Урок Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ города Москвы

«Политехнический техникум № 47 имени В.Г.Федорова»

Урок

по дисциплине Математика

«Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным»

Преподаватель

Протасевич Ольга Николаевна

ПРОФЕССИЯ: Наладчик аппаратного и программного обеспечения

ДИСЦИПЛИНА: Математика

КУРС: 1

СЕМЕСТР: 2

ГРУППА:

Тема урока:

«Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным».

Тип урока: комбинированный урок

Форма урока: коллективное обучение по методике В.К. Дьяченко

(обучение в системах малых групп)

Цели урока:

Образовательная - рассмотреть общие подходы, обобщить сведения о видах и методах решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным; формировать умения и навыки применения знаний при решении базовых уравнений и применению полученных знаний в профессиональной деятельности.

Развивающая - содействовать развитию логического мышления у обучающихся, развивать умения анализировать, рассуждать, сравнивать, делать выводы, осмысливать материал;

Воспитательная - воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения, побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, формирование навыков работы в трудовом и учебном коллективе.

Задача урока:

Познакомить обучаемых с основными видами и методами решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Обеспечение (ресурсы):

Аппаратное обеспечение: компьютер, мультимедийный проектор.

Программное обеспечение: Microsoft Excel.

Основные понятия:

Квадратное уравнение; простейшие тригонометрические уравнения; обратные тригонометрические функции; тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Литература:

Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего профессионального образования.- М.; «Академия», 2010. - 256 с.

Дьяченко В. К. Новая дидактика.</ - М.; «Народное образование», 2001 . - 496 с.

Методическая литература:

Башмаков М.И. Математика: книга для преподавателей. Методическое пособие.- М.; «Академия», 2013 г.- 224 с.

Электронные ресурсы:

Материалы сайта общественно-педагогического движения по созданию коллективного способа обучения: www.kco-kras.ru.

Этапы урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация опорных знаний.

4. Изучение нового материала.

5. Закрепление и систематизация полученных знаний.

6. Рефлексия. Подведение итогов. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Преподаватель ставит перед обучаемыми цели урока:

1) Познакомить с основными видами тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным;

2) Познакомить с типовыми методами решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

3) Научить применять полученные знания и умения для решения стандартных уравнений;

4) Научить работать с информацией, представленной в различных формах, осуществлять взаимный контроль и самоконтроль, применять полученные знания в профессиональной деятельности.

II. Проверка домашнего задания.

Преподаватель включает презентацию «Домашнее задание», по которой обучаемые самостоятельно выполняют проверку домашнего задания, при необходимости вносят поправки и исправления в работу.

По просьбе обучаемых преподаватель комментирует решения уравнений, вызвавшие затруднения, после чего объявляет фамилии обучаемых, кто по окончании урока сдает на проверку тетради.

№ 1

Ответ:

№ 2

Ответ:

№ 3

Ответ:

№ 4

т.к. то уравнение корней не имеет

Ответ: корней нет

№ 5

Ответ:

№ 6

Ответ:

III. Актуализация опорных знаний.

Преподаватель формирует учебные группы/пары и предлагает на выданных бланках установить соответствие между уравнениями и ответами: «Перед вами слайд с учебным заданием. Установите соответствие между уравнениями (левая часть таблицы) и ответами (правая часть таблицы). Запишите номера верных пар высказываний в тетрадь».

Указанные задания дублируются на включённой презентации.

Установите соответствие

п/п

Уравнение

№

п/п

Ответ

,

Корней нет

По окончании работы преподаватель фронтально опрашивает представителей групп, после чего включает страницу презентации с правильными решениями.

Правильные ответы

п/п

Уравнение

№

п/п

Ответ

,

3.

8.

7.

Корней нет

1.

4.

7.

Корней нет

2.

5.

11.

13.

9.

10.

12.

IV. Изучение нового материала.

Преподаватель включает презентацию нового материала «Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Типы уравнений и методы их решений».

Предлагает обучаемым записывать необходимые тезисы и начинает комментировать каждый слайд, после чего включает презентацию.

Введем понятие: «Тригонометрические уравнения, которые при помощи преобразования и замены переменной приводятся к квадратным называются тригонометрическими уравнениями, сводящимися к квадратным».

Общий вид квадратного уравнения:

1 тип тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным - уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций.

Преподаватель поясняет способы решения.

1. Непосредственная подстановка

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

корней нет

Ответ:

Аналогичное решение имеют уравнения вида

Замена

Замена

2.Уравнения, требующие преобразования по формуле тригонометрической единицы

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Корней нет

Ответ:

Аналогичное решение имеют уравнения вида:

заменим , используя формулу тригонометрической единицы

.

Получим уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию :

Замена

3.Уравнения, требующие преобразования по формуле связи tgx и сtgx

Применяем формулу:

Умножим уравнение на

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

2 тип тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным - однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

Разделим уравнение на

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

Преподаватель предлагает обобщить представленный материал и задает вопросы: «На сколько типов делятся тригонометрические уравнения, сводящихся к квадратным? Их название? Назовите способы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным».

