Урок. Геометрія. 11 клас. Тема ,,Обєм піраміди

Об'єм піраміди

Мета. Доведення теореми про об'єм піраміди різними способами; розвиток вмінь і навичок обчислення об'ємів піраміди, побудови зображень піраміди; розвиток в учнів геометричної інтуїції, просторових уявлень; розширення їх знань про історію математичної науки; виховання в учнів кмітливості та інтересу до здобування нових знань.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Технічне забезпечення та обладнання уроку. Мультимедійний проектор, ноутбук. Мультимедійна презентація по етапах уроку. Моделі пірамід та призми з рівними площами основи та висотою (виготовлені вдома групою "Практиків" при підготовці до уроку).

Підготовка учнів до уроку .

При підготовці до даного уроку, учні повторюють за підручниками раніше вивчений матеріал про піраміду, призму. Групі "Практиків" дається завдання виготовити моделі трьох пірамід і призми таких, щоб вони мали рівні площі основ і рівні висоти. Щоб виконати це завдання, їм потрібно підібрати розміри цих фігур так, щоб вони задовольняли висунутим вимогам, а також розв'язати міні - задачі по відшуканню невідомих елементів фігури, які потрібні будуть для виготовлення їх розгорток. Адже пірамід із заданою площею основи і висотою буде не один випадок. Тут кожен член групи повинен проявити творчість, кмітливість. Вони ж проводять вдома експеримент, завдання якого - визначити. як співвідносяться об'єми призми і піраміди з рівними площами основи і висотами Група "Теоретиків" шукає в літературі різні способи доведення теореми про об'єм піраміди, а члени групи "Істориків" шукають історичний матеріал, що стосується теми уроку.

План уроку.

І Перевірка домашнього завдання. Наявність.

ІІ. Оголошення теми і мети уроку.

ІІІ. Мотивація пізнавальної діяльності.

Навіщо ми вивчаємо тему ,,Піраміда?"

Піраміда, як геометричне тіло, сама виявляє зразок стійкості й надійності. А в пропорціях, відносно сторін ,,лежить золотий переріз." У геометричних мірах пірамід зашифрована множина інших пропорційних геометричних законів, згідно яким побудовано оточуючий світ. Чому в сховищах пірамідальної форми зупиняється ріст мікроорганізмів: не відбувається псування продуктів, здійснюється сублімація продуктів, після чого їх можна вживати в їжу без шкоди для здоров'я навіть після тривалого строку зберігання без заморозки? Як ефект піраміди використовують по заточуванню без бритви, а розміщення піраміди під паливним баком автомобіля знижує витрати палива? Яка можливість пірамід допомагає знижувати рівень електромагнітних полів комп'ютерів, а також підсилювати захисні функції людини від негативних впливів електромагнітних полів, наприклад, ліній електропередач, побутової й організаційної техніки? Які пристрої у формі піраміди призначають для зміни фізичних властивостей рідин і розчинів?

Тіла пірамідальної форми досить поширені, зокрема, в архітектурі.

ІV Актуалізація опорних знань.

1. Тест "Піраміда та її елементи"

1. Якщо висота піраміди проектується в центр описаного навколо основи кола, то:

1. всі бічні ребра рівні;

2. всі висоти бічних граней рівні;

3. всі двогранні кути при основі рівні.

2. Якщо висота піраміди проектується в центр вписаного в основу кола, то:

1. всі бічні ребра рівні;

2. всі кути нахилу бічних ребер до основи рівні;

3. всі висоти бічних граней рівні.

3. Якщо в піраміді рівні всі бічні ребра і всі висоти бічних граней, то в основі може бути:

1. прямокутний трикутник;

2. квадрат;

3. рівносторонній трикутник;

4. ромб:;

5. прямокутник.

4. Якщо в піраміді висота належить бічній грані, а всі бічні ребра рівні, то в основі піраміди може бути:

1. ромб;

2. прямокутний трикутник;

3. квадрат;

4. рівносторонній трикутник;

5. прямокутник.

5. Якщо в піраміді всі ребра рівні, то в її основі не може бути:

1. правильний шестикутник;

2. правильний п'ятикутник;

3. правильний трикутник;

4. ромб;

5. квадрат.

