Исследовательская работа на тему Логическая игра Пентамино

22

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………………...3

Раздел 1. История создания логической игры «Пентамино»……………………....5

Раздел 2. Решения популярных головоломок «Пентамино»…………………….....8

2.1. Виды и количество фигур………………………………………………………....8

2.2. Правила игры «Пентамино» …………………………………………………......9

2.3. Популярные головоломки «Пентамино» ……………………………………….11

Раздел 3. Практическая работа «Создание новых головоломок Пентамино»…......16

3.1. Новые фигуры «Пентамино»……………………………………………………...16

3.2. Практические занятия по логической игре «Пентамино» ……………………17

Заключение …………………………………………………………………………….19

Список литературы .........................................................................................................20

ВВЕДЕНИЕ

Младший подростковый возраст отличается повышением интеллектуальной активности, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью, но и желанием развить и продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны.

На дополнительном занятии по математике учитель предложил нам поиграть в логическую игру «Пентамино». Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора «Пентамино». Этот набор содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти («пента» в переводе с греческого означает «пять») одинаковых квадратов, причём которые «соседствуют» друг с другом только сторонами. Каждая фигурка Пентамино обозначается латинской буквой, похожая на иную фигурку.

Меня увлекла логическая игра. Приходилось думать, выкладывая фигурки из набора «Пентамино» (мы сделали сами из цветной бумаги), был азарт среди ребят, хотелось выложить фигуру быстрее всех, но мало кому удавалось это сделать. Сколько ты получаешь радости, когда оказываешься первым среди всех!

Актуальность темы. Человечество с давних времён увлекается различными головоломками. Они привлекают разнообразными формами, позволяют с пользой провести свободное время, проверить свои интеллектуальные способности. Одной из таких головоломок является пентамино. Эта игра развивает абстрактное и оперативное мышление, геометрическое и пространственное воображение, комбинаторные способности, воспитывает настойчивость и терпение, учит определять, создавать, анализировать. Кроме того, пентамино развивает мелкую моторику и координацию движений.

Цель исследовательской работы: изучить логическую игру «Пентамино» и создать собственный набор заданий для данной игры.

Задачи:

1. Собрать и изучить материал по логической игре «Пентамино».

2. Решить задачи, предложенные любителями игры.

3. Подготовить фигуры из набора Пентамино для игры на группу учащихся и познакомить учащихся 5-6 классов с правилами этой игры.

4. Придумать и решить задачи «Пентамино».

5. Сделать презентацию по теме «Пентамино».

Предмет исследования: математика.

Объект исследования: логическая игра «Пентамино».

РАЗДЕЛ 1

ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ ЛОГИЧЕСКОЙ ИГРЫ «ПЕНТАМИНО»

Известна история о принце Генри, сыне Вильгельма Завоевателя, впоследствии Генрихе I, которая столь часто встречается в старых хрониках, что, несомненно, отражает реальный факт. Приведенная ниже версия этой истории взята из книги Хэйворда «Жизнь Вильгельма Завоевателя», увидевшей свет в 1613 г. «К концу своего царствования Вильгельм передал своим сыновьям Роберту и Генри совместное управление Нормандией, дабы один обуздывал наглость и легкомыслие другого. Принцы отправились навестить французского короля, находившегося тогда в Констанции. Время проводили в играх и состязаниях, Генри часто играл в шахматы с Людовиком, бывшим тогда дофином Франции, и почти всегда выигрывал. Людовик становился все более неразборчив в словах, отчего у Генри не прибавилось к нему уважения. Чрезмерная нетерпимость одного и непокладистость другого в конце концов так накалили атмосферу, что однажды Людовик швырнул шахматы в лицо Генри. Генри в свою очередь ударил Людовика по голове шахматной доской, и, возможно, дело кончилось бы весьма печально для дофина, если бы принца не удержал собственный брат Роберт. Братья тотчас вскочили на коней, и, как уверяют, их шпоры были столь остры, что им удалось добраться до своих владений, хотя французы преследовали их по пятам». Далее предание гласит (хотя в этой части можно и усомниться), что шахматная доска от удара разломилась на тринадцать частей.

Это двенадцать кусочков разной формы, каждый из которых содержит пять клеток, и только один меньший кусочек состоит из четырех клеток. Таким образом, у нас есть все 64 клетки шахматной доски, а головоломка состоит в том, чтобы вырезать эти части и сложить затем из них правильную Шахматную доску. Сам принц Генри при всей своей ловкости и образованности нашел бы это занятие весьма занимательным.

Первое упоминание полимино относится к 1953 году, когда американский математик Соломон Вольф Голомб, аспирант университета Гарварда, сделал доклад в Гарвардском математическом клубе «Шахматные доски и полимино». Игры и задачи о полимино быстро нашли популярность по всему миру.

