тема: «Перестановки» Основная цель: Ознакомить учащихся с понятиями перестановки и соответствующими формулами для подсч

предварительный просмотр материала

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Кожинская средняя общеобразовательная школа» Рузского района Московской области

УТВЕРЖДАЮ:

Директор МБОУ «Кожинская СОШ»

_____________/Л.И. Лукьянова/

«26» апреля 2012 г.

Методическая разработка уроков математики

по теории вероятности для 11 класса

«Перестановки»

Учитель математики МБОУ «Кожинская СОШ»

Захарова Марина Евгеньевна

2012 г.

Урок №1-лекция

Тема: «Перестановки»

Основная цель: Ознакомить учащихся с понятиями перестановки и соответствующими формулами для подсчета их числа.

Знания и умения учащихся: знать основные правила и методы решения комбинаторных задач, уметь решать простейшие комбинаторные задачи.

Ход урока.

I. Часто из элементов некоторого конечного множества приходится составлять различные комбинации и затем производить подсчёт числа всех возможных комбинаций, составленных по некоторому правилу. Такие задачи получили название комбинаторных, а раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.

В комбинаторике имеют дело только с конечными множествами. Этот раздел имеет большое значение в теории вероятности, теории, вычислительной техники, теории автоматов, в экономических расчётах.

Мы рассмотрим начальные сведения из комбинаторики.

Перестановки.

Начнём с задачи: Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью трёх цифр: 3,5,7 не повторяя их?

Решение:

357,375,537,573,735,753. Таких чисел будет 6.

Добавим к данным трем цифрам ещё одну, например 8. Тогда задача примет вид:

Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 3,5,7,8, не повторяя их?

Всего будет 24:

357 375 537 573 735 753

8357 8375 8537 8573 8735 8753

3857 3875 5837 5873 7835 7853

3587 3785 5387 5783 7385 7583

3578 3758 5378 5738 7358 7538

Рассмотрим ещё такую задачу: Сколькими различными способами можно посадить за столом четырёх человек, если к этому столу приставлены четыре стула?

По существу эта задача не отличается от предыдущей о четырех цифрах, поэтому и ответ будет тот же - 24.

Пусть дано произвольное множество из n элементов. Упорядочить множество - значит поставить какой-либо элемент множества на первое место, какой-либо другой - на второе и т.д., пока не останется последний элемент, который займёт последнее, n- е место.

Мы установили, это множество из трёх цифр можно упорядочить шестью способами, а множество из четырёх цифр-24 .

Поставим общий вопрос: сколькими способами можно упорядочить множество из n элементов, где n- любое натуральное число?

Каждый способ упорядочения множества каких либо элементов называется перестановкой этих элементов.

Спрашивается: сколько перестановок можно составить из n элементов?

Ответ даёт такая теорема:

Теорема: Число перестановок из n элементов равно произведению n первых натуральных чисел, т.е. 1·2·3...n.

Произведение n первых натуральных чисел обозначают n! ( читается: эн факториал)

Например: 1! = 1; 2! = 1·2 = 2; 3! = 1·2·3 = 6 4! = 1·2·3·4 = 24.

II. Закрепление изученного материала: решение задач.

Задача № 1 Сколькими способами можно составить список из 9 учеников?

9! = 1·2·3...8·9 = 362880.

Задача № 2 Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов?

7! = 1·2...6·7 = 5040.

Задача № 3 Вычислите:

а) 6! - 5! = 5! ( 6-1) = 1·2·3·4·5 = 600

б) 4! · 2! = 24 · 2 = 48

в) = = 56

г) = = = 1

д) = = 220

Задача № 4 Сократите дробь

а) = = n

б)= =

в)

Задача №5 Решите уравнение:

Решение: (n+1) (n+2) =72

n² +3n - 70=0

n₁= -10 (не удовлетворяет условию задачи)

n₂=7

Ответ: n=7

Задача№6. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0,2,4,5,7, не повторяя их?

