- Учителю
- Программа элективного курса Исследование квадратного трёхчлена 9 класс
Программа элективного курса Исследование квадратного трёхчлена 9 класс
Элективный курс
« Исследование квадратного трёхчлена»
Пояснительная записка
Математическое образование в системе общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, её возможностями в развитии и формировании мышления человека, её вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.
Актуальным остаётся вопрос дифференциации обучения математике, позволяющий, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой стороны - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к математике.
Программа курса «Исследование квадратного
трёхчлена» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят
в школьный курс математики основной школы, но часто встречаются в
экзаменационных заданиях. Рассматриваемая тема позволяет сделать
достаточно полный обзор не только изучаемых в школьном курсе формул
корней уравнения
и формул Виета, выражающих зависимость между корнями квадратного
уравнения и его коэффициентами, но и теорем о расположении корней
квадратного трёхчлена на координатной прямой. Практическая часть
составлена из заданий с параметрами, что будет способствовать
развитию логического мышления, приобретению опыта работы с
заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем
сложности, формированию математической культуры учащихся.
Целями данного курса являются:
-
Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.
-
Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщение умственных умений.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:
-
Выделение логических приёмов мышления и способствование их осмыслению, развитие образного и ассоциативного мышления.
-
Обеспечение диалогичности процесса обучения.
Курс предназначен для учащихся 9 классов и рассчитан на 8,5 часов аудиторного времени.
Курс призван помочь учащимся в овладении навыком решения заданий с параметрами, повысить уровень общей математической культуры, оценить потенциал для дальнейшего обучения в профильной школе.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
-
Свободно оперировать аппаратом алгебры при решении задач на исследование квадратного трёхчлена.
-
Применять формулы корней квадратного трёхчлена, теорему Виета и теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой для решения заданий с параметрами.
Тематическое планирование
лекции
практические
1
Теорема Виета
1
2
2
Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой
1
2
3
Задания на определение количества корней квадратного трёхчлена
-
2
4
Выходной контроль
-
0,5
Исследование квадратного трёхчлена
Теорема Виета
Между корнями
и
квадратного
трёхчлена
и коэффициентами существуют соотношения:
;
При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.
Теорема 1. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
>
при этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:
>
и оба корня будут отрицательными, если
<
Теорема 2. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих соотношений:
>
<
при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если
>
если же
<
то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.
Задания для самостоятельного решения
-
При каких значениях
уравнение
имеет два различных положительных корня?
-
При каких значениях
уравнение
имеет корни разных знаков?
-
При каком значении
сумма квадратов корней уравнения
минимальна?
-
При каком значении
сумма квадратов корней уравнения
минимальна?
-
При каком значении
корни уравнения
таковы, что сумма их квадратов равна
?
-
При каком значении
сумма квадратов корней уравнения
минимальна?
-
При каких значениях
произведение корней квадратного уравнения
равно нулю?
-
При каких значениях
сумма корней квадратного уравнения
равна нулю?
-
В уравнении
сумма квадратов корней равна 16. Найдите
.
-
В уравнении
квадрат разности корней равен 16. Найдите
.
-
При каких значениях
сумма корней уравнения
равна сумме квадратов его корней?
-
При каком значении параметра
сумма квадратов корней уравнения
наибольшая?
-
При каких значениях
и
корни уравнения
равны
и
-
При каких значениях параметра
один из корней квадратного уравнения
в два раза больше другого?
-
Известно, что корни уравнения
на 1 меньше корней уравнения
.
Найдите
и корни каждого из уравнений.
-
Известно, что корни уравнения
равны соответственно квадратам корней уравнения
.
Найдите
и
, и корни каждого из уравнений.
Ответы
№ 1.
<
№ 2.
<
и
>
№ 3.
.
№ 4.
№ 5.
№ 6.
№ 7. 3;4.
№ 8. 1.
№ 9. 0.
№ 10. - 3.
№ 11.
№ 12. - 1.
№ 13.
или
№ 14.
№ 15.
2 и 3 - корни первого уравнения, 3 и 4 - корни второго уравнения.
№ 16.
корни первого уравнения равны 2; 3, корни второго уравнения равны
4; 9, или
корни первого уравнения равны - 2; - 3, корни второго уравнения
равны 4; 9.
Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой
Пусть квадратный трёхчлен
имеет корни
и
, а
- некоторое действительное число. Во всех нижеперечисленных
соотношениях
представляет собой выражение
Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного
трёхчлена были меньше, чем число
, т.е. лежали на координатной прямой левее точки
, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
Теорема 2. Чтобы один из корней квадратного
трёхчлена был меньше, чем число
, а другой больше числа
, т.е. точка
лежала бы между корнями, необходимо и достаточно выполнения
следующих условий:
Теорема 3. Чтобы оба корня квадратного трёхчлена
были больше, чем число
,т.е. лежали на координатной прямой правее, чем точка
, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
Следствие
1. Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше,
чем число М, но меньше, чем число А (М < А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно:
Следствие 2. Чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале между М и А (М < А), необходимо и достаточно:
При этом меньший корень лежит вне отрезка МА.
Следствие 3. Чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале между М и А (М < А), необходимо и достаточно:
При этом больший корень лежит вне отрезка МА.
Следствие 4. Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М < А), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:
Задания для самостоятельного решения
-
При каких значениях
оба корня квадратного трёхчлена
больше
?
-
При каких значениях
оба корня квадратного уравнения
больше 3?
-
При каких значениях
оба корня квадратного уравнения
меньше - 1?
-
При каких значениях
оба корня квадратного уравнения
больше 1?
-
При каких значениях
один из корней квадратного уравнения
больше 1, а другой меньше 1?
-
При каких значениях
оба корня квадратного уравнения
по абсолютной величине меньше 1?
-
При каких значениях
уравнение
имеет один корень больше 3, а другой меньше 2?
-
При каких значениях
корни уравнения
принадлежат промежутку
?
-
При каких значениях
корни уравнения
принадлежат промежутку
?
-
При каких значениях
один корень квадратного уравнения
больше
а другой меньше
-
При каких значениях
число
находится между корнями квадратного трёхчлена
?
Ответы
и
Задания на определение количества корней квадратного трёхчлена
-
При каких значениях
уравнение
имеет единственное решение?
-
При каких значениях
уравнение
имеет единственное решение?
-
При каких значениях
уравнение
имеет более одного корня?
-
При каких значениях
уравнение
имеет корни? Приведите пример положительного
значения
-
При каких значениях
уравнение
не имеет корней? Приведите пример отрицательного
значения
-
Найдите все целые значения
, при которых уравнение
имеет два корня?
-
Найдите все целые значения
, при которых уравнение
имеет два корня?
-
При каком значении
уравнение
имеет два корня? Найдите эти корни.
-
При каком значении
уравнение
имеет два корня? Найдите эти корни.
-
При каких значениях
уравнение
имеет корни?
-
При каких значениях
уравнение
имеет корни?
-
При каких значениях параметра
корни уравнения
равны по модулю?
-
Найдите наибольшее целое значение
, при котором уравнение
не имеет действительных корней.
-
Найдите наименьшее целое значение
при котором уравнение
имеет два различных корня.
-
При каком значении
уравнение
имеет один корень?
-
При каком значении
уравнение
имеет один корень?
-
При каких значениях
уравнение
имеет более двух корней?
Ответы
.