Пентамино́ (от др.-греч. πέντα пять, и домино) - пятиклеточные полимино, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами («ходом ладьи»). Этим же словом иногда называют головоломку, в которой такие фигуры требуется укладывать в прямоугольник или другие формы.

Аналогично классической игре домино из фигур, состоящих из двух квадратов, С. Голомб назвал фигуры тримино (из 3-х квадратов), тетрамино (из 4-х) и пентамино (5 квадратов). Также существуют фигуры из большего количества квадратов.

Для тримино требуется набор из 2-х компонентов - полоски, состоящей из трех квадратов и угла. Для тетрамино требуется уже 5 различных элементов, а для пентамино - 12. При этом, элементы головоломки можно вращать, поэтому несимметричный элемент полимино и его зеркально-отраженная копия считаются одним элементом. А для полимино из большего числа элементов уже требуется еще большее количество элементов: 35 элементом для гексамино и 135 для гептамино. Поэтому такие полимино редко используются для игры.

В 70-е годы прошлого века в нашей стране был пик популярности этой игры. Тогда же выяснили, что впервые вариант этой игры под названием «12 по 5» придумал Н.Д. Сергиевский еще в 1935 году, а в 1951 эта игра участвовала во Всесоюзном конкурсе детской игрушки. Игра стала активно набирать популярность, и отечественная промышленность выпускала ее в виде набора пластмассовых фишек, уложенных в коробку 6×10. К игре прилагалась инструкция с набором различных задач. Например, классические задачи о покрытии прямоугольников размером 6×10, 5×12, 4×15 и 5×20.

Задачи с пентамино - это один из типов математических головоломок на разрезание фигур. Эти задачи относятся к разделу комбинаторной геометрии. Разъединение целого объекта на составляющие и объединение этих составляющих в одно целое (пусть даже в пределах плоскости) - это деятельность, которая развивает геометрическое «видение» учащихся, помогает формировать первичные геометрические представления и является пропедевтикой развития пространственного мышления. Универсального метода решения задач на пентамино не существует. Ученикам, которые берутся за их решение, не понадобится знание основ планиметрии, они могут в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению.

РАЗДЕЛ 2

РЕШЕНИЕ ПОПУЛЯРНЫХ ГОЛОВОЛОМОК «ПЕНТАМИНО»

2.1. Правила игры «Пентамино»

Пентамино - фигурка, составленная из пяти квадратиков (от слова "пента" - пять). Существует всего 12 пентамино.

Рис.1.1

Сравнение систем именования пентамино. Первая схема (вверху) была предложена Соломоном Голомбом и используется в этой статье. Вторая схема (внизу) предложена Джоном Конвеем и используется, в частности, при описании конфигураций «Жизни», имеющих форму пентамино.

Запомнить эти обозначения удобнее всего так: первые пять букв входят в имя FILiPiNo, а остальные семь составляют конец латинского алфавита.

Всего существуют 12 различных фигур (элементов) пентамино, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают (см. рисунок). Считается, что зеркальная симметрия и вращательная симметрия не создают новых фигур. Но если считать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18. Такое различие имеет значение, например, в компьютерной игре, вариации «Тетриса» - «Пентиксе».

Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:

• L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.

• Z может быть ориентирована 4 способами: 2 - поворотами, 2 - зеркальными отображениями.

• T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.

• I может быть ориентирована поворотами 2 способами.

• X может быть ориентирована единственным способом.

Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63.

Например, вот восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, P, N и Y:

Рис.1.2

2.2. Правила игры «Пентамино»

Задачи с пентамино - это один из типов математических головоломок на разрезание фигур. Эти задачи относятся к разделу комбинаторной геометрии. Разъединение целого объекта на составляющие и объединение этих составляющих в одно целое (пусть даже в пределах плоскости) - это деятельность, которая развивает геометрическое «видение» учащихся, помогает формировать первичные геометрические представления и является пропедевтикой развития пространственного мышления. Именно в 5-6 классе следует уделить этому вопросу особое внимание, это весьма благоприятный период для достижения поставленной цели.

Суть игр заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов. В результате игры получается плоскостное силуэтное изображение. Оно условно, схематично, но образ легко угадывается по основным характерным признакам предмета, его строению, пропорциональному соотношению частей и форме. Игра имеет свой комплект элементов, из которых можно сложить только определенные плоскостные силуэты.

Игра позволяет создавать абстрактные изображения разнообразной конфигурации, узоры, геометрические фигуры. Для игры разработаны различные схемы изображений. Многие из них являются результатами детского творчества. В качестве образцов используются изображения реальных предметов, силуэтное изображение которых можно воссоздать из набора геометрических фигур той или иной формы.

