Учебный материал 'Площадь многоугольника через определить второго порядка' для элективного курса по математике, 10 класс.

Тема занятия:

Площадь многоугольника через определитель второго порядка.

Цель:1. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка с применением формул тригонометрии.

2.Самостоятельная творческая работа по разработке формул площадей четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием определителя II-го порядка.

3. Научить учащихся способу вычисления площади четырехугольника с координатами его вершин для использования на ЕГЭ.

I. Введение. На уроках алгебры мы познакомились с необычным способом решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителя второго порядка.

Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем.

А используется ли понятие определителя в геометрии?

Постараемся сегодня ответить на этот вопрос.

II. Объяснение нового материала. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка в прямоугольной системе координат.

Создание проблемы.

Площадь треугольника

Определителем второго порядка называют значение разности произведений чисел

a∙d - b∙c, записываемых для удобства вычислений в виде таблички из четырех чисел..

Выведем формулу площади треугольника в виде определителя, составленного из разности координат вершин треугольника.

Докажем, что площадь треугольника равна:

Пусть в прямоугольной системе координат А(х_1,у₁), В(х₂,у₂), С (х₃,у₃) - вершины треугольника. Найти площадь треугольника АВС.

Обозначим стороны треугольника через АС=b, АВ =с и угол между ними через ВАС=φ, по известной формуле тригонометрии получим: S= ½ bс∙sinφ.

Угол φ можно представить в виде разности: φ = β-α, где α и β - углы, образованные соответственно сторонами АВ и АС с осью Ох.

Поэтому S =½ bс∙sin ( β-α) =½bс∙(sinβ∙ cosα - cosβ∙sinα).

Из рисунка имеем

c∙ cosα= АВ₂=А₁В₁= х_{2 -} х₁,

с∙ sinα=В₂В = у₂-у₁,

b∙ cosβ=АС₂=А₁С₁=х₃-х₁,

b∙ sinβ=С₂С=у₃-у₁.

Следовательно, S=½((х₂-х₁)(у₃-у₁)-(х₃-х₁)(у₂-у₁).

Заметим, что эта формула при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком «минус».

Поэтому формулу площади треугольника запишем в виде S =±½((х₂-х₁)(у₃-у₁)-(х₃-х₁)(у₂-у₁), где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.

Используя понятие определителя второго порядка = аd-bс, формулу можно записать в удобной для запоминания форме:

S треуг. = ±.

Постановка проблемы: определить площадь четырехугольника , пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника через координаты их вершин.

Рекомендации: Определение площади многоугольника сводится к определению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по найденной формуле. Правильный шестиугольник разбивается на равные четырехугольники

II. Учащиеся. Самостоятельное решение проблемы (работа учащихся в группах дифференцировано: продвинутый уровень-площадь четырехугольника и пятиугольника, базовый уровень-площадь четырехугольника, шестиугольника, квадрата).

1.Площадь четырехугольника

Выведем формулу для вычисления площади четырехугольника на примере трапеции.

у

(х_2,у₂) (х₃,у₃)

S₂

S₁

(х₁,у₁)(х₄,у₄)

Пусть трапеция задана координатами своих вершин в прямоугольной системе координат.

Диагональ разделит трапецию на два треугольника, площади которых найдем через определитель.

₌

_{Запишем выражение в удобной для запоминания форме, в виде определителя}

у

(х₁у₁) (х₂у₂)

(х₄у₄) (х₃у₃₎

х

_{Вывод: Площадь четырехугольника равна половине определителя, элементами столбцов и строк которого является разность координат вершин четырехугольника, взятых по диагонали.}

_{Нумерацию координат можно рассмотреть в любом порядке.}

_{Пример. Вычислить площадь четырехугольника с координатами его вершин}

_{(1;1), (3;4), (6;3), ((3;1).}

_{По формуле через определитель}

_{Сделаем проверку, вычислив площадь трапеции как сумму площадей, через высоты треугольников.}

_{Получили равные ответы.}

_{2. Площадь правильного шестиугольника.}

_{Площадь правильного шестиугольника найдем как сумму площадей двух равных четырехугольников.}

у (х₂,у₂) (х₃,у₃)

(х₁,у₁) (х₄,у₄)

х

_{Площадь ромба, квадрата или параллелограмма находятся аналогично, разбиением фигуры на равные треугольники.}

_{3. Площадь квадрата.}

_{.Если центр многоугольника расположен в начале координат, то формула площади многоугольника записывается с помощью координат одной или двух вершин:}

_у

(х₁,у₁) (х₂,у₂)

_(0,0) х

_{Площадь квадрата равна учетверенному произведению координат одной вершины треугольника.}

_{Площадь правильного восьмиугольника выражается через определитель с помощью координат двух вершин многоугольника}

_{4. Площадь пятиугольника. Выведем формулу для вычисления площади пятиугольника:}

у (х₃,у₃)

(х₂,у₂)

S₁S₂ (х₄,у₄)

S₃

(х₁,у₁)

(х₅,у₅)

х

умножая двучлены, получим

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, которые при этом взаимно- уничтожаются, и получим:

Сгруппируем произведения относительно равных абсцисс или равных ординат, получим:

Поменяем знаки, получается в итоге:

.

Площадь пятиугольника равна сумме абсцисс вершин треугольника, умноженных на разность ординат соседних вершин.

5.Аналогично запишем формулу для n -угольника

Формула площади n- угольника через координаты своих вершин

имеет вид:

±½ ( ( х_1∙(у₂-у_n +

х₂∙(у₃-у₁) +

х₃∙(у...- у₂) +

…..+

х_n-1∙(у_n-…) +

х_n ∙(у₁-у_n-1)).

Подведение итогов: Выступления учащихся.

+

Литература:

1. Эрдниев О.П. Учебник для средней школы.

2.Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики.