Урок по математике в 9-м классе Решение уравнений и систем уравнений

Цель урока:

Обобщение знаний учащихся, умений и навыков по решению уравнений различного вида и систем уравнений разными способами. Закрепить навыки решения уравнений, способствовать выработке умений при решении задач.

Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы; отработка способов решения уравнений и систем уравнений, выработка умения выбрать нужный, рациональный способ решения.

Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать.

Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, развивать: интерес предмету.

Ход урока:

I. Вступление.

1. Вступление учителя:

"Математика в своей сущности достаточно таинственна и романтична и обладает особой красотой, но не каждому, к сожалению, суждено видеть эту красоту.

Проведем сегодняшний урок в открытой форме. И надо постараться провести его так, чтобы как математик Харди, который однажды произнес, и его слова остались бессмертными: "В мире нет места для некрасивой математики".

2. Устный опрос

Учитель: решение систем уравнений 2ой степени сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним методы решения квадратных уравнений.

К таким методам относятся:

Разложение на множители;

Введение новой переменной;

Графический способ.

Разложение на множители:

Вынесение общего множителя за скобки;

Использование формул сокращенного умножения;

Способ группировки.

Вспомним способы решения систем уравнений.

Способ сложения;

Способ подстановки.

3. Историческая справка

Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие?

Безусловно, человечество "додумалось" до всего не сразу и в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия.

Обратимся к историческому путеводителю.

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся во второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта.

Первое тысячелетие н.э. - Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат "Арифметика" содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате "Алгебра" классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры

4. Математический диктант

1. Укажите коэффициенты a,b и с квадратного уравнения

а) ,

б) ,

в) .

2. Сколько корней имеет квадратное уравнение

а) ,

б) ,

в) ?

3. Запишите формулу корней квадратного уравнения.

Вопрос. Нужно ли было вычислять дискриминант в уравнении 2а для выполнения задания? (Нет, потому что свободный член этого уравнения отрицателен, при а >0, следовательно, дискриминант положителен).

Обратите внимание на уравнения 1в и 2б. чем они отличаются от остальных уравнений? (Старший коэффициент в каждом из этих уравнений равен 1). Такие уравнения имеют свое название. Какое?

5. Разминка (двое решают у доски)

1. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого. Ответ: (-13;-21),(21;13)

2. Длина прямоугольника больше его ширины на 6 см. Найдите стороны прямоугольника, если площадь его равна 112 см².

Ответ: (8;14)

6. Решить графически уравнение:

a) ;

б).

7. Каким способом лучше решать систему?

а)

б)

8. Игра "Домино".

Решить 4 системы уравнения и для каждого системы подобрать карточку с соответственными корнями этой системы. Сложить цепочку.

Ребята решают в парах.

1 вариант..

2 вариант.

Перевернуть карточки. Должно получиться слово, если все сделано правильно. По порядку читаются слова.

На каждой карточке на обратной стороне написано слово из четверостишия. В результате получается фраза:

Не всегда уравненья

Разрешают сомненья,

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.

А.Н.Колмогоров

9. Исследовательская работа "Трудная задача".

1. Картина Богданова-Бельского "Трудная задача" известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той "трудной задачи", которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:

(10² + 11² + 12² + 13² + 14²)/365.

Задача в самом деле, нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя, который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С.А. Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.

Числа 10, 11, 12, 13, 14 обладают любопытной особенностью:

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об одной особенности ряда чисел более широко: единственный ли этот ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

2. Решение: Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение

x² + (x + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x + 4)²

Удобнее, однако, обозначить через x не первое, а второе из искомых чисел, тогда уравнение будет иметь более простой вид

(x - 1)² + x² + (x + 1)² = (x + 2)² + (x + 3)²

x₁ = 11; x₂ = -1.

Существует, значит, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

10,11,12,13,14;

и ряд

-2,-1,0,1,2.

Так как

(-2)²+ (-1)²+ 0² = 1²+ 2².

10. Решение старинных задач "Математические жемчужины".

Что есть лучшего? Сравнив прошедшее. Свести его с настоящим.

(Козьма Прутков)

Эта задача пришла к нам из далекого-далекого прошлого.

Жизнь Диофанта.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, подчеркнуто из надписи на его гробнице - надписи, составленной в форме математической задачи.

Вот эта надпись.На родном языке

На языке алгебры

Путешественник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.

x

Часть шестую его представляло прекрасное детство.

x/6

Двенадцатая часть протекла еще жизни - покрылся пухом тогда подбородок.

x/12

Седьмую в бездетном браке провел Диофант.

x/7

Прошло пятилетие; он был осчасливен рождением прекрасного первенца сына.

5

Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравнению с отцом.

x/2

И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.

x = x/6 + x/12 + x/7 + x/2 + 5 + 4

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Учащиеся, заполнив правый столбец таблицы, решая уравнения, находят, что x = 84, узнают следующие черты биографии Диофанта: он женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года

11. Итоги урока, выставление оценок