Исследовательская работа 'Олимпиадные задачи - это увлекательно!'

Оглавление

1. Введение.

1.1. Актуальность.

1.2. Гипотеза. Цели. Задачи.

1.3. Круг рассматриваемых вопросов.

2. Содержание:

   1. . Что такое олимпиадные задачи? Исторические сведения.

   2. . Олимпиадные задачи по математике районного уровня 9 класс..

   3. . Темы курса 5, 6 классов на которые надо обратить особое внимание.

3. Заключение.

4. Используемая литература.

5. Приложение.

Введение

Олимпиадные задачи в системе изучения математики направлены на расширение кругозора и повышения математической культуры, развитие смекалки, сообразительности, находчивости, настойчивости в поиске оригинального решения. Актуальность.

В книге Розы Петер «Игра с бесконечностью» (М.,1967) есть такие замечательные строки: «Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но также и потому, что она прекрасна, потому, что человек? если хотите, вложил в неё любовь к игре, и потому, что математика в состоянии сравниться даже с самой увлекательной игрой - сделать возможным «ухватить бесконечность». Математика даёт нам чёткие сведения о бесконечности, о вещах, которые трудно даже вообразить. И в то же время, она поразительно человечна и меньше всего похожа на пресловутое « дважды два - четыре»; математика несёт на себе печать никогда не кончающейся человеческой деятельности».

Работа с оригинальной, необычной и интересной задачей - это увлекательный процесс. Олимпиад всё больше и больше. Только в нашей школе есть возможность участия в различных олимпиадах разного уровня. Олимпиады классные, школьные, районные, зональные, всероссийские, олимпиады различных вузов страны. В книгах, посвящённых конкурсным задачам я прочитал, что решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект. Роль олимпиад становится все более значимой. Многочисленные олимпиады дают их победителям и призёрам право поступления в высшие учебные заведения. При сдаче ЕГЭ по математике в задании С 6, предложены олимпиадные задачи.

Актуальность решения олимпиадных задач заключается в предоставлении учащимся ещё одной возможности поступить по результатам олимпиад, повысить уровень математической грамотности, даёт шанс стать победителем!

Чем раньше начать подготовку к участию различных олимпиад, тем больше шансов стать победителем.

Когда я посмотрел тексты заданий районной олимпиады 9 класса, то заметил, что часть задач я мог бы решить. Причём не одну, а несколько. Меня это заинтересовало. Тогда я решил проверить, выдвинутою мною гипотезу.

Гипотеза:

Ученик 6 класса может решить 50 % заданий предлагаемых на районной олимпиаде учащимся 9 класса.

Цель и задачи

Изучить задачи, предлагаемые на районных олимпиадах. Установить связь этих заданий с темами материала 5-6 класса. По возможности определить темы предложенных задач.

Познакомиться с текстами олимпиадных заданий районной олимпиады разных лет. Опираясь на знания курса шестого класса решить задачи, если это возможно.

Методы работы:

Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы.

Практический метод решения олимпиадных задач, на основе полученных знаний.

Исследовательский метод при выяснении того, на какие темы надо обратить особое внимание для успешного решения олимпиадных заданий.

Анализ полученных в ходе исследования данных.

Основная часть

Олимпиады возникли в Древней Греции как состязания в ловкости, силе, красоте. Первая олимпиада состоялась 776 г. до н. э. Олимпиады проводились в Олимпии один раз в четыре года вплоть до 394 г. н. э., когда были запрещены в связи с распространением христианства. Вновь олимпиады возродились в 1896 г.

Различного рода состязания проводились не только в спорте. Хорошо известна любовь к состязаниям в решении задач как на Руси, так и во многих других странах мира. Математические соревнования по решению задач также называются олимпиадами, хотя они проводятся в настоящее время с периодом не в четыре года, а, как правило, ежегодно.

В России конкурсы по решению задач начали проводиться с 1886 г., в Венгрии и Румынии-с 1894 г., а в других странах значительно позже (в Беларуси - с 1950 г).

Развивающий потенциал олимпиадных задач неисчерпаем.

Олимпиадные задачи в математике - термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход. Олимпиадные задачи получили своё название от популярных соревнований школьников и студентов, так называемых математических олимпиад. Цель создания задач этой категории - воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон.

