Методические рекомендации по выполнению самостоятельных работ по математике для студентов специальностей технического профиля

Пример1. Найдите , 5tgесли

Решение: т.к. , то ;tg5 tg; 5ctg

Ответ: -1;

Пример 2. Найдите

Решение:

Ответ: 4

Пример 3. Упростите выражение:

Решение:,

Пример 4. Докажите тождество:

Решение: ;

;

0

Пример 5. Найдите значение выражения:,

Решение:

Ответ: 6

Практическая часть:

Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Преобразование тригонометрических выражений».,

Упростите выражение

tg

Докажите тождество

Алгоритм выполнения:

1. Повторите теоретический материал по данной теме.

2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.

3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 10

Решение тригонометрических уравнений

Цель: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.

Теоретическая часть:

Решение простейших тригонометрических уравнений:

Способы решения тригонометрических уравнений:

Пример1:

1) 2)

x

Пример 2:

сtg −3tg =0,

,

1

,

Пример3:

,

,

2

4

2,

tg,

,

Ответ:

Практическая часть:

Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Решение тригонометрических уравнений».1) 2 sin x - cos 2x = 0

1)

2) sin (- cos (=2

2)

3)

3)

4)

4)

5)

5)

6)

6) 2

7)

7)

Алгоритм выполнения:

1. Повторите теоретический материал по данной теме.

2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.

3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 11

Роль переменных величин в развитии математики

Цель: изучить роль переменных величин в развитии математики.

Теоретическая часть:

Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много. Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась. В Европе сложилось разделение на гуманитарные и естественные науки по степени влияния математики на эти части.

В XVII в. начинается новый период истории математики - период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной.

Практическая часть:

Задание: подготовить сообщение по теме «Роль переменных величин в развитии математики».

Алгоритм выполнения:

1.Воспользуйтесь интернет - ресурсами, например:

Социальная сеть работников образования «Наша сеть»

URL: nsportal.ru/shkola/mezhdistsiplinarnoe-obobshchenie/library/2013/12/12/rol-matematiki-v-sovremennom-mire

2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению сообщений (приложение 3)

3.Выполните задание.

4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа №12

Преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций

Цель: закрепить навыки построения и преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций в электронной таблице MS Excel.

Теоретическая часть:При k > 1 - сжатие графика к оси ординат в k раз,

при 0 < k < 1 - растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf(x)

При k > 1 - растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

при 0 < k < 1 - cжатие графика к оси абсцисс в k раз.

Преобразования графика с модулем

y = | f(x) |

При f(x) > 0 - график остаётся без изменений,

при f(x) < 0 - график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f(| x |)

При x0 - график остаётся без изменений,

при x < 0 - график симметрично отражается относительно оси ординат.

Для построения графиков функций Y(X) в Microsoft Office Excel используется тип диаграммы Точечная:

Для этого требуется два ряда значений: Х и Y значения, которые должны быть соответственно расположены в левом и правом столбцах.

Можно совместить построение нескольких графиков. Такая возможность используется для графического решения систем уравнений с двумя переменными, при проведении сравнения анализа значений y при одних и тех же значениях x.

Пример: построить графики функций y₁= x ² и y₂= x ³ на интервале [- 3; 3] с шагом 0,5.

Алгоритм выполнения задания:

1. Заполнить таблицу значений:

2. Выделить таблицу и указать тип диаграммы Точечная.

3. Выбрать формат точечной диаграммы с гладкими кривыми.

4. В Макете указать название диаграммы «Графики», дать название осей: X и Y

5. Должен получиться график:

Примеры:

1). Построить графики функций y₁= x ² -1, y₂= x ²+1 и y=К·(y₁/ y₂) на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,3.

2). Построить графики функций y₁= и y₂= 2^х на интервале [- 3; 3] с шагом 0,5.

3). Построить графики функций y₁= , y₂=на интервале [-0,5;9] с шагом 0,5.

4). Построить графики функций y₁=, y₂= на интервале [-5;-0,5] с шагом 0,5.

5). Построить графики функций y₁= , y₂=на интервале [0,5 ; 5] с шагом 0,5.

Практическая часть:

Задание: в электронных таблицах Microsoft Excel постройте графики функций:

1) y = cos x и y = 2 cos x; 2) у=cos(х+ π); 3)у=4^х+1-2; 4) у= log₃(х-1)+2.

Алгоритм выполнения:

1. Повторите теоретический материал по данной теме.

