Урок математики Решение задач с помощью уравнений

Урок алгебры в 7 классе

Тема: Решение задач с помощью линейных уравнений

Тип урока: экскурс в историю математики

Цели:

Образовательные:

• обобщить знания учащихся о линейных уравнениях;

• Закрепить умения и навыки учащихся решать линейные уравнения и задачи с помощью уравнений;

• дополнить теоретический материал учебника обзором исторического развития учения об уравнениях.

Развивающие:

• развивать навыки устной и письменной речи, вычислительные навыки учащихся;

• развивать у учащихся аккуратность оформления записей, интерес и любовь к предмету, память и мыслительные операции (анализ, синтез, обобщение, конкретизация и др.);

• формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, задавать вопросы.

Воспитательные:

• расширить кругозор учащихся, повысить их общую культуру;

• воспитывать познавательную активность учащихся;

• прививать интерес к изучению математики.

ХОД УРОКА

Решение задач - практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно только подражая образцам и постоянно практикуясь. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

(Д. Пойа)

I.Вступительное слово учителя

Эти слова будут эпиграфом к нашему уроку.

Алгебра, как наука, возникла из решения практических задач с помощью уравнений. Учение об уравнениях является поныне главным содержанием школьного курса алгебры. Алгебра на протяжении многих столетий развивалась как наука об уравнениях. Сегодня мы с вами совершим экскурс в область истории математики, узнаем: кто же придумал первое уравнение; какие задачи решали с помощью уравнений в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии, Древней Греции; сами решим несколько старинных задач, применяя свои знания об уравнениях и алгоритм решения задач с помощью уравнений.

II.Актуализация опорных знаний

Отправляться на экскурсию в далекое прошлое с багажом надежных знаний теории.

Фронтальная работа с классом (используются сигнальные карточки).

1.Что называется уравнением?

2.Что называется корнем уравнения?

3.Что значит - «решить уравнение»?

4.Какие свойства уравнений вы знаете?

III.Экскурс в историю. Сообщение учеников

1 ученик. Первобытная мама сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать поровну каждому из 4-х детей. Она должна была решить уравнение:

4х=12

х=12:4

х=3

Она решила его без букв, цифр, знаков. Но все-таки решила! Значит, ответить на вопрос кто и когда решил первое уравнение - невозможно.

2 ученик. Уже около 4000 лет вавилоняне и египтяне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнения I и II степени умели решать в древности китайские и индийские ученые. Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности. Так в папирусе Ахмеса содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ «хау» или «аха». Оно означает «количество» и «куча».

Учитель. А теперь решим несколько задач.

Задача 1.Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найди количество. Решение:

х +х=15;

х=12

Ответ:12.

Задача 2. «Число и его половина составляет 9». Найди число.

РЕШЕНИЕ:

х+х=9;

1,5х=9;

х=6

Ответ: 6

3 ученик. В «геометрической алгебре» древних греков решение уравнений сводилось к построению отрезков, представляющих положительные корни уравнений. Зачатки новой, арифметической алгебры встречаются лишь у Диофанта. Этот александрийский ученый стал обозначать первую степень неизвестного буквой греческого алфавита сигма, придумал знаки вычитания и равенства: «исос» - равный.

Самое характерное у Диофанта - решение так называемых неопределенных уравнений. Об этом можно прочесть в книге «За страницами учебника алгебры».

Жил Диофант в III в н.э., остальные факты его биографии исчерпываются таким стихотворением - задачей, по преданию выгравированным на его надгробии:

Путник! Здесь прах погребен Диофанта.

И числа поведать могут, о чудо,

Сколь долог был век его жизни.

Часть шестую его представляло прекрасное детство.

Двенадцатая часть протекло еще жизни -

Покрылся пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провел Диофант.

Прошло пятилетье; он был осчастливлен

Рожденьем прекрасного первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни

Прекрасной и светлой дал на Земле

По сравнению с отцом.

И в печали глубокой старец

Земного удела конец воспринял,

Скажи сколько лет жизни достигнув,

Смерть воспринял Диофант?

РЕШЕНИЕ:

+ + + 5 + + 4 = х

х ( + + + ) + 9 = х, НОК (6,12, 7, 2)=84

х - х = 9, х = 9, х = 84.

Ответ: Диофант прожил 84 года.

4 ученик. В истории арифметики и алгебры большое значение имеют труды Мухаммеда ал - Хорезми. Написанный им в начале IX века алгебраический тракт «Китаб ал-джабр вал-мукабала» является первым в мире самостоятельным сочинением по алгебре. Для ал-Хорезми алгебра - это искусство решения уравнений, необходимое людям, как писал он «в случаях наследования, наследственных пошлин, раздела имущества, торговли и во всех деловых взаимоотношениях или же в случае измерения земель, проведения каналов, геометрических вычислений и других предметов различного рода…».

