- Учителю
- Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Алгебра и начала анализа. 11 класс
Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Алгебра и начала анализа. 11 класс
Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений»
(учитель Клокова Т.Ю. МБОУ СКОШ №36 г. Озерск Челябинской области)
Цель: 1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме.
2. Расширить знания учащихся.
3. Учить находить «красивое» решение уравнений.
4. Показать нестандартные подходы к решению комбинированных уравнений.
План:
-
Фронтальный опрос
-
Методы решения логарифмических уравнений.
-
«Учимся на чужих ошибках»
-
Решение комбинированных уравнений.
-
Обучающая самостоятельная работа.
-
Задание на дом (дать комментарии к решению)
-
Итог урока.
Фронтальный опрос
Дать определение уравнения
Равенство, содержащее переменную, называется уравнением.
Что значит решить уравнение?
Решить уравнение - значить найти его корни или доказать, что корней нет.
Что такое корень уравнения?
Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
Что такое область определения уравнения?
Областью определения уравнения называется множество значений переменной уравнения f(x)=g(x), при которых одновременно имеют смысл f(x) и g(x).
Какие уравнения называются равносильными?
Уравнения, имеющие одинаковые корни или не имеющие корней называются равносильными.
Следствия равносильности
-
Если к обеим частям уравнения f(x)=g(x) прибавить одну и ту же функцию у(х) определенную при всех значениях переменной из области определения данного уравнения, то уравнение f(x)+ у(х) =g(x)+у(х) равносильно данному.
-
Если к оби части уравнения f(x)=g(x) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение равносильное данному.
Равносильны ли уравнения?
-
(да)
-
(нет)
(нет)
(нет)
Что такое логарифм?
Логарифмом положительного числа b по основанию a (а>0, a) называется показатель степени Х, в которую нужно возвести а, чтобы получить b, т. е
Какое уравнение называется логарифмическим?
Уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифмической функции.
Свойства логарифмов
-
При решении логарифмических уравнений применяются следующие методы:
-
Решение уравнений, основанное на применении определения логарифма.
-
Решение с помощью потенцирования.
-
Применение основного логарифмического тождества.
-
Введение новой переменной.
-
Использование логарифмирования.
-
Переход к логарифму с новым основанием.
( При решении логарифмических уравнений необходима проверка все найденных корней или нахождения области определения уравнения, т.е. соблюдение равносильных переходов)
-
Метод, основанный на определении логарифма
.
По определению логарифма имеем:
, то есть
(свели уравнение к показательному уравнению, которое решается методом введения нового неизвестного),
.
Следовательно .
: 2 корня, по обратной теореме Виета имеем:
,следовательно
- не удовлетворяет условию
.
Имеем: .
Проверка: если , тогда
- верно.
Ответ: .
-
Метод, использующий монотонность логарифмической функции (метод потенцирования).
Для каждой монотонной функции из равенства
следует, что
.
Рассмотрим уравнение вида при
решением этого уравнения будут все те решения уравнения
, для которых
(или
).
Поэтому уравнение можно решить по алгоритму:
-
Найти ОДЗ уравнения;
-
Решить на ОДЗ этого уравнения равносильное ему уравнение
.
Конечно, не все уравнения будут иметь вид , поэтому необходимы будут преобразования, используя свойства логарифмической функции.
Так как , то
;
, получаем
.
Исходное уравнение, используя свойства логарифмической функции можно представить в виде:
данное уравнение при
равносильно уравнению:
.
Возведем в квадрат, получим
следовательно, уравнение имеет два корня:
, так как
, то
посторонний корень.
.
Ответ: .
Замечание: переход от равенства к равенству
называется потенцированием по основанию
при
. Совершая потенцирование мы совершаем переход, не являющийся равносильным, поэтому нужна проверка.
-
Применение основного логарифмического тождества
Найдем ОДЗ:
;
;
, следовательно
.
Применив в правой части основное логарифмическое тождество, получим:
, следовательно, уравнение примет вид:
.
Используя определение логарифма, получаем:
;
.
Пусть , имеем:
;
;
следовательно, 2 корня
;
.
или
.
Но не входит в ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.
Ответ: .
-
Применение логарифмирования.
Логарифмирование по основанию представляет собой переход от равенства
к равенству
, для этого
.
Решим уравнение .
Уравнение содержит неизвестную величину, как в основании, так и в показателе степени, его можно решить, логарифмируя левую и правую часть по основанию 10, так как в условии уже имеется десятичный логарифм. Получаем:
, где
.
.
Введем новую переменную и учитывая, что
получаем:
или
.
Вернемся к замене:
или
Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Все преобразования были тождественны, следовательно, оба корня являются решение уравнения.
Ответ: .
-
Введение нового неизвестного
ОДЗ
.
Пусть , тогда
.
по обратной теореме Виета получаем:
;
.
или
.
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 10; 10000.
-
Переход к логарифму по новому основанию
Найдем ОДЗ:
;
, следовательно,
.
Перейдем в уравнении к логарифму по основанию 3, получим:
, следовательно,
.
Введем новое неизвестное , получаем:
, что тождественно
, следовательно, 2 корня.
;
.
Получаем:
или
Оба корня больше -1 и не равны нулю, то есть входят в ОДЗ.
Ответ: ; 8.
Учимся на чужих ошибках.
-
Решить уравнение
Решение: логарифмируем обе части уравнения по основанию 3.
Ответ: .
Приведенное решение не верно. Логарифмировать данное уравнение нельзя, так как выражение . Функция в левой части уравнения принимает только положительные решения, поэтому исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
-
Решить уравнение
.
Используя свойства логарифмов, имеем:
Ответ: 0; 4.
Приведенное решение не верно, так как нет проверки или оценки ОДЗ. является посторонним корнем.
Ответ: 4.
-
Решить уравнение
, что тождественно
;
Ответ: 5.
Решение не верно, так как нет проверки и нарушена операция потенцирования. Верный ответ .
-
Решить уравнение
;
;
;
.
Ответ: .
Решение не верно, так как не учтено условие , исходя из которого
, следовательно корень
не входит в ОДЗ.
Ответ: .
Решение комбинированных уравнений (задания повышенной сложности)
Чем осложнено это уравнение? Какие нужны знания при решении этого уравнения?
Решение:
Найдем ОДЗ:
;
;
.
;
;
.
По определению модуля имеем:
Рассмотрим два случая:
Первый случай: ;
Решим неравенство методом параболы. Получим
.
отсюда получаем
.
Второй случай: ;
, следовательно,
.
Ответ: ;
Найдем ОДЗ: , следовательно, корни лежат в I четверти:
.
Перейдем к основанию 10:
, следовательно,
;
, делим на
, так как из ОДЗ
.
.
Выберем корни, лежащие в I четверти, получаем .
Ответ: .
Самостоятельная работа
Вариант 1
Решить уравнение .
Найдем ОДЗ: ;
, следовательно
.
возведем в квадрат, оно равносильно при
.
, следовательно, 2 корня.
- не удовлетворяет ОДЗ
.
Ответ: 13.
Вариант 2
Решить уравнение .
;
или
.
Проверка: при получаем:
- верно.
При получаем
, не удовлетворяет, так как основание логарифма должно быть положительным.
Ответ: 0.
*** МФТИ
ОДЗ:
Используем свойства логарифмов
*
подставим в *
+0,22=0, сл.
D=1+2,24=3,24=
или
Решим уравнение:
Используя формулы получим:
, пусть
, то
6
D=25-24=1
1),
,
Ответ:
,
Итог урока.
Домашнее задание (дать комментарий):
2. )
3.