2.Выполните задание в электронных таблицах Microsoft Excel.

3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 13

Конические сечения и их применение в технике

Цель: изучить конические сечения и их применение в технике.

Теоретическая часть:

Конические сечения - это плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы

Практическая часть:

Задание: разработать презентацию по теме «Конические сечения и их применение в технике».

Алгоритм выполнения:

1.Воспользуйтесь интернет - ресурсами, например:

Всероссийский банк рефератов

URL:referatwork.ru/about_us.html

2.Ознакомьтесь с требованиями к оформлению презентации (приложение 2)

3.Выполните задание.

4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 14

Правильные и полуправильные многогранники в архитектуре нашего города

Цель: ознакомиться с понятием правильного многогранника и полуправильного многогранника, с их видами.

Теоретическая часть:

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого - равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.

Тела Платона - это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников:

Итак, тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть. Октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь. Додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать. Икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать. Наряду с правильными многогранниками существуют еще многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным - их называют полуправильными многогранниками. В полуправильных многогранниках равны одноименные многоугольники; причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней.

Практическая часть:

Задание: разработайте презентацию по теме «Правильные и полуправильные многогранники в архитектуре нашего города».

Алгоритм выполнения:

1.Воспользуйтесь интернет - ресурсами, например:

URL:photogoroda.com/photo-goroda-tolyatti-photo-city-4919.html

URL:fb.ru/article/247962/mnogogranniki-v-arhitekture-arhitekturnyie-formyi-i-stili

2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению презентации (приложение 2)

3.Выполните задание.

4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 15

Понятие дифференциала и его приложения

Цель: ознакомиться с понятием дифференциала и его приложениями.

Теоретическая часть:

Главная, линейная относительно, часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается . Для удобства записи в данном случае заменяют на . (Но при вычислениях замену не производят)

Итак, дифференциал вычисляют по формуле: . (1)

Пример 1: Найти дифференциал функции: .

Дифференциал функции применяется при решении многих математических задач. Существует два типа задач, которые возможно рационально решить, используя понятия дифференциала: приближенные вычисления значения функции в заданной точке и вычисление приращения функции в заданной точке.

Практическая часть:

Задание: разработайте презентацию по теме «Понятие дифференциала и его приложения».

Алгоритм выполнения:

1.Воспользуйтесь интернет - ресурсами, например:

Научная библиотека избранных естественно-научных изданий

URL: edu.sernam.ru/book_sm_math1.php?id=51

2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению презентации (приложение 2)

3.Выполните задание.

4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 16

Применение производной для построения графика функции

Цель: закрепить навыки применения производной для построения графика функции.

Теоретическая часть:

Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения и область значений функции,

2) установить, является ли функция чётной или нечётной,

3) определить, является ли функция периодической или нет,

4) найти нули функции и её значения при x = 0,

5) найти интервалы знакопостоянства,

6) найти интервалы монотонности,

7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

8) проанализировать поведение функции вблизи "особых" точек и при больших значениях модуля x .

Пример. Исследуйте функцию f (x) = x ³ + 2x ² - x - 2 и постройте график.

Решение: исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

1) область определения x R (x - любое действительное число);

область значений y R, так как f (x) - многочлен нечётной степени;

2) функция f (x) не является ни чётной, ни нечётной (поясните, пожалуйста);

3) f (x) - непериодическая функция (докажите это сами);

4) график функции пересекается с осью Y в точке (0, - 2), так как f (0) = - 2; чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: x ³ + 2x ² - x - 2 = 0, один из корней которого x = 1 очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: x ² + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена x ³ + 2x ² - x - 2 на двучлен (x - 1). Легко проверить, что два других корня: x₂ = -2 и x₃ = -1. Таким образом, нулями функции являются: -2, -1 и 1.

5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала

знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак:

Этот результат может быть получен разложением многочлена на множители:

x ³ + 2x ² - x - 2 = (x +2) (x +1) (x - 1) и оценкой знака произведения методом интервалов.

6) Производная f' (x) = 3x² + 4x -1 не имеет точек, в которых она не существует, поэтому ее область определения R (все действительные числа); нули f' (x) - это корни уравнения: 3x² + 4x - 1 = 0

Эти корни: . Функция имеет две критические точки и три интервала монотонности:

Полученные результаты сведены в таблицу:

Практическая часть:

Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Применение производной для построения графика функции».

