Разработка урока по теме 'Перпендикулярность прямой и плоскости'

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУИ ВО «Московский государственный гуманитарно-экономический университет»

Калмыцкий филиал

Очирова Т.Л., преподаватель математики

Тема урока: «Перпендикулярность прямой и плоскости».

Цели занятия:

Образовательная:

- дать определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости; показать связь между параллельностью и перпендикулярностью прямой и плоскости; формировать у студентов навыки применения полученных знаний при решении задач;

Развивающая:

-развивать умение систематизировать, анализировать; сопоставлять, делать выводы, развивать пространственное мышление.

Воспитательная:

- побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности; воспитывать умение работать в парах, вырабатывать навык самоконтроля.

Оборудование: доска, линейка.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Повторение изученного:

   1. Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?

   2. Каково взаимное расположение двух плоскостей, если третья плоскость пересекает их по прямым:

а) имеющим общую точку;

б) не имеющим общих точек?

3) Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть её боковыми сторонами?

4) Прямая а пересекает параллельные плоскости и в точках А и В. Прямая в, параллельная прямой а, пересекает плоскости в точках D и С. Найдите периметр ABCD, если АВ=3 см, ВС=4см.

3. Объяснение новой темы.

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90

c ab (a и b-пересекающиеся прямые)

b

ac (a и c - скрещивающиеся прямые)

a

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

a

Дано: a ǀǀ b

b ac

Док-ть: bc

М

A

CДок-во:

C

b ǀǀ a MA ǀǀ a MC ǀǀ c

ac

b ǀǀ MA AMC= 90°

bc

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

a

bab b

a

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

a

A₁

B

A

b

C

A₂

x

Х

c

Дано : b, c, bc=A

ab, ac

Док-ть: a

Док-во:

Дополнительные построения:

x Ax

pc=C pb=B p=X

AA₁=AA₂

aab

AA₁AC AA₁=A₁A₂ AA₁ AB

AC- высота A₁CA ₂AC- медиана A₁CA ₂AB-медиана A₁BA ₂ AB-высота A₁BA₂

A₁ CA₂-р/б A₁ BA₂-р/б

A₁C=CA₂ AA₁- общая A₁B=BA₂

A₁BC= A₂BC(CCC)

BX-общая 1=2

A₁BX = A₂ BX(СУС)

A₁X=A₂ X

A₁XA₂ - р/б

AX- высота A₁XA₂

x x

a

IV Решение задач на закрепление.

Задача Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС

треугольника АВС. Определите вид МВD, где D-

произвольная точка прямой АС.

М Дано: АВС Решение:

МСВС МВАВ МВВС

МВАВ АВВС=В

В

А

D

СDАС

DАС

МВD -?

ВD(АВС) МВ(АВС)

МВВD

МВD=90°

МВD- п/уг.

Задача. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, МА=МС, МВ=МD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

М

Дано: АВСD- парал-м

АСВD=0

ВМА=МС, МВ=МD

L

СДок-ть: ОМ(АВСD)

Док-во:

О

А

D

АМ=МС АВСD- парал-м МВ=МD

АМС- р/б АО=ОС ВО=ОD МВD- р/б

ОМ-медиана АМС ОМ-медиана МВD

ОМ- высота АМС ОМ-высота МВD

ОМАС АСВD=О ОМВD

ОМ(АВСD)

V.Подведение итогов урока.