Интегрированный урок по теме "Решение систем линейных уравнений"

Ольга Брониславовна Романько, преподаватель математики ГБПОУ СПбТК

Екатерина Феликсовна Бушманова, преподаватель информатики и математики

ГБПОУ СПбТК

Цели и задачи урока:

Обучающие:

Математика:

• научиться решать системы линейных уравнений с тремя и более неизвестными;

• научиться пользоваться электронными таблицами MS Excel при решении систем линейных уравнений

Информатика:

• продолжить формирование навыка ввода формул, форматирования данных, работы с массивами данных, использования математических функций в электронных таблицах MS Excel

Развивающие:

• формирование ИКТ - компетенций студентов в области математики;

• обучение рациональным способам решения задач с использованием электронных таблиц MS Excel

• формирование мотивации к занятиям математикой и информатикой во взаимосвязи.

Воспитательные:

• частично ответить на вопрос «Зачем нужны матрицы и определители?», возникший в начале изучения темы «Матрицы и определители»;

• обнаружить дефицит знаний и умений для решения поставленной на уроке задачи и найти способ решения проблемы;

• формирование критического подхода к результатам деятельности, способности самостоятельно оценивать правильность выполнения своей работы

Используемые педагогические технологии:

• ИКТ-технология;

• технология критического мышления;

• проблемно-поисковая технология;

• технология сотрудничества

Возраст студентов: 2 курс

Продолжительность занятия: 90 минут, перерыв между уроками пары 20 минут.

Междисциплинарные связи: математика, информатика.

Оборудование:

Компьютер преподавателя, мультимедийный проектор, экран, персональные компьютеры с установленным на них пакетом Microsoft Offiсe (мобильный класс ноутбуков); презентация к уроку, подготовленная в Microsoft PowerPoint, локальная сеть.

Ход занятия

I. Организационный момент.

Подготовка техники к работе. Краткий инструктаж по технике безопасности. Объявление темы занятия

II. Актуализация опорных знаний.

Преподаватель математики:

На прошлом занятии мы рассматривали вычисление определителей второго и третьего порядка. Давайте повторим, что мы знаем об определителях и как они вычисляются.

Для матрицы второго порядка (Приложение 1):

Вычислите устно:

Для матрицы третьего порядка (Приложение 1.)

Вычислите устно:

Кроме того, вы знаете, как эту работу выполнить в электронных таблиц MS Excel.

Преподаватель информатики ( диалог со студентами).

На предыдущем занятии мы вычисляли определители в MS Excel по тем же формулам. Какую, кроме того, мы использовали математическую функцию для вычисления определителя любого порядка? ( МОПРЕД())

Вспомним, что представляет из себя матрица на странице MS Excel ? (таблицу)

С чего начинается формула в ячейке результата? (со знака равно)

Помним, что в формуле вместо ввода значений элементов матрицы вводятся адреса ячеек, указывая на элементы матрицы в таблице?

Пожалуйста, создайте новую книгу EXCEL, введите матрицу из последнего примера и вычислите определитель любым способом, сверьте полученный результат с тем, что получен ранее.

Рефлексия.

Какой способ вы выбрали? ( МОПРЕД)

Почему? (быстрей)

Трудно ли вычислять определители с помощью MS Excel? (не очень)

Как вычислить определитель четвертого порядка? ( МОПРЕД)

А без компьютера? (разложить по какой-либо строке или столбцу, и затем воспользоваться правилом треугольников, но долго и сложно)

III. Мотивация обучения.

Преподаватель математики.

Сегодня на уроке мы должны частично ответить на вопрос «Зачем нужны матрицы и определители?», возникший в начале изучения темы «Матрицы и определители».

Запишите в конспект тему урока:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Цель сегодняшнего урока:

• вспомнить известные методы решения систем линейных уравнений;

• познакомиться с новым методом, методом Крамера, в котором используются определители;

• научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера, используя при этом MS Excel

• самостоятельно подготовить для себя «универсальный инструмент» для решения систем линейных уравнений третьего порядка

IV. Изучение нового материала.

Преподаватель математики.

Итак, займемся решением систем линейных уравнений.

Какие способы решения систем линейных уравнений вы знаете? Запишите в конспект.

• способ подстановки;

• способ сложения;

• графический способ (только для систем с двумя переменными, не дает точных результатов);

и еще один способ - решение систем линейных уравнений по формулам Крамера или

• метод Крамера

Краткие биографические данные ученого Г. Крамера и его вклад в математическую науку. (Приложение1.)

Метод Крамера для систем 2 порядка (Приложение 1.)

Пусть нам дана система линейных уравнений второго порядка .

Составим и найдем определители

Если определитель основной матрицы , система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

.

Система имеет бесконечное множество решений, если все три определителя равны нулю.

Система не имеет решения, если определитель основной матрицы равен нулю, и хотя бы один из остальных определителей не равен нулю.

(без доказательства)

Студенты делают записи в конспекте.

Решим этим способом несколько систем второго порядка, не используя MS Excel.

