Задачи для повторения по теме Параллельность в пространстве

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия №2 г. Владивостока»

Практикум по теме «Параллельность в пространстве»

Повторение теоретического материала

1. Верно ли, что две параллельные прямые лежат в одной плоскости?

2. Может ли прямая, параллельная плоскости, пересекать какую-либо прямую этой плоскости?

3. Определите взаимное расположение прямой а и плоскости α, если:

a || b и прямая b пересекает плоскость α.

4. Дана плоскость β и прямые а, b, с. Известно, что одна из данных прямых параллельна плоскости β. Назовите эту прямую, если:

а || с, прямые b и с пересекаются, а прямая с лежит в плоскости β.

5. Может ли прямая в пространстве пересекать одну из двух параллельных прямых, но не пересекать другую?

6. Определите взаимное расположение прямой а и плоскости α, если в плоскости α не существует прямой, пересекающей а.

7. Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, параллельны?

8. Могут ли прямые AB и CD быть параллельными, если прямые AD и BC пересекаются?

Решение задач

1. В плоскости двух параллельных прямые a и b дана точка O не принадлежащая этим прямым. Через неё проведена прямая с. Найдите взаимное расположение прямой с относительно прямых a и b.

2. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках С, D, N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если АС=13 м, BD=7 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость α.

3. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость β в точках С, D, N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если АС=3 м, BD=17 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость β.

4. Через точки С, D и середину N отрезка CD проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А, В, M соответственно. Найдите длину отрезка MN, если АС=12 м, BD=8 м, причем отрезок CD не пересекает плоскость α.

5. Через точки Р, К и середину М отрезка РК проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость β в точках С, D, N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если РС=9 м, КD=11 м, причем отрезок РК не пересекает плоскость β.

</<br>

6. Точка Р не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD и BC. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков PB и PC, параллельна средней линии трапеции.

7. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне CD параллелограмма.

8. Точка К не лежит в плоскости треугольника ABC. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков КА и КВ, параллельна одной из средних линий треугольника АВС.

9. Точка Н не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков НА и НС, параллельна прямой, проходящей через середины сторон АВ и ВС параллелограмма.

10. Даны две пересекающиеся прямые. Докажите, что все прямые, пересекающие эти прямые и не проходящие через точку их пересечения, лежат в одной плоскости.

11. Найдите наибольшее число плоскостей, которые можно провести через различные тройки из четырёх точек.

Практикум по теме «Параллельность в пространстве»

Решение задач

1. В плоскости двух параллельных прямые a и b дана точка O не принадлежащая этим прямым. Через неё проведена прямая с. Найдите взаимное расположение прямой с относительно прямых a и b.

2. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках С, D, N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если АС=13 м, BD=7 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость α.

3. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость β в точках С, D, N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если АС=3 м, BD=17 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость β.

4. Через точки С, D и середину N отрезка CD проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А, В, M соответственно. Найдите длину отрезка MN, если АС=12 м, BD=8 м, причем отрезок CD не пересекает плоскость α.

5. Через точки Р, К и середину М отрезка РК проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость β в точках С, D, N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если РС=9 м, КD=11 м, причем отрезок РК не пересекает плоскость β.

6. Сторона КМ треугольника KLM параллельна плоскости . Точки G и H принадлежат соответственно его сторонам KL LM KLM четырёхугольника ВСEF не совпадает с плоскостью .По какой прямой пересекаются плоскости: а) АВСD и ВСEF; б) CEF и AEF?

7. Точка Р не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD и BC. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков PB и PC, параллельна средней линии трапеции.

8. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне CD параллелограмма.

9. Точка К не лежит в плоскости треугольника ABC. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков КА и КВ, параллельна одной из средних линий треугольника АВС.

10. Точка Н не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков НА и НС, параллельна прямой, проходящей через середины сторон АВ и ВС параллелограмма.

11. Даны две пересекающиеся прямые. Докажите, что все прямые, пересекающие эти прямые и не проходящие через точку их пересечения, лежат в одной плоскости.

12. Найдите наибольшее число плоскостей, которые можно провести через различные тройки из четырёх точек.