Алгоритм выполнения:

1. Повторите теоретический материал по данной теме.

2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.

3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 17

Вычисление объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла

Цель: ознакомиться со способами вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

Теоретическая часть:

Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. При этом необходимо уметь решать неопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для задачи нахождения площади, нужно уметь строить чертежи - это самое важное.

Практическая часть:

Задание: выполните графическую работу по теме «Вычисление объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла»:

1. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .

2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , , .

3. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , и

4. Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями , , где .

5. Дана плоская фигура, ограниченная линиями , , .

6. Дана плоская фигура, ограниченная линиями , и осью .

7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми и .

Алгоритм выполнения:

1.Воспользуйтесь интернет - ресурсами, например:

Высшая математика - просто и доступно

URL:www.mathprofi.ru/obyem_tela_vrashenija.

3.Выполните задание.

4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 18

Методы теории вероятностей и математической статистики, применяемые в технологии машиностроения

Цель: ознакомиться с методами теории вероятностей и математической статистики, применяемые в технологии машиностроения.

Теоретическая часть:

На отечественных машиностроительных заводах статистические методы стали применяться примерно с 1943 г. Это заводы массового производства, такие как Московский автозавод имени Лихачева, Горьковский автозавод, заводы ша- рикоподшипниковой промышленности - 1-й ГПЗ и др. Наиболее активно стати- стические методы применялись в 50-е годы. Практика показала, что везде, где внедрялись статистические методы, наблюдались важные положительные эффекты: снижался брак продукции и по- вышалось ее качество, уменьшался объем контрольной работы, происходила экономия материалов, повышалось качество наладки оборудования и сокраща- лись его простои, повышалась выработка станочников. Применение статистических методов в технологии машиностроения свя- зано с развитием отечественного машиностроения и становлением технологии машиностроения как науки и как учебной дисциплины.

Практическая часть:

Задание: подготовить сообщение по теме «Методы теории вероятностей и математической статистики, применяемые в технологии машиностроения ».

Алгоритм выполнения:

1.Воспользуйтесь интернет - ресурсами, например:

В универе - математика для студентов

URL:www.study.urfu.ru/Aid/Publication/13512/1/Solonin_2.p

2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению сообщений (приложение 3)

3.Выполните задание.

4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 19

Решение различных видов уравнений (в том числе с параметрами)

Цель: закрепить навыки решения различных видов уравнений, познакомиться с решением уравнений с параметром.

Теоретическая часть:

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую теорему: показательное уравнение a^f(x) = a^g(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Основные методы решения показательных уравнений:

1) метод уравнивания показателей;

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.Решите уравнение:

Решение:

Пример 2.

Решение: . Используем подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

1. 2.

; корней нет.

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Ответ: x = 3.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2^x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид: Ответ: x = 0.

Уравнение вида называется логарифмическим.

Основные виды логарифмических уравнений и методы их решения:

1) Простейшие логарифмические уравнения: Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е.

2) Уравнения вида , т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения:

3) Уравнения квадратного вида log²_ax + log_ax + c = 0 решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.

4) Уравнения вида решаются логарифмированием обеих частей по основанию .

Пример 1. Решите уравнение:

;

Пример 2.

log²₅ ; log²₅

пусть ;

и Ответ:

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:

Метод решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение - возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение: Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим ⇔ 4 ⇔ , откуда следует, что .

Проверка: : ⇔. Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.

: ⇔. Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения.

Ответ: .

Если в уравнение некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим. Например, решить уравнение (4х - ах)а = 6х - 10 . Здесь х - неизвестное, а - параметр.

Решить уравнение с параметрами означает:

- определить, при каких значениях параметров существует решения;

- для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Основные способы решения уравнений с параметром.

1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в уравнениях без параметра.

2. (графический) В зависимости от уравнения рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).

3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.

Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем уравнениям, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Схема исследования квадратного уравнения:

Уравнение вида , где a,b,c - выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х - неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.

Если = 0, то имеем линейное уравнение .

Если 0 и дискриминант уравнения D то уравнение не имеет решений.

Если а ≠ 0 и D

Если а ≠ 0 и D, то уравнение имеет два различных корня

Пример: для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. 1) = 0, т.е. = 1.Тогда уравнение примет вид ,

2) 1. Найдём дискриминант уравнения

Возможны случаи: а) D< 0, т. е. < 0, Уравнение не имеет корней.