Хорошо известно, что решение нестандартных задач и задач олимпиадного уровня по математике развивает у учащихся нетрадиционное мышление, творческую инициативу, пытливость ума, воспитывает волю и характер, расширяет и углубляет знания по предмету. Вырабатывает стремление к поиску оригинальных, нешаблонных подходов к разрешению всевозможных проблем, возникающих не только в математике, но и в других сферах человеческой деятельности.

В настоящее время есть большой выбор участия, в различных математических конкурсах от школьных до всероссийских. Наиболее престижным в нашей школе считается участие в районной олимпиаде по предметам. На эту олимпиаду отправляют самых сильных учеников защищать «честь» школы. В олимпиаде принимают учащиеся 9 - 11 классов. Мне захотелось узнать, насколько сложные задачи решают учащиеся 9 класса. Когда я увидел текст заданий, то был удивлён. Некоторые задачи я смог бы решить.

Вот задачи, которые были предложены учащимся 9 класса на районной олимпиаде в 2010 году.

1. Числа a, b, c таковы, что а²(в + с)=в²(а + с) и а не равно в. Найдите значение выражения с²(а +в).

2. Пусть а, в, с - стороны треугольника. Докажите неравенство а³ + в³ + 3авс>c³.

3. Существуют ли двузначные числа, равные удвоенному произведению своих цифр.

4. Дан треугольник АВС, в котором АВ>ВС. Касательная к его описанной окружности в точке В пересекает прямую АС в точке Р. Точка Д симметрична точке В относительно точки Р, а точка Е симметрична точке С относительно прямой ВР. Докажите, что четырёхугольник АВЕД - вписанный.

5. В пакете 9 кг манной крупы. Попробуйте при помощи трёх взвешиваний разделить крупу по двум пакетам: в одном - 2 кг, а в другом - 7 кг, располагая одной гирей 250 г и одной гирей 50 г.

6. В классе 35 учеников. Из них 12 занимаются в математическом кружке, 9 - в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?

Вначале я решил шестую задачу.

• Решение:

• 35-16=19(математиков и биологов)

• 19-12=7 (биологов)

• 9-7=2(увлекаются и математикой и биологией)

Затем решил 5 задачу.

• В пакете 9 кг манной крупы. Попробуйте при помощи трёх взвешиваний разделить крупу по двум пакетам: в одном 2 кг, а в другом - 7 кг, располагая одной гирей 250 кг и одной гирей 50 г.

• Решение:

• Первое взвешивание: 9000г:2=4500г

• Второе взвешивание: 4500г:2=2250г

• Третье взвешивание: 2250г-250г=2000г=2кг

• Остаток 7кг

Затем третью..

• Существуют ли двузначные числа, равные удвоенному произведению своих цифр?

• аb=10а+b а=1, b=10, неверно

• 10а+b=2аb а=2, b= 20/3 неверно

• 10а=2аb-b а=3, b=6 верно

• 10а=b(2а-1) а=4, b=40/7 неверно

• b=(10а):(2а-1) а=5, b=50/9 неверно

• А=1,2,.....,9 а=6, b=60/11 неверно

• B=0,1,......,9 а=7, b=70/13 неверно

а=8, b=80/15 неверно

а=9, b=90/17 неверно

Ответ: существует, «36»

Для решения остальных задач знаний не хватило.

Из олимпиадных задач 1992 года из пяти получилось решить три.

1 Решить в множестве действительных чисел уравнение

Х⁴-10х³-2(а-11)х²+2(5а+6)х+2а+а²=0.

2. Пусть сумма а+в+с кратна 6. Доказать, что а³+в³+с³ кратна 6.

Доказать, что если в треугольнике стороны а,в,с удовлетворяют соотношению 1/(а+в)+ 1/(в+с)=3/(а+в+с), то один из его углов равен 60⁰.

3 Из четырёх монет одна отличается по весу от остальных, имеющих одинаковый вес. Как выделить её двумя взвешиваниями на весах с двумя чашками без гирь? Можно ли при этом выяснить, легче ли она остальных, или тяжелее?

4 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько надо взять лома каждого из этих сортов, чтобы получить 140 кг стали с содержанием никеля в 30%.

