Уравнения касательной и нормали

Т е м а: Понятия касательной и нормали.

Уравнения касательной и нормали.

Цели:

Предметные: познакомить студентов с понятиями: касательная и нормаль к кривой; закрепить данные понятия при решении задач на составление уравнений касательной и нормали; выяснить, каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали.

Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию невраждебным для оппонентов образом; уметь слушать и слышать друг друга.

Познавательные: устанавливать причинно-следственные связи; выражать смысл ситуации различными средствами (рисунки, символы, схемы, знаки).

Регулятивные: принимать познавательную цель, сохранять ее при выполнении учебных действий, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи.

Личностные: формирование познавательного интереса к изучению нового, мотивации к самостоятельной и коллективной исследовательской деятельности.

Ход урока:

1. Актуализация опорных знаний студентов:

( Введение понятий касательной и нормали к кривой)

Мы знаем аналитический и физический смысл производной: ( ответы студентов:

аналитический смысл - это , физический - это скорость процесса, заданного функцией).

Выясним геометрический смысл производной.

Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.

Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. ( ответы студентов: касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку).

Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы оси имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось является касательной к параболе, а ось - нет. Дадим общее определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть - некоторые точки произвольной кривой - секущая кривой. При приближении точки по кривой секущая будет поворачиваться вокруг точки

Определение. Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по кривой называется касательной к кривой в точке

Определение. Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Если - касательная к кривой в точке ,

то перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке

1. Объяснение нового материала:

(Выясним, в чем заключается геометрический смысл производной , каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали).

Пусть кривая является графиком функции . Точки

лежат на графике функции. Прямая - касательная к кривой .

0

- угол наклона касательной

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

(3)

Проблемные вопросы: посмотрите на уравнения касательной и нормали, в чем их различие и сходство?

Чему равно произведение ? Почему так происходит?

(Студенты должны дать следующие ответы на вопросы: -1, так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны)

2. Закрепление теоретического материала на практике:

(Решение задач в аудитории)

П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках .

Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной .

Найдём производную функции: .

1. Найдём значение производной в точке

. Следовательно, .

2. Найдём значение производной в точке

. Следовательно, .

П р и м е р 2. У параболы проведены касательные в точках Найдите углы наклона касательных к оси Ох.

Решение. По формуле (1)

Найдём . .

1. Вычислим значение производной в точке : .

Следовательно, и .

2. Аналогично в точке .

Следовательно, и

П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох

под углом

Решение. По формуле (1)

; . Следовательно, и

Подставив в функцию , получим . Получили точку .

П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке

Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид .

Из условия задачи . Найдём производную .

; .

Подставив все значения в уравнение получим уравнение касательной

или .

Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой :

или

Задачи для самостоятельного решения:

1.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке .

2.Кривая задана уравнением Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведённых к кривой в точках в точках с абсциссами .

3.На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой .

4.В какой точке касательная к кривой : а) параллельна оси ; б) образует с осью угол 45?

5.Найти абсциссу точки параболы , в которой касательная параллельна оси абсцисс.

6.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке .

7.В какой точке касательная к кривой образует с осью угол 30?

8.В какой точке касательная к графику функции образует угол 135

с осью ?

9.В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс?

10.В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?

11.Найти угол наклона касательной к кривой в точке, абсцисса которой равна 2.

12.Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой

13.Составить уравнение касательной к гиперболе в точке

14.Составить уравнение касательной к кривой в точке .

15.Найти касательную к кривой в точке с абсциссой .

Ответы: 1).12 2).45°, arctg 5 3).(1;1) 4).(0;-1) (0,5;-0,75) 5).1/2 6).1 7).(/6;61/12) 8).(0:-1) (4;3) 9).(0;4) (1;-5) 10).(1;1) (-1;-1) 11). 45° 12).у = -2х-1 13).у = -х+2 14).у=4х+6 15).у = 4х-2.

Критерий оценки: «5»-15 заданий

«4»-11-14 заданий

«3»-8 заданий

4.Итоги урока: выставление оценок; + и - урока для студента (что понял и в чем еше предстоит разобраться?)

5.Домашнее задание: подготовить ответы на вопросы:

1. Дайте определение касательной к кривой.

2. Что называется нормалью к кривой?

3. В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.

4. Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.

5. Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.

Решить задачи 1-15 по выбору критерия оценки; дополнительно по желанию: составить и решить карточку по данной теме.