Преподаватель направляет действия обучаемых при составлении алгоритма решения уравнений данного типа.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, делятся на два основных типа:

1 тип - уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций:

- непосредственная подстановка - замена или ;

- уравнения, требующие преобразования по формуле тригонометрической единицы ;

- уравнения, требующие преобразования по формуле связи tgx и сtgx:

2 тип - однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и ту же степень: разделим уравнение на ,затем замена .

Преподаватель составляет откорректированный Алгоритм решения:

1. Определите тип уравнения. При необходимости преобразуйте уравнение так, что бы в нём присутствовала только одна тригонометрическая функция. Для этого выбери нужную формулу: или или раздели на

2. Вводится замена (например, sinx = t, cosx=t, tgx=t).

3. Решите квадратное уравнение.

4. Производится обратная замена, и решается простейшее тригонометрическое уравнение.

5. Запиши ответ.

Для закрепления полученных знаний преподаватель предлагает установить соответствие между уравнениями и возможными способами их решений: «Перед вами слайд с учебным заданием.

1. Проведите классификацию уравнений по методам решения согласно приведенной ниже таблице

(распечатанные варианты таблицы находятся у вас на столах).

2. Поставьте в соответствующей графе номер метода решения.

Заполните таблицу».

Работа выполняется в парах.

п/п

Уравнение

№

метода

Методы:

1) Введите новую переменную .

2) Введите новую переменную

3) Введите новую переменную .

4) Преобразуйте уравнение, применив формулу , введите новую переменную .

5) Преобразуйте уравнение, применив формулу , введите новую переменную .

6) Разделите каждый член уравнения на , введите новую переменную .

7) Преобразуйте уравнение применив формулу , умножьте члены уравнения на , введите новую переменную .

Проверка задания осуществляется в форме фронтальной беседы.

Преподаватель: «Перед вами слайд с правильными ответами к учебному заданию. Выполните проверку, сверяясь с правильными ответами к учебному заданию. Выполните работу над ошибками в тетради».

Бланки с заданиями собираются в конце урока.

п/п

Уравнение

№

метода

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI. Закрепление и систематизация полученных знаний.

Преподаватель предлагает обучаемым продолжить работу в группах.

Преподаватель: «Решите уравнения. Выполните проверку результата в редакторе Microsoft Excel. По окончании решения представитель группы выходит к учебной доске и представляет решение уравнения, выполненное группой». Преподаватель проверяет решение, оценивает работу группы и при необходимости указывает на ошибки».

Преподаватель:

1) Обсудите способы решения в группе.

2) Запишите решение и полученный ответ в тетрадь.

3) Выполнить проверку результата в редакторе Microsoft Excel.

4) Сообщите о готовности преподавателю.

5) Объясните свое решение, записав его на доске, членам других групп.

6) Вдумчиво выслушайте выступления товарищей, при необходимости задавайте вопросы.

Учебным группам, выполнившим задания в полном объеме, предлагается выполнить задание других групп. Состав успешных групп поощряется повышением итогового балла на одну единицу.

Первая группа:

Применяем формулу:

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Корней нет

т.к.

Ответ:

Вторая группа:

Применяем формулу:

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ: ;

Третья группа:

Применяем формулу :

Умножим уравнение на

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

Четвертая группа:

Разделим уравнение на

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

Пятая группа:

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:; .

VII. Рефлексия. Подведение итогов. Домашнее задание.

Преподаватель: Подведем итоги вашей работы, соотнося результаты вашей деятельности с поставленной целью.

Повторим понятия:

• «Тригонометрические уравнения, которые при помощи преобразования и замены переменной приводятся к квадратным называются тригонометрическими уравнениями, сводящимися к квадратным».

• 1 тип - уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций:

- непосредственная подстановка - замена или ;

- уравнения, требующие преобразования по формуле тригонометрической единицы ;

- уравнения, требующие преобразования по формуле связи tgx и сtgx:

• 2 тип - однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и туже степень: разделим уравнение на ,затем замена .

• Алгоритм решения:

1. Определите тип уравнения. При необходимости преобразуйте уравнение так, что бы в нём присутствовала только одна тригонометрическая функция.

Для этого выбери нужную формулу:

или или раздели на

2. Вводится замена (например, sinx = t, cosx=t, tgx=t).

3. Решите квадратное уравнение.

4. Производится обратная замена, и решается простейшее тригонометрическое уравнение.

5. Запиши ответ.

Преподаватель проводит оценивание работы обучаемых, учебных групп и объявляет оценки.

Преподаватель: «Запишите домашнее задание: Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего проф. образования.- М.; «Академия», 2010. Стр. 114-115. В номере 10 решить уравнения № 4,5,7,9. стр. 118. Выполните проверку результата в редакторе Microsoft Excel».

Москва

2016