5 Общее число участников олимпиады и задач, которые им предложили для решения, равно 42. Первый участник решил 7 задач, второй - 8 задач и т. д., а последний решил все задачи. Сколько участников и сколько задач было на олимпиаде

3 задача. Из четырёх монет одна отличается по весу от остальных, имеющих одинаковый вес. Как выделить её двумя взвешиваниями на весах с двумя чашками без гирь? Можно ли при этом выяснить, легче ли она остальных, или тяжелее?

Решение.

Возьмём две монеты и положим на весы. 1 случай. Монеты равные по весу. Убираем одну из них и кладём вторую .Если монеты равны по весу то фальшивая та, которую мы не взвешивали. Если монеты не равны по весу ,то мы взяли фальшивую монету и тогда можно определить легче или тяжелее она остальных.

2случай. Монеты разные по весу. Убираем одну из монет и кладём вторую. Если весы в равновесии то убрали фальшивую. Тогда в этом случае тоже можно определить легче она или тяжелее остальных. Если на весах нет равновесия , то фальшивая монета та , которую мы не трогали. В этом случае тоже можно определить легче она или тяжелее остальных.

Ответ За 2 взвешивания, определить легче или тяжелее она остальных можно невсегда.

4 задача. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько надо взять лома каждого из этих сортов, чтобы получить 140 кг стали с содержанием никеля в 30%.

Решение;

Пусть взяли х килограмм лома стали с содержанием 5%-го никеля. Заполним таблицу по условию задачи.

п

Сплав,кг.

Никель,кг.

5%-й

0,05

х

0,05х

40%-й

0,4

140 - х

0,4(140 - х)

сплав

0,3

140

О,3 * 140

Составим и решим уравнение:

0,05х + 0,4(140 - х)=0,3*140.

0,35х=14

Х=40

140-40=100.

Ответ: 40 кг 5%-го 100 кг 40%-го.

5 задача. Общее число участников олимпиады и задач, которые им предложили для решения, равно 42. Первый участник решил 7 задач, второй - 8 задач и т. д., а последний решил все задачи. Сколько участников и сколько задач было на олимпиаде.

Решение.

Первый участник решил 7 задач, второй - 8 задач, третий- 9 задач……..восемнадцатый - 24задачи. Т к. 18 + 24 = 42.

Ответ. Участников 18, всего задач 24.

Из олимпиадных задач 2001 года - три задачи.

• Найти наибольшее и наименьшее натуральные числа, в десятичной записи которых нет нулей и единиц, а сумма цифр равна 68.

• Запись 2001-значного натурального числа оканчивается цифрой «1», а любые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, делящееся либо на 17, либо на 23. Какова первая цифра записи этого числа?

• Найдите множество решений уравнения

• Х²+5у²+4ху+2у+1=0.

• Трапецию, длины сторон которой «а», «а», «а», «2а», разбили на четыре равных прямоугольных трапеций. Найдите длины оснований полученных трапеций.

• Замок состоит из 64 одинаковых квадратных комнат, имеющих по двери в каждой стене и расположенных в виде квадрата 8 на 8. Полы во всех комнатах покрашены в белый цвет. Каждое утро маляр совершает прогулку по замку, причём, проходя через комнату, он перекрашивает пол в ней из белого в чёрный, а из чёрного - в белый. Возможно ли, что когда-нибудь полы в замке окажутся окрашенными в шахматном порядке в чёрный и белый цвета? Вход в замок единственный.

1 задача: Найти наибольшее и наименьшее натуральные числа, в десятичной записи которых нет нулей и единиц, а сумма цифр равна 68.

Решение.

Наименьшее число состоит из цифр большей значимости т. к. если взять цифру большей значимости, то число разрядов числа увеличится 59999999. Наибольшее число состоит из цифры 2 и имеет наибольшую значимость 2222……..22(34 двойки).

2 задача. Запись 2001-значного натурального числа оканчивается цифрой «1», а любые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, делящееся либо на 17, либо на 23. Какова первая цифра записи этого числа?

Решение.

Х4…у1 - всего 2001 цифра данное число.

Если две цифры составляют число кратное 17, то вазможны числа: 17,34, 51,68, 85. При кратности 23 возможны числа: 23, 46, 69, 92.Начнём строить числа начиная справа:

…92346 92346 92346 851. Заметим периодичность цифр 2001 - 3 = 1998 цифр.

