- Учителю
- Проблемно эвристический урок в 10 классе по теме: 'Производная и ее применение в математике и физике
Проблемно эвристический урок в 10 классе по теме: 'Производная и ее применение в математике и физике
Проблемно эвристический урок
в 10 классе
по теме: "Производная и ее
применение в математике
и физике'"
Черниогло Валентина Геннадьевна,
учитель математики первой
квалификационной категории
МОУ «Бендерская гимназия №2»
2014
Проблемно эвристический урок на тему:
«Производная и ее применение в математике и физике»
Цели урока:
-
Образовательные:
-
проконтролировать степень усвоения понятия производной (геометрический и физический смысл производной, непрерывность функции и уравнения касательной, экстремумы функции, наибольшее и наименьшее значение функции);
-
Систематизация знаний по данной теме
-
Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля
-
Воспитательные цели:
- воспитание коллективизма, отзывчивости и работоспособности.
-
Развивающие цели:
-
умение выделять главное. Сравнивать и обобщать.
-
развитие самостоятельности
-
развитие умений преодолевать трудности
-
умение показать единство теории математики и физики.
План урока.
-
Историческая справка.
-
Ярмарка знаний.
-
Групповая работа.
-
Фронтальный опрос
-
Путаница.
-
Работа над ошибками
-
Постановка проблемы о применении производной в курсе физики.
-
Подведение итогов.
Содержание работы:
-
Исторические сведения.
Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия. Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона.
Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
-
Ярмарка знаний: (10 мин)
-
Дайте определение производной
-
В чем заключается геометрический смысл производной?
-
В чем заключается физический смысл производной?
-
Какая функция называется непрерывной?
-
Уравнение касательной.
-
На промежутке (0;2) у'(х)>0, на промежутке (2;3>) у'(х)<0. Является ли точка х = 2 точкой минимума?
-
Функция у(х) непрерывна в точке х = 3, причем у'(х)<0 на (2;3) и у'(х)>0 на промежутке (3;4). Является ли точка х = 3 точкой максимума?
-
Является ли точка х = 2 критической для функции у(х), если Д(у) = [-3 ;2]?
-
Для функции производная равна l/(). В точке х = 0 производная не существует, значит х = 0 - критическая точка. Верно ли?
-
На отрезке [а;b] функция имеет максимумы, равные 2 и 5, причем у(а) = -3 и у(b)=6. Верно ли, что наибольшее значение функции равно 5, а наименьшее значение равно -3?
-
Групповая работа. (10 мин)
Создано 5 рабочих групп, которым предлагаются вопросы, подготовленные на карточках.
1 . Является ли непрерывной функция у(х)? Чему равно значение функции в точке х=0?
2 . Существует ли производная функция у(х) в точке х=а?
-
Найдите значения производных в заданной точке:
-
у(х) = 4х-1, у'(2)- ?
-
у(х) = 9 - 4х2, у'(-2) - ?
-
у(х) = 16х2 - 9х, у' /(1/2) - ?
-
у(х) = 4 - 25х2, у'(х) - ?, х = 1/2.
-
у(х) = 10x-18х2, у' (1/2)-?
-
у(х) = (2 + х2)/х, у'(-1) - ?
-
у(х) = (1 -2х2)/х, у'(-1)-?
-
у(х) = (4 - 3х)/х, у'(-1) - ?
-
у(х) = (2 - 5х)/х, у'(-1) - ?
-
у(х) = (3 - 4х)/х, у'() - ?
-
Фронтальный опрос (5 мин)
Цель: проверка знаний по некоторым формулам дифференцирования, по определению производной, геометрическому смыслу производной.
а) Найти производные функций: х2, х, Кх - b, С, 1/х, |х|
б) Что означает y' (x)=0?
в) Δу/Δх - >?
г) к=? (к - угловой коэффициент касательной)
д) Знак производной в зависимости от угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.
е) Привести пример функции, не имеющей производную в некоторой точке.
-
Путаница (5 мин)
Задание выполняется двумя учащимися у доски во время проведения фронтального опроса.
-
У(х0 + х)
-
У(х0 - х) - У(х0)
-
х-х0
-
(х)'
-
(С)'
-
(1/х)'
-
() '
-
Определение производной.
-
Угловой коэффициент касательной равен…
-
Является ли дифференцируемая функция непрерывной?
Ответы: у(х), Δу, Δх, 1,0, -1/х2, 1/2, Δу/Δх->у'(х0), у'(х0), да
6. Наши ошибки (10 мин)
Предлагаются для обсуждения вопросы, которые содержат часто встречающиеся ошибки. Иногда перед нами возникают проблемы и трудности в решении задач на использование производной. Попробуем их избежать.
-
Определяя точки минимума функции, учащийся нашел, при каких значениях аргумента значения функции равны 0. Затем из этих значений он выбрал те, проходя через которые, функция меняет знак с «-» на «+». Эти точки он назвал точками минимума. Прав ли он?
-
Определяя точки минимума функции, учащийся нашел те значения аргумента, при которых производная обращается в 0. Эти точки он назвал точками минимума. Прав ли он?
-
График производной. Определяя точки минимума, ученик указал точку х=2. Прав ли он?
-
График производной. Определяя точки минимума, ученик указал точки х =-4, х=1, х=3. Прав ли он?
-
График производной. Определяя точки максимума, ученик указал точки х = - 2. Прав ли он?
7. Постановка проблемы о применении производной в курсе физики. (10 мин)
1) Где при изучении темы "Механические колебания" мы встречаемся с применением производной? (ответ: при нахождении скорости и ускорения)
2) Мы берем производную чего? (ответ: координаты)
3) Записать уравнение координаты колеблющегося тела.
4) Как называется колебания, которые описываются этим уравнением? (гармонические).
5) Какие колебания называются гармоническими?
6) Чем отличаются уравнения: x=xmCos(ω0t+ φ0) от х= xmSin ω0t?
Задача. Материальная точка массой 0,01 кг соверщает гармонические колебания по закону косинуса с периодом 2сек и начальной фазой равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки 1*10-4 Дж. Найти амплитуду колебаний; написать уравнение данных колебаний; найти наибольшее значение силы, действующей на точку.
Решение
Запишем уравнение гармонических колебаний без начальной фазы.
X=XmCos ω0t,
Ω=2π/Т. Е=тν 2/2.
Как найти скорость?
V=-Xm ω sin ωt
Ек=mХ2 m ω 2 Sin ωt/2
Полная энергия колеблющейся точки равна максимальному значению кинетической энергии точки E=Ekmax= mX2 m ω 2/2 Отсюда
Xm = 1/ ω 2*E/m=0.045 м; 0=2л/Т
Уравнение данного колебания может быть представлено в виде:
X=0,045Cosπt.
Ускорение колеблющейся точки
а=-Хm ω 2 cos ωt
amax= Хm ω 2
Следовательно, согласно второму закону Ньютона максимальная сила, действующая на точку,
Fm= mamax= -mXm ω 2 =-4.44* 10-3 Н.
Ответ: Хm =0.045м, X=0.045Cosπt, Fm = -4.44*10-3 Н.
8. Подведение итогов.
Сегодня на уроке вы убедились, насколько тесно связаны два очень сложных и интересных предмета математика и физика. Несмотря на то, что математические и физические понятия описываются разными формулами, но подходы к решению и методы их решения одинаковы.