Вне классное мероприятие по математике «Системы счисления» (6-7 классы)

Внеклассное мероприятие по математике «Системы счисления»

Цели:

• Обучающая: формирование новых знаний, умений и навыков по теме "Системы счисления",

• Развивающая: развивать умение выделять главное; развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала; самостоятельность; развитие речи, эмоций, логического мышления учащихся.

• Воспитательная: формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля, чувство ответственности, деловые качества учащихся. Активизация познавательной и творческой активности учащихся

Ход занятия

План:

1. Оргмомент. Вводное слово учителя.

2. Доклады учащихся.

3. Обсуждение темы.

4. Подведение итогов.

Оборудование: плакаты, рисунки.

1. Оргмомент.

Проверка готовности учащихся к проведению занятий.

Введение в тему:

Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается справа числа в нижнем индексе: 5₁₀; 1110110₂; AF178₁₆ и т. д.

Различают два типа систем счисления:

• позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

• непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

,

где S - основание системы счисления;

A_n - цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n - количество разрядов числа.

2. Доклады учащихся.

а) Римская система счисления (Доклад Плынгэу Вероники)

Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV.

При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

Таблица 1. Запись чисел в римской системе счисления

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

б) Десятичная система счисления (Доклад Абесламидзе Лии)

Десятичная система счисления - в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке - наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале XIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы "+" и "-" для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

в) Двоичная система счисления. (Доклад Ожогина Александра)

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание - число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII - ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы - триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B - десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Таблица 2. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

3. Обсуждение темы занятия. Дополнения учащихся. Решение задач.

1) Пример. Число 6293₁₀ запишется в форме многочлена следующим образом:

6293₁₀ = 6 * 10³ + 2 * 10² + 9 * 10¹ + 3 * 10⁰

Перевести это число в двоичную систему счисления.

Ответ: 6293₁₀ = 11100110010₂

2) Число 6398 записано в восьмеричной системе счисления.

Перевести его в десятичную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

6398₈ = 6*8³ +3*8² +9*8¹ +8*8⁰ = 6*512 + 192 +72 + 8 = 3354₁₀

Ответ: 6398₈ = 3354₁₀

3) Перевести число 167 в 2-ую.

167₁₀ = 1110011₂

4) Перевести числа из одной системы в 10-ю: А5С16.

Ответ: А5С16 ₁₆ = 10*16⁴+5*.16³+12*16²+1*16¹ +6*16⁰=256²*10 + 4096*5 + 12*256 + 16 +6 =

5) Перевести из 16-й в 2-ю: D55C

Ответ: D55C = 1101010101011100₂

6) Перевести из 2-й в 16-ю: 11100011101

Ответ: 1110011101₂ = 71D₁₆

4. Подведение итогов. Оценка за выступления и решения задач учащимися.