Учителю
Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Алгебра и начала анализа. 11 класс

Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Алгебра и начала анализа. 11 класс

Автор публикации: Клокова Т.Ю.

Дата публикации: 27.03.2014

Краткое описание: Обобщающийурок по теме «Решение логарифмических уравнений» Цель:1. Обобщить и систематизировать знанияучащихся по данной теме. 2.Расширить знания учащихся. 3.Учить находить «красивое» решение уравнений. 4.Показать нестандартные подходы к решению комбинированных ур

предварительный просмотр материала

Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений»

(учитель Клокова Т.Ю. МБОУ СКОШ №36 г. Озерск Челябинской области)

Цель: 1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме.

2. Расширить знания учащихся.

3. Учить находить «красивое» решение уравнений.

4. Показать нестандартные подходы к решению комбинированных уравнений.

План:

Фронтальный опрос
Методы решения логарифмических уравнений.
«Учимся на чужих ошибках»
Решение комбинированных уравнений.
Обучающая самостоятельная работа.
Задание на дом (дать комментарии к решению)
Итог урока.

Фронтальный опрос

Дать определение уравнения

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - значить найти его корни или доказать, что корней нет.

Что такое корень уравнения?

Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

Что такое область определения уравнения?

Областью определения уравнения называется множество значений переменной уравнения f(x)=g(x), при которых одновременно имеют смысл f(x) и g(x).

Какие уравнения называются равносильными?

Уравнения, имеющие одинаковые корни или не имеющие корней называются равносильными.

Следствия равносильности

Если к обеим частям уравнения f(x)=g(x) прибавить одну и ту же функцию у(х) определенную при всех значениях переменной из области определения данного уравнения, то уравнение f(x)+ у(х) =g(x)+у(х) равносильно данному.
Если к оби части уравнения f(x)=g(x) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение равносильное данному.

Равносильны ли уравнения?

(да)

(нет)

(нет)

Что такое логарифм?

Логарифмом положительного числа b по основанию a (а>0, a) называется показатель степени Х, в которую нужно возвести а, чтобы получить b, т. е

Какое уравнение называется логарифмическим?

Уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифмической функции.

Свойства логарифмов

При решении логарифмических уравнений применяются следующие методы:

Решение уравнений, основанное на применении определения логарифма.
Решение с помощью потенцирования.
Применение основного логарифмического тождества.
Введение новой переменной.
Использование логарифмирования.
Переход к логарифму с новым основанием.

( При решении логарифмических уравнений необходима проверка все найденных корней или нахождения области определения уравнения, т.е. соблюдение равносильных переходов)

Метод, основанный на определении логарифма .

По определению логарифма имеем:

, то есть (свели уравнение к показательному уравнению, которое решается методом введения нового неизвестного),

Следовательно .

: 2 корня, по обратной теореме Виета имеем: _{,следовательно}

- не удовлетворяет условию .

Имеем: .

Проверка: если , тогда

- верно.

Ответ: .

Метод, использующий монотонность логарифмической функции (метод потенцирования).

Для каждой монотонной функции из равенства следует, что .

Рассмотрим уравнение вида при решением этого уравнения будут все те решения уравнения , для которых (или ).

Поэтому уравнение можно решить по алгоритму:

Найти ОДЗ уравнения;
Решить на ОДЗ этого уравнения равносильное ему уравнение .

Конечно, не все уравнения будут иметь вид _, поэтому необходимы будут преобразования, используя свойства логарифмической функции.

Так как , то ; _, получаем .

Исходное уравнение, используя свойства логарифмической функции можно представить в виде:

данное уравнение при равносильно уравнению:

Возведем в квадрат, получим

следовательно, уравнение имеет два корня:

, так как , то посторонний корень.

Ответ: .

Замечание: переход от равенства к равенству называется потенцированием по основанию при . Совершая потенцирование мы совершаем переход, не являющийся равносильным, поэтому нужна проверка.

Применение основного логарифмического тождества

Найдем ОДЗ:

; ; , следовательно .

Применив в правой части основное логарифмическое тождество, получим:

, следовательно, уравнение примет вид:

Используя определение логарифма, получаем:

;

Пусть , имеем:

;

следовательно, 2 корня

; .

или .

Но не входит в ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: .

Применение логарифмирования.

Логарифмирование по основанию представляет собой переход от равенства к равенству , для этого .

Решим уравнение .

Уравнение содержит неизвестную величину, как в основании, так и в показателе степени, его можно решить, логарифмируя левую и правую часть по основанию 10, так как в условии уже имеется десятичный логарифм. Получаем:

, где .

Введем новую переменную и учитывая, что получаем:

или .

Вернемся к замене:

или

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Все преобразования были тождественны, следовательно, оба корня являются решение уравнения.

Ответ: .

Введение нового неизвестного

ОДЗ .

Пусть , тогда

по обратной теореме Виета получаем:

; .

или .

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 10; 10000.

Переход к логарифму по новому основанию

Найдем ОДЗ:

; , следовательно, .

Перейдем в уравнении к логарифму по основанию 3, получим:

, следовательно,

Введем новое неизвестное , получаем:

, что тождественно

, следовательно, 2 корня.

; .

Получаем:

или

Оба корня больше -1 и не равны нулю, то есть входят в ОДЗ.

Ответ: ; 8.

Учимся на чужих ошибках.

Решить уравнение

Решение: логарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Ответ: .

Приведенное решение не верно. Логарифмировать данное уравнение нельзя, так как выражение . Функция в левой части уравнения принимает только положительные решения, поэтому исходное уравнение решений не имеет.