Панорамное занятие спецкурса по математике «Дифференциальное и интегральное исчисление» (в 11 классе)

Панорамное занятие спецкурса по математике

«Дифференциальное и интегральное исчисление» в 11 классе

Учитель: Чернова Г.А., учитель математики школы-гимназии №17 г.Актобе

Тема: Повторение «Предел функции на бесконечности и предел функции в точке»

Цель:

Образовательная: повторение и закрепить теорию пределов и ее применение.

Познавательная: научиться считывать пределы, составлять уравнения асимптот.

Воспитательная: воспитывать у учащихся на уроке аккуратность, самостоятельность,

умение логически мыслить.

Ход урока:

Один из важнейших разделов математики- «Предел и непрерывность». Предел функции на бесконечности обозначается . Число называется пределом функции при , если , где - функция бесконечно малая при .

Свойства пределов при :

1. Функция не может иметь двух различных пределов при .

2. Пусть и . Предел суммы функций и при равен сумме пределов

3. Предел произведения функций и при равен произведению их пределов

4. Если , то предел частного функций и равен частному их пределов

5. Предел бесконечно малой при равен 0, предел бесконечно большой при равен .

1. Если функция является частным двух многочленов одинаковой степени, то ее предел при равен частному коэффициентов при старших степенях .

2. Если степени числителя меньше степени знаменателя, то предел функции при равен 0.

3. Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел функции при равен .

Например:

Вычислить , если а) ; б) ;

в) .

Определение. Число называют пределом функции при , если эта функция является суммой числа и функции - бесконечно малой при , т.е. . Пишут .

Чтобы вычислить предел функции в точке, нужно вычислить значение функции в этой точке .

Если числитель и знаменатель- многочлены, то предел считается так: . Исключением является случай, когда при подстановке знаменатель обращается в нуль, в этом случае функцию надо упростить.

.

Замечательные пределы:

1) ; 2) .

Применяется теория пределов для составления уравнения асимптот, в определении производной, в выводе формулы площади криволинейной трапеции. Асимптота- это прямая, к которой стремится график функции, но с ней не сливается.

А) Уравнение горизонтальной асимптоты: ; .

Б) Уравнение вертикальной асимптоты: ; .

В) - уравнение наклонной асимптоты. ; .

Примеры:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Найти асимптоты графика функции .

1. точек разрыва нет нет вертикальных асимптот.

2. - горизонтальных нет.

3. Найдем наклонную асимптоту .

.

Итак, мы повторили тему «Теория пределов» и применение. Теория пределов помогает нам более полно исследовать функцию и построить ее график, вычислять производные некоторых функций.