Объём конуса (11 класс)

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №479

«Славянских культур»

Кировского района

Санкт-Петербурга

Урок по предмету «Геометрия»

Тема: «Объем конуса»

Используемые технологии:

1. Исследовательская деятельность.

Автор: учитель математики

ГБОУ СОШ № 479

Вепренцева Т.А.

Санкт-Петербург

2011 г.

Класс: 11

Тип урока: урок применения знаний и умений учащихся.

Форма урока: урок-практикум.

УМК: Атанасян Л.С., Геометрия 10-11.

Цель урока: развивать у учащихся навыки применения теоретических знаний по теме «Объём конуса» для решения задач практической направленности.

Задачи:

1.совершенствовать умения учащихся применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения; показать практическую значимость данной темы в жизни человека.

2.способствовать формированию у учащихся ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов); развитию памяти, внимания, мышления и пространственного воображения учащихся, навыков самооценки и самоконтроля; навыков творческого подхода к решению задач, исследовательской работы над задачей.

2.способствовать развитию устойчивого интереса и созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики; воспитанию ответственного отношения к учению.

Технологии: личностно-ориентированная, проблемно-исследовательская, индивидуально-дифференцированного обучения, ИКТ.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, проблемный.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку (Приложение №1), карточки для работы в группах (Приложение №2), тест

(Приложение №3), индивидуально-дифференцированное домашнее задание (Приложение №4), отрывок из трагедии А.С.Пушкина «Скупой рыцарь» , mp3(Приложение №5), физкультминутка, mp3 (Приложение №6), оценочные листы (Приложение №7), чертежи к задачам.

Место урока в теме, разделе: тема «Объём конуса» включена в раздел «Объёмы тел». На изучение темы отводится 2 часа, данный урок второй.

Продолжительность урока - 45 мин.

Структура урока

I. Организационный момент - 1мин.

II.Проверка домашнего задания - 4 мин.

III.Сообщение темы, цели урока, мотивация учебной деятельности -2 мин.

IV.Актуализация знаний учащихся «Кроссворд по теме «Конус» - 5 мин.

V. Применение знаний и умений учащихся в измененной и новой ситуациях (решение практикоориентированных и проблемных задач) - 17 мин.

а) Нахождение ошибок в математических предложениях и их исправление

- 2 мин. Задания ЕГЭ.

б) Решение практикоориентированных задач - 10мин.

в) Решение проблемной (исторической) задачи - 5 мин.

VI. Физкультминутка - 1 мин.

VII.Практическая работа по нахождению объёма усечённого конуса - 4 мин.

VIII. On- line тестирование - 6 мин. (Самостоятельная работа по подготовке к ЕГЭ).

IX. Дополнительная информация о конусе «Это интересно» - 2 мин.

X.Индивидуально - дифференцированное домашнее задание - 1 мин.

XI. Подведение итога урока. Рефлексия - 2 мин.

XII. Оценки за урок - 1мин.

Конспект урока

Презентация к уроку (Приложение №1)

I.Организационный момент -1 мин.

II.Проверка домашнего задания - 4 мин. (Слайд 1)

- Назовите известные вам тела вращения. Вспомните формулы объёмов изученных тел вращения. Эти формулы вам потребуются для решения задач ЕГЭ (В9, В11, С2), поэтому их нужно знать.

- К уроку вам была задана задача на комбинацию цилиндра и шара. Гаврюшиной Д. было дано индивидуальное задание: подготовить слайд презентации к задаче. Проверим решение домашней задачи.

Задача (Слайд 2)

Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?

- У кого есть замечания по решению задачи? У кого есть дополнения?

Дополнительные вопросы учащимся.

1)Всегда ли в цилиндр можно вписать шар?

2) Каково отношение объемов шара и описанного около него цилиндра?

-Задачи на вычисление объёмов геометрических тел интересовали учёных - математиков ещё с древности. В своей работе «О шаре и цилиндре» Архимед доказал, что отношение объемов шара и описанного около него цилиндра равно 2:3. Этим открытием он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета, благодаря чему через 200 лет была найдена могила Архимеда. (Слайд 3). Сегодня вы решили знаменитую задачу Архимеда и соприкоснулись с историей математики.

III. Сообщение темы, цели урока, мотивация учебной деятельности -2 мин. (Слайды 4-9)

- Сегодня мы отправимся в увлекательный мир геометрии, который вам откроет некоторые тайны, связанные с телами вращения, ведь геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли.

Тема нашего урока: «Объём конуса».

Цель урока: учиться применять теоретические знания по теме «Объём конуса» для решения практических задач.

Мне хочется, чтобы вы ещё раз убедились, что математика интересная и увлекательная наука, тесно связанная с жизнью и окружающим миром.

Ведь недаром ещё Аристотель говорил, что ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике.

Трудно назвать чаще встречающиеся задачи на практике, чем задачи на вычисление объёмов. О них задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой.

Конус в переводе с греческого «konos» означает «втулка, сосновая шишка».

Археологические раскопки доказывают, что с конусами люди были знакомы с древних времён. Например, в Древней Греции время, отводимое для речей, измеряли с помощью водяных часов. Старинные египетские водяные часы (клепсидра) представляли собой сосуд, имеющий форму конуса, наполненный водой, которая вытекала через отверстие в нижней его части. Уровень воды показывал время, истекшее с момента наполнения сосуда.

С тех времен дошли до нас выражения «Много воды утекло», «Как медленно течет время».

- Как вы думаете, нужны ли нам в жизни конусы?

- Конусы окружают нас повсюду: в быту, технике и на производстве, т.е., находят свое применение во всех сферах человеческой деятельности.

Конические детали имеются во многих машинах и механизмах: в автомобилях, танках. Носовая часть самолетов и ракет также имеет коническую форму. Чаще всего конусы используют в совокупности с другими телами или друг с другом.

- Подумайте, для чего важно уметь решать задачи на вычисление объёмов конуса и других тел?

Тема «Объёмы тел вращения» ещё важна тем, что она включена в задания ЕГЭ.

IV. Актуализация знаний учащихся «Кроссворд «Конус» - 5мин.

(Приложение №2)

На уроке будут работать группы. Каждая группа (1 группа и 2 группа) имеет своего консультанта.

- Вспомнить основные понятия, связанные с конусом, вам поможет кроссворд.

- Проверим кроссворд (Cлайд 10).

V. Применение знаний и умений учащихся в измененной и новой ситуациях (решение практикоориентированных и проблемных задач) -17 мин.

а) Нахождение ошибок в математических предложениях и их исправление

- 2 мин. Задания ЕГЭ.

Найдите ошибки и исправьте их (Слайды 11-12)

1)Если радиус основания конуса уменьшить в 2 раза, то его объём уменьшится в 2 раза.

2) Если высоту конуса увеличить в 4 раза, то его объём увеличится в 4 раза.

3)Если радиус основания конуса увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 2 раза, то объём конуса не изменится.

4)Если воду, заполняющую всю коническую колбу высотой 12 см, перелить в цилиндрический сосуд, радиус основания которого равен радиусу основания конической колбы, то высота, на которой будет находиться вода в цилиндрическом сосуде, будет равна 6 см.

(Группы защищают своё решение)

(Работа с оценочными листами)

б) Решение практикоориентированных задач - 10мин.

(Учащимся было дано задание: придумать задачу на комбинацию цилиндра и конуса и предложить решить задачу учащимся другой группы) (Слайд 13)

Группа 1

Задача №1

Два конуса имеют общую высоту и параллельные основания. Найдите объем их общей части, если объем каждого конуса равен 8.

Группа 2

Задача №1

Из двух одинаковых деревянных брусков объёмом 3куб. м каждый, имеющих форму цилиндра, выточили конус (рис.1) и два конуса (рис.2). В каком случае будет сточено меньше материала?

Рис.1 Рис.2

(Группы защищают своё решение)

(Работа с оценочными листами)

- Предлагаю вам решить задачи практического содержания. Какая формула связывает между собой массу и объём тела? ( m= v×ρ) (Слайд 14)

Группа 1

Задача №2 «Сено для коров»

У фермера 3 коровы. Для содержания одной коровы фермеру требуется заготовить на зиму 3 т сена. Он заготовил стог сена в виде конуса с радиусом основания 6 м и образующей 10 м. Определите массу заготовленного сена при плотности 30кг/м^{3 .}Хватит ли коровам сена на зиму?

Группа 2

Задача №2 «Авиационная бомба»

Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Найдите массу земли, выбрасываемую бомбой, если плотность земли 1650 кг /м³.

(Группы защищают своё решение)

(Работа с оценочными листами)

в) Решение проблемной (исторической) задачи - 5 мин. (Слайды15-16)

-Послушайте легенду восточных народов, рассказанную А.С. Пушкиным в трагедии «Скупой рыцарь». (Фонограмма). (Приложение №5)

«…Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,-

И гордый холм возвысился,

И царь мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли…»

-Представьте иллюстрацию к отрывку.

Перед нами встала проблема: «Прав ли был А.С. Пушкин, назвав получившийся холм «гордым»?»

- Переведём задачу на язык геометрии.

- Холм - это конус. Но какого объёма?

- Достаточно ли данных в задаче?