1998 : 5 = 399 (ост 3). 399 полных периода из цифр 92346 и ещё три цифры 346.

Ответ: первая цифра 3.

6 задача. Замок состоит из 64 одинаковых квадратных комнат, имеющих по двери в каждой стене и расположенных в виде квадрата 8 на 8. Полы во всех комнатах покрашены в белый цвет. Каждое утро маляр совершает прогулку по замку, причём, проходя через комнату, он перекрашивает пол в ней из белого в чёрный, а из чёрного - в белый. Возможно ли, что когда-нибудь полы в замке окажутся окрашенными в шахматном порядке в чёрный и белый цвета? Вход в замок единственный.

1

2

3

4

5

6

7

8

h

h

g

g

f

f

e

e

d

d

c

c

b

b

a

a

1

2

3

4

5

6

7

8

Пусть дверь в замок через 1 а. начнём раскраску с 8h. Дойдём до 8 h и вернёмся назад тем же путём. 8 h окрасим в чёрный цвет, остальные в белый. Таким же образом окрасим в чёрный цвет 6h, 4h, 2h, 1g, 1e, 1c - 7 прогулок. 7g, 5g, 3g, 2f, 2d, 2b- 6прогулок.

8f, 6f, 4f, 3e 3c - 5 прогулок.. 7e, 5e, 4d, 4b - 4 прогулки. 8d, 6d, 5c - 3 прогулки. 7с, 6b- , 6b- прогулки. 8b - 1 прогулка. 7а - 1 прогулка. 5а- 1 прогулка. 3а- 1 прогулка. 1а- 1 прогулка.

7+6+5+4+3+2+1+1+1+1+1=32. За 32 прогулки комнаты в замке будут окрашены в шахматном порядке.

Таблица результатов.

Год

Позволяют решать знания

Не решаются

% решаемых задач

% нерешаемых задач

2010

3,5,6

1,2,4

50

50

2006

1,3,5

2,4

60

40

2001

1,2,5

3,4

60

40

1999

1,3,5,6

2,4

67

33

1998

1,2,3,6

4,5

67

33

1992

4,5,6

1,2,3

50

50

При решении задач мне понадобились такие темы курса 5 - 6 класса : Числа и выражения. Понятие цифры и числа. Натуральные , целые, рациональные числа. Десятичная система счисления. . Арифметические действия с числами. Свойства арифметических действий. Степень с натуральным показателем. Делители и кратные числа. Признаки делимости. Простые числа. Разложение числа на простые множители. Нахождение части числа и числа по его части. Отношение, пропорции. Основное свойство пропорции. Пропорциональные и обратно пропорциональные величины. Проценты. Решение текстовых задач арифметическими приёмами. Буквенные выражения. Числовые подстановки в буквенные выражения. Вычисления по формулам. Уравнения с одной переменной. Корни уравнения. Линейные уравнения.

Я понял, что неважных тем в математике не бывает. Чтобы качественно подготовиться к участию в олимпиадах надо на всех уроках активно работать, тщательно готовиться к каждому уроку. Тогда 50 и более % заданий олимпиадного уровня старших классов будут решаться уже в конце 6 класса.

Те олимпиадные задачи, которые я решил можно классифицировать по темам:

№

Тематика задач

2010 год

2006 год

2001 год

1999 год

1998 год

1992 год

1

Делимость и остатки

3

3

1,2

2

На взвешивание

5

6

3

3

Переливание

1

4

Текстовые задачи

5

1

2,3

4

5

Раскраски и инварианты

1,

5

5,6

6

Логические задачи

3

5

7

Графы

6

Моя гипотеза подтвердилась. Уже в 6 классе можно решить половину предлагаемых задач на районной олимпиаде для учащихся 9 класса, надо только очень хорошо усвоить весь учебный материал.

Приложение

Министерство образования и науки Республики Бурятия

М О «Мухоршибирский район»

МБОУ «Мухоршибирская средняя общеобразовательная школа №2»

Конференция «Шаг в будущее»

Исследовательская работа на тему:

Олимпиадные задачи - это увлекательно!.

Работу выполнил ученик 6 класса

Максимов Сергей

Руководитель:

Кривогорницына Ольга Ивановна.

С, Мухоршибирь

2015 г.