Решение

Всего перестановок из пяти цифр будет 5!=120,но перестановки, начинающиеся с цифры 0,не образуют пятизначное число. Всех чисел, не начинающихся с нуля, будет столько, сколько можно составить перестановок из четырех остальных цифр, т.е 4!=24

Ответ 5!-4!=120-24=96

III. Рассмотрим правило умножения:

Если элемент А можно выбрать а способами и если после каждого выбора этого элемента существуют в способов выбора элементов В, то упорядоченную пару элементов (А,В) можно выбрать ав способами.

Это правило может быть использовано при решение следующей задачи

Задача№7. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг- это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке?

Решение

Рассмотрим сборники стихов как одну книгу. Тогда надо расставить не 12 книг, а 8. Это можно сделать Р=8!=40320. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р . Значит, искомое число перестановок Р Р=8! 5!=40320 120=483 58400

Задача№8 Сколько различных четных пятизначных чисел, все цифры, которых различны, можно записать с помощью цифр 1,2,3,4,5?

Решение

Если число оканчиваются на 2,то остальные цифры, стоящие перед 2,можно переставить

Р =4!=24

Если число оканчивается на 4,то остальные 4 цифры, стоящие перед 4,можно переставить Р =4!=24

Тогда всего вариантов:24+24=48

Ответ:48

Задача №9. Выполните действия:

Решение

Задача №10 Из цифр 1,2,3,4,5,6,7 составляют всевозможные семизначные числа без повторения цифр. Сколько среди них чисел не начинающихся цифрой 5?

Решение

P₇ - P₆= 7! - 6! = 6!(7-1)= 4320

IV. Число перестановок из n элементов с повторениями

Формула P (n_1, n₂...n_k) =

Задача №11. Сколько семизначных чисел можно составить из трех «единиц», двух «пятерок» и двух «девяток»?

Решение

Ответ: 42 числа.

V. Итог урока

VI. Задание на дом: конспект

Задача №1 .В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник? (Ответ: Р₁₄= 14!)

Задача№2. Вычислить:

Решение

Задача №3. Сократить дробь:Ответ: (n-2)(n-1)

Задача№4. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, физкультура, химия, история. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Ответ:240 способов.

Задача№5. Сколько среди всех перестановок букв слова «высота» таких, которые начинаются с буквы «а»,а оканчиваются буквой «т».

Ответ:24 анаграммы.

Урок №2.

Тема урока : «Перестановки».

Цель: закрепить изученный материал, применить полученные знания к решению практических задач.

Ход урока.

I. Опрос:

Делится ли 11! на 64?

Да, так как 11! = 11^.10^. 9^. 8^. 7^. 6 ^. 5 ^. 4 ^. 3 ^. 2^. 1, 64=2⁶=2 ^. 4 ^. 8.

Делится ли 11! На 25?

Да.

15! Сколько нулей?

Ответ: 3 нуля.

I I. Решение упражнений. Фронтальная работа:

1. Вычислите ( решение =

2. Сократите дробь: а) ( решение )

б)

(решение )

3.Упростите выражение:

(решение )

4. Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение:

Рассмотрим учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р₆ способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р₄ перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р₆ ^. Р₄. Получаем 17280.

III. Самостоятельная работа.

Сколько существует вариантов рассадить участников «Большой восьмерки» за восьмиместным круглым столом переговоров?

Решение: Р₈= 8! = 40320

Вычислите: Решение

Решите уравнение: (m +17)! = 420 (m + 15)!

Решение: (m + 17)(m + 16)(m + 15)!= 420 (m + 15)!

Так как при m - натуральном (m + 15)! Не равно нулю, то получаем (m + 17)(m + 16)= 420. Легко подобрать корень уравнения m=4. Ответ:4.

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения. Выясните, сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые: а) начинаются цифрой 3; б) начинаются с 54?

Решение: а) Р₄= 4! = 24 числа; б) Р₃= 3!= 6 чисел.

У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она выдает дочери по одному фрукту. Сколькими способами она сможет это сделать?

Решение: = 1260 способов.