б) D = 0, т.е. = 0, = 8, = 2. Уравнение имеет один корень

.в) D > 0, т.е. 0,

в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а < 8, а < 2. Уравнение имеет два корня:

Ответ: при = 1 ; при = 2 ; нет корней; при и а ≠ 1

Практическая часть:

Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Решение различных видов уравнений (в том числе с параметрами)» Алгоритм выполнения:

1. Повторите теоретический материал по данной теме.

2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.

3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Самостоятельная работа № 20

Решение различных видов неравенств (в том числе с параметрами)

Цель: закрепить навыки решения различных видов неравенств, познакомиться с решением неравенств с параметром.

Теоретическая часть:

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: если a >1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x)> g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Пример: Решите неравенство:. Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла Найдем корни квадратного трехчлена: Так как то решением данного неравенства является множество:

Если а > 1, то функция у = logax возрастает на всей своей области определения. Если же 0 < а < 1, то у = logax убывает на всей области определения. Это свойство функции используется при решении логарифмических неравенств.

Пример: Решите неравенство: ;

Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.

Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: , то получим иррациональное неравенство. Поэтому под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству.

Если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Иррациональное неравенство равносильно системе неравенств или (1)

Первое неравенство в системе (1) является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство или равносильно совокупности двух систем неравенств

или (2)

Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе - условие, при котором это можно делать.

Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства - арифметический корень - неотрицательна при всех x , при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств

. (3)

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x , при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство выполняется при этом автоматически.

Схемы (1)-(3) - наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи.

Пример: Решить неравенство .

Решение: Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x , при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Если в неравенстве некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а неравенство параметрическим. Например, неравенство (4х - ах)а = 6х - 10 . Здесь х - неизвестное, а - параметр.

Решить неравенство с параметрами означает:

- определить, при каких значениях параметров существует решения;

- для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Основные способы решения неравенств с параметром:

1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в неравенствах без параметра.

2. (графический) В зависимости от неравенства рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).

3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.

Существенным этапом решения неравенств с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем неравенствам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Пример 1:Решить неравенство 5х - а > ax + 3.

Решение: Для начала преобразуем исходное неравенство:5х - ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:(5 - а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:

Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 - а).

Если а = 5, то решений нет.

Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 - а).

Данное решение и будет являться ответом неравенства.

Пример 2:Решить неравенство х(а - 2) / (а - 1) - 2а/3 ≤ 2х - а при а ≠ 1.

Решение:Преобразуем исходное неравенство:х(а - 2) / (а - 1) - 2х ≤ 2а/3 - а;

-ах/(а - 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:

ах/(а - 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:

1 случай. Пусть a/(а - 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а - 1)/3.

2 случай. Пусть a/(а - 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x - любое действительное число.

3 случай. Пусть a/(а - 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а - 1)/3.

Ответ: х € [(а - 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);

х € [-∞; (а - 1)/3] при а € (0;1);

х € R при а = 0.

Практическая часть:

Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Решение различных видов неравенств (в том числе с параметрами)»

Алгоритм выполнения:

1. Повторите теоретический материал по данной теме.

2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.

3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.

Список литературы

Основные источники:

1. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10-11 кл. - М., 2010.

2. Гусев В.А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля - М., 2012.

Дополнительные источники:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11. - М., 2005.

2. Башмаков М.И. Математика. 10 класс. Сборник задач - М., 2008.

3. Колмогоров А.Н Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11кл. - М., 2010.

4. Погорелов А.В. Геометрия 10-11- М., 2010.

5. Ященко И.В. Математика 50 вариантов заданий - М., 2015.

Интернет-ресурсы:

1. www.ege.edu.ru/

2. www.fipi.ru/

3. edu.alnam.ru/book_kram.php?id=56

4. refleader.ru/bewyfsujgmer.html

5. gnesin-phys.narod.ru/math/PM_lect1.pdf

6. free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-059*page.htm

7.nsportal.ru/npo-spo/gumanitarnye-nauki/library/2014/12/07/osnovy-

trigonometrii

Приложение 1

Требования к оформлению реферата

Требования к содержанию реферата:

- материал, использованный в реферате, должен относится строго к выбранной теме;

- необходимо изложить основные аспекты проблемы не только грамотно, но и в соответствии с той или иной логикой (хронологической, тематической, событийной и др.)