Есть множество других игр, похожих на игру «Пентамино». Например: «Домино», «Тримино», «Тетрамино», «Игра Дьюдени», «Тетрис».

Практически не встретишь такого жителя Земли, разве что в племенах внутренней Африки, который бы хоть раз в жизни да не играл в тетрис. Но далеко не все в курсе, что его изобретатель гордость России, бывший сотрудник Вычислительного центра Академии наук СССР Алексей Пажитнов. Он специализировался на проблемах искусственного интеллекта и распознавания речи. Последнее требовало создания и решения разного рода головоломок. Самой любимой пажитновской головоломкой была классика - Pentomino Puzzl. В ней из различных элементов, состоящих из пяти квадратов, нужно было создавать фигуры. Вдохновленный «Пентамино», Пажитнов тоже поначалу разрабатывал компьютерную головоломку, в которой под действием силы тяжести аналогичные пятиквадратники меняли свое положение. Но тогдашние возможности компьютеров были таковы, что задачу пришлось упростить - квадратов стало четыре, (отсюда - тетрис), а фигуры, составленные из них, падали только вниз.

Игра, придуманная Дьюдени, ведется двумя игроками на обычной шахматной доске при помощи специальных фигур пентамино. Каждый игрок имеет комплект из 12 фигур. Размер квадратиков соответствует размеру клетки доски. Ходы делаются по очереди. Ход состоит в том, что игрок выкладывает на доску одну из имеющихся у него на руках фигур пентамино так, чтобы закрыть ею пять свободных клеток доски. Если игрок не может сделать ни одного хода, партия считается проигранной им. Очевидно, в этой игре не бывает ничьих. Партия продолжается не более 12 ходов (шахматную доску 8×8 полностью нельзя покрыть пентамино, останется 4 свободные клетки).

Задача игрока расположить все фигурки на поле, оставив четыре пустые клетки. В простом случае фигурки можно переворачивать (отражать зеркально), а пустые клетки оставлять где угодно. В усложненном варианте запрещается зеркальные перевороты фигур, а пустые клетки должны быть на конкретных местах (например, по углам). Если сделать несколько комплектов, то можно собирать на время.

2.3. Популярные головоломки «Пентамино»

Прямоугольник

Одной из самых распространенных задач пентамино - сложить прямоугольник из всех фигур. При этом фигуры не должны накладываться друг на друга и не должно быть пустот. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6х10,5х12,4х15 и 3х20. Вариантов укладок прямоугольников множество, например, для прямоугольника 6х10 существует ровно 2339 различных способов, не считая отражения и переворотов, для прямоугольника 5х12 - 1010 решений, для прямоугольника 4х15 - 368 решений, а для прямоугольника 3х20 всего 2 способа [6].

Рис.2.1

Задача об утроении фигур пентамино

Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р). Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино.

Рис.2.2

Представленное на рисунке решение, найденное А. ван де Ветерингом, обладает интересным свойством: каждое пентамино используется для утроения девяти из остальных, по одному разу в каждой. Таким образом, из 9 комплектов исходных фигур пентамино можно одновременно сложить все 12 утроенных пентамино.

Варианты настольной игры

Пентамино с заранее выбранными фигурами

В этом варианте игры игроки сначала по очереди выбирают по одной фигуре, пока все фигуры не будут распределены между ними. Далее игра проходит по правилам обычного пентамино, с той разницей, что каждому из игроков разрешается ходить только теми фигурами, которые он выбрал. Взявший последнюю фигуру делает первый ход.

Стратегия этого варианта игры, предложенная Голомбом, существенно отличается от стратегии обычного пентамино. Вместо того чтобы разбить доску на равновеликие участки, игрок стремится создать на доске участки, которые можно заполнить лишь его фигурами, но не фигурами соперника. Голомб называет такие участки «убежищами».

Другие варианты

1. «Карточное пентамино» - вариант игры с привнесением случайных событий. Фигуры пентамино (или их буквенные обозначения) рисуют на карточках, которые тасуют и раздают игрокам. Игроки выбирают фигуры в соответствии с розданными им карточками. Далее игра идёт по правилам пентамино с заранее выбранными фигурами.

2. Пентамино для четырёх игроков. Четыре игрока, сидящие по четырём сторонам доски, играют двое на двое (игроки, сидящие друг напротив друга, образуют команду). Проигравшей считается команда, игрок которой первым не сможет сделать хода. В эту игру можно играть по любому из трёх вышеописанных вариантов - обычному, с заранее выбранными фигурами или «карточному».

3. «Кто-кого?». В игре участвует от двух до четырёх игроков, но каждый из них играет только за себя. Победителем считается сделавший последний ход, ему засчитывается 10 очков. Игрок, который должен ходить после победителя (т.е. первым не сможет сделать хода) получает 0 очков, а все остальные игроки - по 5 очков. Может быть сыграно несколько партий, набранные в них очки суммируются. Игра также может проводиться по любому из трёх вышеописанных вариантов правил.