1. ; . Ответ:(1;1)

2. Ответ:(3;-1)

3. Ответ:(3;2)

Сверим ответы. Устно сделаем проверку.

Преподаватель информатики.

Давайте рассмотрим еще раз шаги решения на примере системы 3 (Приложение 2).

Преподаватель и студенты проверяют пошагово решение, исправляют в случае необходимости ошибки, задают вопросы.

Решим эту же систему в MS Excel.

• Введите матрицу системы, столбец свободных членов в ячейки листа в виде таблиц.

• Сформируйте таблицу для Определителя1 и Определителя2, используя ссылки на значения исходной таблицы.

• Вычислите три необходимых определителя.

• Введите формулы Крамера, используя ссылки на значения вычисленных определителей.

• Оформите получившийся лист с решением начертанием символов, заливками, рамками.

Преподаватель информатики выполняет эти действия на своём компьютере и проецирует все действия на экран.

Запишите в тетради любую систему с двумя переменными. Решите ее с помощью подготовленного вами листа MS Excel.

Рефлексия.

Какие возникли трудности? (нет проблем; а как ввести дробные числа?а у меня определитель равен нулю)

У всех ли из вас полученные значения действительно являются решениями? (некоторые значения приближенные)

Как получить решение, записанное в виде обыкновенной дроби? Выбрать команду Формат ячейки, вкладка Число, выбрать Дробный. Так же можно и вводить матрицы с дробными коэффициентами.

Любые ли системы можно решить таким способом? (если ни один из определителей не равен нулю, т.е. системы, имеющие единственное решение)

Преподаватель информатики.

Как правило, в MS Excel решаются задачи, которые носят не единичный, а массовый характер. Задавая в формулах не значения, а ссылки на ячейки со значениями, вы не просто решили эту задачу, а построили информационную модель этого класса задач. Обратите внимание на то, что теперь при решении задач с помощью вашей информационной модели самым сложным остаётся корректный ввод данных и анализ полученных результатов.

Запишите в тетради еще 2-3 любых системы и решите их с помощью построенной информационной модели.

Преподаватель математики.

Давайте решим еще несколько систем, не используя MS Excel.

Решите систему

система не может иметь единственного решения;

; система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечное множество решений.

Решите самостоятельно системы методом Крамера .

1. система не может иметь единственного решения;

; система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечное множество решений.

2. ;

Ответ:

3. ; ;

Ответ:

Оформите решение в тетради. Запишите ответ.

Проверка решения с использованием готовых решений (Приложение 1.)

Преподаватель математики:

Усложняем работу. Решим систему 3 линейных уравнений с 3 неизвестными

Составим план решения.

Запишем и вычислим 4 определителя Если, вычислим .

Преподаватель информатики.

Обратите внимание на то, что вы строите универсальную информационную модель задачи, которая позволит вам быстро решать подобные системы, поэтому:

• Разборчиво, красиво оформляйте лист, позаботьтесь о том, чтобы выбранный шрифт хорошо читался и фон не мешал воспринимать числовые значения.

• Выделите область исходных данных и ссылайтесь на неё, чтобы в дальнейшем только один раз приходилось вводить данные.

• Выделите ответ.

Посмотрите еще раз, какова последовательность действий. Преподаватель выполняет все действия на своём компьютере и проецирует их на экран. Затем студенты выполняют задание самостоятельно. В случае затруднений, оба преподавателя оказывают практическую помощь в решении проблем.

; .

Ответ: (-4;1;-2).

Преподаватель информатики.

Как можно сделать проверку? (с помощью функции умножения матриц МУМНОЖ). Для этого полученные значения неизвестных запишите ссылками в столбец и перемножьте матрицу системы и столбец полученных значений. Должен получиться столбец свободных членов.

Вспомните особенности ввода формул работы с массивами: Как вводится формула?

( формула вводится не в отдельную ячейку, а в массив ячеек, в данном случае в столбец из трёх ячеек)

Чем оканчивается ввод формулы? (CTRL+SHIFT+ENTER).

Преподаватель математики.

Используя полученную информационную модель решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, решите следующую систему:

Ответ:(1;-1;2)

Формулы Крамера позволяют решать системы линейных уравнений с большим количеством неизвестных.

V. Домашнее задание.

Решите систему

Рефлексия

Ваше мнение об уроке?

Как вы думаете, какие знания и навыки, полученные на уроке, вам пригодятся?

Что вам понравилось делать на уроке?

Чему вы научились?

Что вызывало затруднения?

На что надо обратить внимание на следующем занятии?

Что бы вы рассказали об уроке?

Поставьте себе оценку за работу на уроке.

Список используемой литературы

1. Математика в задачах с решениями. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. Учебное пособие. Издательство Лань. Санкт-Петербург. 2011г.

2. Лебедев А. Понятный самоучитель Excel 2013. - СПб.: Питер, 2014. - 128 с.: ил. - (Серия «Самоучитель»)

Интернет-ресурсы

ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0

www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/metod_kramera/35-1-0-1047

Приложение 2.

Информационная модель решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными:

Результаты решения неопределённой системы

Информационная модель решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными:

</