6. Якщо вершина піраміди проектується у точку площини основи, але зовні основи, і всі бічні ребра рівні, то в основі піраміди

1. прямокутний трикутник;

2. правильний трикутник;

3. тупокутний трикутник.

Відповіді

1. А - всі бічні ребра рівні;

2. В - всі висоти бічних граней рівні;

3. Б,В - квадрат, рівносторонній трикутник;

4. Б - прямокутний трикутник;

5. Г - ромб;

6. В - тупокутний трикутник.

V.Короткий екскурс в історію

Перш ніж заглибитись у доведення формули об'єму піраміди перегорнемо сторінки історії, здійснимо короткий екскурс у історію питання. Виступ представника групи "Істориків".

Виступ учня. Піраміда - многогранник,який складається з плоского многокутника - основи піраміди; точки (яка не лежить у площині основи) - вершини піраміди; та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Кожна бічна грань - трикутник. Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва - тетраедр. Буквально слово "піраміда" означає "вогонь, що палає всередині" (від грецьких "пірос" - вогонь, "мідос" - середина"). У Стародавньому Єгипті пірамідами називали гробниці фараонів. Цікаво, що у Стародавньому Єгипті і Вавилоні не вміли обчислювати об'єми повних пірамід, але зустрічаються задачі на обчислення об'ємів зрізаних пірамід з квадратною основою. А у вавилонян останні розглядали як частковий випадок призми. Об'єми зрізаних пірамід з квадратною основою обчислювали як об'єми паралелепіпедів, замість площі основ яких береться середнє арифметичне площ основ зрізаної піраміди.

Найцікавішою із відомих задач Стародавнього Єгипту є 14 задача Московського папірусу, написаного близько 4000 років тому. В ній обчислюється. ймовірно, об'єм зрізаної піраміди. Задача супроводжується кресленням, яке в сучасному записі виглядає як нижній малюнок на слайді.. Піраміда зображена у вигляді трапеції. Обчислення відповідає формулі

а і в - сторони верхньої і нижньої основ, h - висота піраміди.

Формула об'єму піраміди вперше була знайдена Демокрітом із Абдери (460-360 рр. до н.е.). Це було остаточно встановлено після відкриття петербурзьким приват-доцентом П. Керамевсом на початку XX ст. в Константинополі одного найважливішого твору Архімеда, який тепер називають Ерод (метод), який був вивчений датським вченим І. Гейбертом. У цьому творі "Послання до Ератосфена" Архімед вказує, що Демокріт знайшов об'єм піраміди "без доведення", потрібно розуміти "без строгого доведення". Демокріт, вірогідно, розглядав піраміду як (і конус) як складену з нескінченної кількості тонких і подібних одна одній пластинок (кружечків), пізніше названих неподільними. Саме про такий метод, який використовував і сам Архімед і названий механічним, говориться у творі Архімеда.

І , нарешті. Евклі́д (грец.</<font color="#222222">Ευκλείδης; близько 365р.- близько 300 р. до н.е.) - старогрецький математик і визнаний основоположник математики. У своїх "Началах" , а саме у XІІ книзі, Евклід доводить основну теорему в ученні про піраміду: тригранні піраміди, які мають рівні висоти і рівновеликі основи, рівновеликі.

VI. Доведення гіпотези.

Отже, ми повертаємось до нашого припущення, що об'єм піраміди становить третину добутку площі основи на висоту, або інакше кажучи, третині об'єму призми з тією ж висотою і площею основи, яка дорівнює площі основи піраміди.

Виступи представників групи "Теоретиків".

І учень. Переконаємся в правильності формули об'єму піраміди еспериментальним шляхом. Ми взяли трикутну пряму призму і склеїли трикутну піраміду з такою ж основою і висотою, як у призми. Будем наповнювати їх піском і з'ясуємо, що піску для наповнення призми потрібно втричі більше, ніж для піраміди.