- реферат должен заканчиваться подведением итогов проведенной исследовательской работы: содержать краткий анализ-обоснование преимуществ той точки зрения по рассматриваемому вопросу, с которой Вы солидарны.

Требования к структура реферата:

1. Начинается реферат с титульного листа.

2. За титульным листом следует Оглавление. Оглавление - это план реферата, в котором каждому разделу должен соответствовать номер страницы, на которой он находится.

3. Текст реферата. Он делится на три части: введение, основная часть и заключение.

а) Введение - раздел реферата, посвященный постановке проблемы, которая будет рассматриваться и обоснованию выбора темы.

б) Основная часть - это звено работы, в котором последовательно раскрывается выбранная тема. Основная часть может быть представлена как цельным текстом, так и разделена на главы. При необходимости текст реферата может дополняться иллюстрациями, таблицами, графиками, но ими не следует "перегружать" текст.

в) Заключение - данный раздел реферата должен быть представлен в виде выводов, которые готовятся на основе подготовленного текста. Выводы должны быть краткими и четкими. Также в заключении можно обозначить проблемы, которые "высветились" в ходе работы над рефератом, но не были раскрыты в работе.

4. Список источников ^{и литературы}. В данном списке называются как те источники, на которые ссылается студент при подготовке реферата, так и все иные, изученные им в связи с его подготовкой. В работе должно быть использовано не менее 5 разных источников, из них хотя бы один - на иностранном языке (английском или французском). Работа, выполненная с использованием материала, содержащегося в одном научном источнике, является явным плагиатом и не принимается. Оформление Списка источников и литературы должно соответствовать требованиям библиографических стандартов

Объем и технические требования по выполнению реферата:

Объем работы должен быть не менее 6 и не более 10 страниц. Работа должна выполняться через интервал 1,5, 14 шрифтом, размеры оставляемых полей: левое - 20 мм, правое - 20 мм, нижнее - 20 мм, верхнее - 20 мм. Страницы должны быть пронумерованы.

Расстояние между названием части реферата или главы и последующим текстом должно быть равно трем интервалам. Фразы, начинающиеся с "красной" строки, печатаются с абзацным отступом от начала строки, равным 1 см.

При цитировании необходимо соблюдать следующие правила:

- текст цитаты заключается в кавычки и приводится без изменений, без произвольного сокращения цитируемого фрагмента (пропуск слов, предложений или абзацев допускается, если не влечет искажения всего фрагмента, и обозначается многоточием, которое ставится на месте пропуска) и без искажения смысла;

- каждая цитата должна сопровождаться ссылкой на источник, библиографическое описание которого должно приводиться в соответствии с требованиями библиографических стандартов.

Приложение 2

Требования к оформлению презентации

Количество слайдов: не менее 10 и не более 15. На первом слайде размещается: название презентации; автор: ФИО, группа, название учебного учреждения (соавторы указываются в алфавитном порядке); год. На втором слайде указывается содержание работы, которое лучше оформить в виде гиперссылок (для интерактивности презентации). На последнем слайде указывается список используемой литературы в соответствии с требованиями, Интернет-ресурсы указываются в последнюю очередь.

Информация представленная в презентации должна соответствовать теме самостоятельной работы.необходимо соблюдать единый стиль оформления;

вспомогательная информация (управляющие кнопки) не должны преобладать над основной информацией (текст, рисунки)

Фон

• для фона выбираются любые тона

Использование цвета

• на одном слайде рекомендуется использовать не более трех цветов: один для фона, один для заголовков, один для текста;

• для фона и текста используются контрастные цвета;

• особое внимание следует обратить на цвет гиперссылок (до и после использования)

Содержание информации

• следует использовать короткие слова и предложения;

• заголовки должны привлекать внимание аудитории

Расположение информации на странице

• предпочтительно горизонтальное расположение информации;

• наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана;

Шрифты

• для заголовков не менее 24;

• для остальной информации не менее 18;

Объем информации

• не стоит заполнять один слайд слишком большим объемом информации

Виды слайдов

Для обеспечения разнообразия следует использовать разные виды слайдов: с текстом, с таблицами, с диаграммами.

Приложение 3

Требования к оформлению сообщения

Сообщение - это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1-2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.

Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.

Этапы подготовки сообщения:

1. Прочитайте текст.

2. Составьте его развернутый план.

3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.

4. Объедините близкие по смыслу части.

5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.

6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.

Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.

Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.

и литературы</<br>