Урок по геометрии на тему 'Пирамиды. Правильные пирамиды' (11 класс)

Урок геометрии в 11 классе.

«Знания не могут заменить ум»

Пифагор

Тема:

Пирамиды. Правильные пирамиды.

Цель:

формирование умений находить неизвестные элементы и площади поверхностей пирамиды, развивать пространственное воображение, эвристическое мышление, внимание, память; воспитывать у учащихся математическую культуру.

Оборудование:

модели пирамид, таблицы, мультимедийная доска.

Тип:

адаптивно-преобразующий

Ход урока

1. Организационный момент. Сообщение темы, цели урока.

Пирамиды издавна считались одним из чудес света. Еще в древности их считали каменной математической загадкой. Четыре ее грани ориентированы на четыре стороны света, а высота составляет одну миллиардную часть расстояния от Земли до Солнца.

У арабов есть поговорка: «Все боится времени, а время боится пирамид». Мы же изучаем пирамиды не как прекрасные творения человеческого разума и умелых рук, а с точки зрения математики. Мы должны научиться находить неизвестные элементы и площади поверхностей пирамид.

2. Проверка домашнего задания (решения на доске).

№61.

По стороне основания a и высоте h найдите полную поверхность правильной пирамиды

1) треугольной; 2) четырехугольной.

Решение

1)

2)

№64.

В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76 м², полная поверхность 18 м². Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Решение

S_бок=14,76

S_полн=18

Ответ: a=1,8 м; h=4 м.

№66.

Найдите двухгранные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна Q, а боковая поверхность S.

Решение

Основание пирамиды является проекцией боковой поверхности.

, т.к. в правильной пирамиде боковые грани образуют с плоскостью основания равные двухгранные углы (φ).

3. Актуализация опорных знаний.

Дайте определение пирамиды (изображение пирамиды в движении на экране).

Какие бывают пирамиды?

Дайте определение правильной пирамиды, перечислите ее компоненты.

Выполнение упражнений.

№1 Вопросы задает учитель (Приложение):

1. Сколько граней имеет n-угольная пирамида?

(n+1)

2. Сколько ребер имеет n-угольная пирамида?

(2n, n=3,4,… ; 2n>5)

3. Боковые ребра пирамиды равны. В какую точку проецируется ее вершина?

(в центр описанной около основания окружности)

4. Может ли вершина пирамиды проецироваться в точку вне основания?

(может)

5. Может ли вершина пирамиды проецироваться в точку вне основания, если боковые ребра равны?

(может)

6. Боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию. В какую точку основания проецируется ее вершина?

(в центр вписанной в основание окружности)

7. Могут ли боковые ребра пирамиды быть равными, если в ее основании лежит:

а) прямоугольник;

(да)

б) ромб (отличный от квадрата);

(нет)

в) трапеция.

(да, если трапеция равнобокая)

8. Сколько боковых граней, перпендикулярных плоскости основания может иметь пирамида?

(не более двух)

Выбрать правильные утверждения

(работа в парах)

а) существует пирамида, которая имеет 125 ребер;

(нет)

б) существует пирамида, которая имеет 125 граней;

(да)

в) если в пирамиде боковые ребра образуют с высотой равные углы, то ее вершина проецируется в центр окружности, вписанной в основание;

(нет)

г) если высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны, то основание высоты пирамиды - центр окружности, вписанной в основание;

(да)

д) если боковые ребра пирамиды равны и в основании лежит тупоугольный треугольник, то основание высоты лежит вне основания;

(да)

е) если боковые ребра пирамиды равны и в основании лежит прямоугольный треугольник, то основание высоты пирамиды лежит внутри основания;

(нет)

ж) пирамида может иметь две боковые грани, которые перпендикулярны основанию;

(да)

з) пирамида может иметь три боковые грани, которые перпендикулярны основанию;

(нет)

и) если одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна основанию, то высота пирамиды совпадает с высотой одной грани;

(да)

к) пирамида может иметь два боковых ребра, перпендикулярных основанию.

(нет)

Ключи да: б, г, д, ж, и;

нет: а, в, е, з, к.

4. Закрепление и осознание знаний учащихся.

Решение задач.

1. Рассмотрим следующие вопросы:

Сколько плоских углов может иметь пирамида?

(n углов в основании и 3n на боковой поверхности;

n+3n=4n)

Существует ли пирамида, которая имеет 18 плоских углов?

(нет, 18 не кратно 4)

2. Чему равна сумма плоских углов n-угольной пирамиды?

180ºn на боковой поверхности

180º(n-2) в основании

180º(n-2)+180ºn=180(n-2+n)=180(2n-2)=360º(n-1)

3. Каждое ребро тетраэдра равно a. Найдите площадь его поверхности. (Правильный тетраэдр)

Решение

4. В четырехугольной пирамиде каждое ребро равно a. Найдите площадь ее поверхности.

Решение

5. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6, 8, 10. Каждое боковое ребро равно 13.

а) Найти высоту пирамиды.

б) Доказать, что одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания.

в) Найти площадь полной поверхности пирамиды.

4. Домашнее задание

Повторить п. 47,48, 50; контрольные вопросы № 28, 29;

Решить задачи № 48, 49 (с. 85), 64* (с. 87).

5. Подведение итога урока.

Приложение

№1 Вопросы

1. Сколько граней имеет n-угольная пирамида?

2. Сколько ребер имеет n-угольная пирамида?

3. Боковые ребра пирамиды равны. В какую точку проецируется ее вершина?

4. Может ли вершина пирамиды проецироваться в точку вне основания?

5. Может ли вершина пирамиды проецироваться в точку вне основания, если боковые ребра равны?

6. Боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию. В какую точку основания проецируется ее вершина?

7. Могут ли боковые ребра пирамиды быть равными, если в ее основании лежит

а) прямоугольник;

б) ромб (отличный от квадрата);

в) трапеция?

8) Сколько боковых граней, перпендикулярных плоскости основания, может иметь пирамида?