2-й учень. Об'єм піраміди можна знайти по-іншому. Наприклад розбивши довільну призму на піраміди. Візьмемо чотирикутну призму і розіб'ємо її на три піраміди. У трикутних пірамід A₁ABC и BA₁B₁C₁ основи рівні (як протилежні основи призми) і їх висотами є висота призми. Отже, їхні об'єми також рівні. У трикутних пірамід A₁BB₁C₁ і A₁BCC₁основи рівні і вони мають спільну висоту, проведену з вершини A₁. Отже, їхні об'єми також рівні. Отже, об'єми усіх трьох пірамід рівні . Тому, об'єм піраміди втричі менший від об'єму призми з такими ж основою і висотою.

. Одержуємо таку ж формулу

.

Ця формула справедлива для будь-якої піраміди, оскільки будь-яку піраміду можна розбити на тетраедри, тобто трикутні піраміди.

VII.Первинне закріплення матеріалу. (Малюнки на дошці)

Задача 1.

В правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 3 см, а висота 5 см. Знайти об'єм піраміди.

Задача 2.

Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 4√3 см, а бічна грань утворює з площиною основи кут 60⁰. Знайти об'єм піраміди.

Задача 3.

Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 5 см, висота 4 см. Знайти об'єм піраміди.

Задача 4.

Обчислити є піраміди, основою якої є прямокутник зі сторонами 6 см і 10 см. Кожне бічне ребро дорівнює 17 см. Знайдіть об'єм піраміди.

VIII. Закріплення вивченого матеріалу.

Тести.

Варіант 1

1.Основа піраміди-прямокутник, сторони якого12 см і 10 см. Висота піраміди 8 см. Знайдіть об'єм піраміди.

А) 240 см³; Б) 160 см³; В) 480 см³; Г) 960 см³; Д) 320 см³.

2. Знайти об'єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6 см, висота 8 см.

А) 96 см³; Б) 16 см³; В) 288 см³; Г) 60 см³; Д) інша відповідь.

3. Обчислити об'єм піраміди, основою якої є ромб з діагоналями 10 см і 18 см, а висота дорівнює 20 см.

А) 1800 см³; Б) 600 см³; В) 1200 см³; Г) 300 см³.

4. Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює 48 см³, а висота 9 см. Знайти сторону основи піраміди.

А) 8 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 12 см.

5. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 12 см і 16 см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 26 см. Знайти об'єм піраміди.

А) 768см³; Б) 2304см³; В) 1536см³; Г) 384см³.

6. У правильній трикутній піраміди бічне ребро дорівнює 4√2 см і утворює кут 45⁰ із площиною основи. Знайдіть об'єм піраміди.

А) 24√3см³; Б) 48√3см³; В) 16√3см³; Г) 96√3см³.

Варіант 2

1. Обчислити об'єм правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнює 6 см, а висота 9 см.

А) 12√3см³; Б) 9√3см³; В) 27√3см³; Г) 8√3см³.

2. Обчислити об'єм піраміди основою якої є паралелограм зі сторонами 4см і 5√2см та кутом 45⁰ між ними, а висота піраміди 9см.

А) 60см³; Б) 180см³; В) 30см³; Г) 90см³.

3. Обчислити об'єм піраміди, основою якої є прямокутний трикутник з катетом 9см і 12см, а висота піраміди дорівнює18см.

А) 162см³; Б) 648см³; В) 972см³; Г) 324см³.

4. Обчислити об'єм піраміди основою якої є квадрат із діагоналлю 3√2см, а висота піраміди дорівнює12см.

А) 36см³; Б) 72см³; В) 972см³; Г) 324см³.

5. Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює 15√3см³, а висота 5см. Знайдіть сторону основи піраміди.

А) 2√3см; Б) 3см; В) 4см; Г) 6см; Д) 9см.

6.Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6см і утворює кут45⁰ з бічним ребром. Знайти об'єм піраміди.

А) 114см³; Б) 73см³; В) 288см³; Г) 432см³.

IX. Підсумок навчальної діяльності.

1. Чому дорівнює об'єм будь-якої піраміди?

2. Запишіть формулу для обчислення об'єму піраміди.

3. Як змінюється об'єм піраміди, якщо кожну сторону збільшити у 3 рази, а висоту зменшити у 3 рази?

X. Домашнє завдання.

Підготувати презентацію ,,Об'єм зрізаної піраміди.

Сторінка 270. №3(3); №10; №15.

Для бажаючих №17.