Уравнения ал-Хорезми решает с помощью двух приемов:

а) ал-джабр («восстановление») - т.е. перенесения слагаемых из одной части в другую;

б)вал-мукабала («противоставление») - отбрасывания из обеих частей уравнения одинаковых членов, т.е. приведение подобных слагаемых.

НАПРИМЕР: пусть имеется уравнение: 7х-11=3х-3

Прием «ал-джабр» дает: 7х+3=3х+11

Минусов больше нет! Числа восстановились!

Применяя «ал-мукабала», вычитаем 3х и 3 из обеих частей уравнения, после чего получаем: 4х=8.

5 ученик. Но в этом трактате нет двух очень важных для решения уравнений вещей: 1)аль-Хорезми не использовал отрицательных чисел; 2)он совсем не использовал никаких букв и символов, кроме обозначения цифрами чисел. Алгебра совсем без букв, все на словах, все в уме. Такая алгебра - ее позднее назвали «риторической» (от греч. «риторио» - произношу речь) - требовала большого мастерства и была очень трудной. Совсем трудно стало тогда, когда люди научились решать уравнения не только I степени и не только с одним неизвестным.

6 ученик. В развитии алгебры как науки и как учебного предмета большую роль сыграла книга гениального английского физика и математика Исаака Ньютона «Всеобщая арифметика» (1707 г.). Эта книга является продолжением и завершением трудов Виета, Декарта и других ученых в деле перехода от риторической алгебры к символической, современной алгебре. В своей книге Ньютон называет буквы, знаки действий, алгебраические выражения и уравнения языком алгебры. Чтобы решить задачу, пишет Ньютон, нужно лишь «перевести ее с обыкновенного языка на язык символических выражений», язык алгебры.

IV.Самостоятельная работа: решение исторических задач.

1)Задача из «Арифметики» Диофанта: если прибавить к 20 и отнять от 100 одно и то же число, то полученная сумма будет в 4 раза больше полученной разности. Найти неизвестное число.

РЕШЕНИЕ:

20 + х = 4 (100 - х)

20 + х = 400 - 4 х

5х = 400 - 20

5х = 380

х = 76.

Ответ: число 76.

2)Задача из «Бахшайской рукописи» (VI - VIII вв.)- на березовой коре. Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий - втрое больше второго, четвертый - вчетверо большего третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?

РЕШЕНИЕ:

х + 2х + 6х + 24х =132

33х = 132

х = 132 : 33

х =4

Ответ: первый дал 4.

3)Задача иранского ученого XVI в. Беха эддина: Раздели 10 на 2 части, разность которых 5.

РЕШЕНИЕ:

х + (х+ 5) =10

2х = 5

х = 5 : 2

х = 2,5

х + 5 = 7,5

V.Итог урока: проверить задачи, оценить.

- Что нового узнали на уроке?

- Как появились уравнения?

- Какие ученые-математики внесли вклад в развитие учения об уравнениях?

- Как раньше записывали и решали уравнения?

Заключительное слово учителя: для решения уравнений нужно уметь производить действия над одночленами и многочленами, алгебраическими дробями: уметь раскладывать на множители, раскрывать скобки, приводить дроби к общему знаменателю. Т.о., учение об уравнениях невозможно без учения о законах действий. Нельзя ограничиваться только целыми положительными числами, нужны все рациональные отрицательные и положительные числа. Практика решения уравнений и потребность сохранения указанного алгоритма породила необходимость расширения понятия числа.

Решение уравнений II степени требует введения новых чисел. Об этом будет идти речь в старших классах.

VI.Домашнее задание

Найти и решить старинные задачи (1-2) способом составления уравнений.

Варианты задач

1.Древнекитайская задача. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнай число фазанов и кроликов.

2.Старинная индийская задача. Из букета цветков лотоса принесли в жертву: Шиве - третью часть, Вишну - пятую часть, Солнце - шестую. Одну четверть получил Бхавани, а остальные шесть лотосов отдали уважаемому учителю. Сколько было цветов в букете?

3.Старинная греческая задача. На вопрос, сколько учеников обучается в школе, Пифагор ответил: «Половина учеников изучает математику, четверть всех учеников - музыку, седьмая часть молчит и, кроме того, есть еще 3 женщины». Сколько учеников было у Пифагора?

4. Старинная китайская задача. Несколько человек вместе покупают барана. Если каждый внесет по 5 монет, то не хватит до стоимости барана 45. Если каждый внесет по 7 монет, то не хватит 3. Сколько стоит баран?