4. «Пентамино без касаний». Расставьте в сетке цифры от 1 до 5 так, чтобы в каждой выделенной области из пяти клеток (пентамино) все цифры были различными. При этом одинаковые цифры (стоящие в разных пентамино) не могут касаться друг друга даже углом.

Рис. 2.3

Фигуры животных

Из деталей пентамино можно выкладывать не только геометрические фигуры, но и изображения животных, людей или предметов. В результате получится силуэт - схематичный, но понятный по основным характерным признакам предмета, пропорциональному соотношению частей, по форме.

Рис. 2.3

РАЗДЕЛ 3

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «СОЗДАНИЕ НОВЫХ ФИГУР «ПЕНТАМИНО»

1. Новые фигуры «Пентамино».

Багира

Мурзик

Симонна

Фунтик

Маркиза

Басик

Рис. 3.1.

3.2. Практические занятия по логической игре «Пентамино»

Универсального метода решения задач на пентамино не существует. Ученикам, которые берутся за их решение, не понадобится знание основ планиметрии, они могут в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению.

После создания собственных заданий «Пентамино» мною были проведены 4 практических занятия с учащимися 5-6 классов. Занятия длились по 45 минут. При проведении занятий ребятам было предложено разделиться на группы. Занятия проведены по следующему плану:

1. История создания игры «Пентамино».

2. Изучение наименований элементов.

3. Графическое задание (наиболее продуктивным способом фигурами петамино разбить прямоугольник 3*5).

4. Составить по образцам предметные силуэты «Петамино».

5. Складывать прямоугольники «Пентамино» по образцу (6*10).

6. Составить свой пентопазл.

7. Проведение занятий по набору «Пентамино без касаний» (для более подготовленных детей).

На основе этих умений ребята должны создать индивидуальный или групповой образовательный продукт в виде иллюстрированного «пентопазла». Задачи для учащихся усложняются при переходе от занятия к занятию. Занятие рекомендовано начинать с подготовки фигур Пентамино, так как в ходе конструирования элементов участники занятий разучивают названия и составляют сначала простые фигуры, потом более сложные. Многим участникам задания показались трудными. Часть детей испытывали небольшие затруднения, но их заинтересовала головоломка, им захотелось узнать больше о пентамино и попробовать решить другие задания. В ходе проведения занятий, обучающиеся отрабатывают навыки в геометрическом конструировании на плоскости, учатся создавать своими руками фигуры пентамино (простые объекты), а с их помощью более сложные геометрические фигуры (сложные объекты).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Самая распространённая задача в игре «Пентамино» - сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Увлекающиеся последователи игры «Пентамино» усложняли, распространяли сферу ее применения в более сложных ее вариациях. Так Дьюдени придумал похожую на «Пентамино» игру, которая ведётся на шахматной доске. Освоила игру «Пентамино без касаний».

Пентамино» - одна из самых популярных мировых головоломок. Игра на все времена - от пяти до ста пяти лет, поэтому стоит обязательно пополнить этой головоломкой свою игротеку

Теперь ребята знают, кто придумал игру «Пентамино», почему она полезна, какие ещё есть похожие на «Пентамино» интересные игры, попытаются собрать фигуры из набора пентамино.

Работа над данным проектом была для меня полезна, так как во время написания проекта я расширили свой кругозор. При создании собственных заданий я училась творчески мыслить, находить новые решения, фантазировать. Во время проведение занятий я училась организовывать работу в группе и помогала детям найти правильное решение, а созданные задания пентамино позволят интересно провести досуг любителям головоломок

В результате я реализовала все поставленные задачи и достигла цели исследовательской работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гардиер М. Математические досуги. - М.: Мир, 2000.

2. Гарднер М. Математические новеллы. - Пер. с англ. Ю. А. Данилова. - М.: Мир, 1974. - 456 с., илл. - Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. - с. 81-95.

3. Заславский А. Паркеты и разрезание //Квант, 1999,№ 2, с.32-33.

4. Кольцова М.М., Рузина М.С. Пальчиковый игротренинг. - СПб.:ИД «МиМ», 1998

5. Клумова И. Н. Игра «Жизнь» // Квант. - 1974. - № 9. - С. 26-30.

6. Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание. - М.: Мир, 1997.

7. Мациевский С. В. Математическая культура. Игры: Учебное пособие.- Калининград: Изд-во КГУ, 2003.- 120 с., ил.

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ

1. chitariki.ru

2. igrudom.ru

3. printplay.ru

4. puzzles.h1.ru

5. razvitierebenka.com

6. wikipedia.org</</u>