Практическая работа Вычислеие обратных матриц второго и третьего порядков

Практическая работа

Тема: Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

1. Цель: закрепить навыки вычисления обратных матриц второго и третьего порядка

2. Теоретическая часть:

О Минором M_ij элемента a_ij определителя D=, где i и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, минор M₁₂ , соответствующий элементу a₁₂ определителя D = получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т.е. M₁₂ =

О Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя D называется минор M_ij этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j

Т.о. A_ij = (-1)^i+j ∙ M_ij

Пример. Найти алгебраические дополнения элементов a₁₃, a₂₁, a₃₁ определителя D =

Решение

A₁₃ = (-1)¹⁺³∙M₁₃ = = 4

A₂₁ = (-1)²⁺¹∙M₂₁ = (-1) ∙ = -(2∙5-2∙3) = -4

A₃₁ = (-1)³⁺¹ ∙ M₃₁ = = -6

О Квадратная матрица A называется вырожденной, если е определитель равен 0 и невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

О Если A - квадратная матрица, то обратной по отношению к A называется матрица, которая будучи умноженной на A (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.

A^-1 - обратная матрица

A^-1∙A=A∙A^-1=E

При условии D=≠0 обратная матрица находится по формуле

A^-1 =

Вычисление обратных матриц второго и третьего порядка

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

1. Находят определитель матрицы A.

2. Находят алгебраические дополнения всех элементов a_ij матрицы A и записывают новую матрицу.

3. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонируют матрицу)

4. Умножают полученную матрицу на

Пример. Найти матрицу, обратную матрице A =

Решение:

1. Найдем определитель матрицы A:

D = = 1∙(-1) 7+2∙2∙3+0∙0∙3-3∙(-1)∙3-0∙2∙1-0∙2∙7 = -7+12+9 =14

Поскольку D≠0, то матрица A невырожденная и, значит, можно найти обратную матрицу.

2. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А

А₁₁ = (-1)¹⁺¹ = -7 А₁₂ = (-1)¹⁺² = 6

А₁₃ = (-1)¹⁺³ = 3

А₂₁ = (-1)²⁺¹ = -14 А₂₂ = (-1)²⁺² = -2

А₂₃ = 6

А₃₁ = 7 А₃₂ = -2 А₃₃ = -1

Запишем обратную матрицу

3. Транспонируем матрицу:

4. Умножим полученную матрицу на =

A^-1 = =

Проверим полученный ответ

А∙A^-1 = = = Е

3. Задание.

Вариант 1 Вариант 2

1. Вычислить определители четвертого порядка

2. Найти матрицы, обратные данным:

A =

A =

3. A =

A =

4. Содержание отчета:

Отчет должен содержать

-решение данных задач.