- Что нужно знать, чтобы найти высоту?

- Чтобы разобраться в поставленной задаче, надо составить её математическую модель и наметить этапы решения.

Пусть 1горсть≈литра=0,2 дм³

n =100000 (В древности войско в 100000 воинов считалось очень внушительным).

α=45° (Возьмем угол наклона образующей к плоскости основания конуса равным 45°. Взяв больший угол наклона, земля начнет осыпаться).

(Учащиеся в группах намечают этапы решения и обсуждают решение задачи)

Vк = 0,2∙100000 = 20000дм³ = 20м³.

Так как H = R, то

,

(Группы защищают своё решение)

(Работа с оценочными листами)

- Легенда звучит правдоподобно, но вы смогли доказать, что А.С. Пушкин был неправ, назвав холм «гордым». Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м (человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, вы получили бы еще более скромный результат. Таким образом, математика помогает критически относиться к художественным произведениям.

VI. Физкультминутка - 1 мин. (Приложение №6)

VII.Практическая работа по нахождению объёма усечённого конуса - 4 мин.

- Часто в практической деятельности нам требуется определить объём какого - то геометрического тела. Я предлагаю вам определить объём стакана.

- Какую форму имеет стакан?

- Вспомните формулу объёма усечённого конуса и вычислите объём стакана.

- Какие измерения вы должны произвести ?

(Группы защищают своё решение)

(Работа с оценочными листами)

VIII. On- line тестирование - 6 мин. Самостоятельная работа по подготовке к ЕГЭ.

Сайт для тестирования на уроке:

- Кто не допустил ошибок?

- Кто испытывал трудность при тестировании? Почему?

- В каких заданиях допущены ошибки?

- Сделайте вывод, какие теоретические вопросы вам необходимо знать?

(Если по техническим причинам не будет возможности пройти оn - line тестирование, то учащиеся выполняют тест на бумажном носителе) (Приложение № 3)

IХ.Дополнительная информация о конусе, подготовленная учащейся

«Это интересно» - 1 мин. (Слайд 17)

1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа,

образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенных горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня

растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

3. «Конусами» называют семейство морских моллюсков подкласса

Переднежаберных, попавших в Книгу рекордов Гиннеса. Раковина коническая

(2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры. В то же время, яд некоторых моллюсков используют в для изготовления сильнодействующих , не вызывающих наркотической зависимости.

4.По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на

1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, образующие конус безопасности. Чем выше

громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол,

вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла - 1 стерадиан. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

Х.Индивидуально - дифференцированное домашнее задание. - 1 мин.

(Слайды 18-19), (Приложение №4).

1)Повторить §55-57, §73-75.

2) Всем учащимся предлагаю решить задачу по карточке (там же вы найдёте рецепт вафельных рожков с замороженным персиковым парфе (парфе -холодный десерт, по вкусу и консистенции напоминающее мороженое).

3) Лукьяновой К., Гаврюшиной Д. решить задачу (С2 ЕГЭ). Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60⁰, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол 60⁰

4) Остальным учащимся решить задачу №12, стр.129 (учебник геометрии).

5) Продолжить подготовку к ЕГЭ. Сайты для оn-line тестирования ,

ХI. Итог урока. Рефлексия - 2 мин.

- Подведем итог урока. Какова была цель урока?

- Как вы считаете, достигнута ли она?

- Удовлетворены ли вы работой своей группы?

-Считаете ли вы, что в вашей группе преобладала атмосфера взаимопонимания и взаимного уважения?

- Считаете ли вы свою работу на уроке полезной для вашей группы?

- Можете ли вы оценить работу вашей группы как способствующую достижению цели урока?

- Можете ли вы сказать, что в ходе урока произошло обогащение запаса ваших знаний?

- Какое открытие для себя вы сделали?

- Хотели бы вы узнать о конусе больше?

- Подготовьте сообщение для одноклассников, например, на тему «Почему пожарные вёдра имеют форму конусов?» (по желанию).

- Вы систематизировали теоретические знания о конусе, применили свои знания при решении нестандартных задач, увидели связь математики с окружающим миром.

- Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках геометрии, вы сможете успешно применить в различных жизненных ситуациях.

ХII. Оценки за урок- 1мин.

- Какую оценку за урок ты себе поставил? Какую оценку поставил консультант?

- - Можно было бы тебе работать на уроке лучше?

(Оценка в журнал ставится в соответствии с оценкой консультанта по итогам работы в группе и самооценкой учащегося) (Приложение №7)

Дополнительное задание

Задача (Слайд 20)

Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите объём конуса, если образующая конуса равна 10.

(объяснение решения задачи по слайду презентации)