</

Олимпиадные задачи по математике для подготовки к ЕГЭ

Часто бывает так, что серьёзное увлечение математикой начинается с решения какой-либо понравившейся нестандартной задачи. Такая задача может встретиться на уроке в школе, на занятии математического кружка, в журнале или книге. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады - от школьных, районных и городских до международных.. Олимпиадные задачи для своего решения требуют остроумия, сообразительности, умения рассуждать и критически относиться к своим выводам

Решение олимпиадных задач обычно не требует знаний, выходящих за рамки школьной программы. Такие задачи, как правило сформулированы так, что они не принадлежат ни к одному из стандартных типов задач школьного математического курса. Поэтому решение каждой такой задачи требует особого подхода, наличие способности к интенсивному творческому труду.

На любой математической олимпиаде предлагаются геометрические задачи. Формулировки этих задач могут быть самыми разнообразными. Так же разнообразны разделы геометрии, к которым относятся эти задачи. Поэтому ясно, что в рамках одной статьи невозможно рассмотреть все методы решения таких задач. Тем не менее, у по-настоящему олимпиадных геометрических задач есть отличительная особенность: при их решении используются нестандартные, оригинальные методы.

.. В отличие от алгебры, в геометрии почти нет стандартных задач, решающихся по образцам. Практически каждая геометрическая задача требует "индивидуального" подхода, четкости и последовательности в рассуждениях, понимания логических связей между различными этапами решения задачи. Говоря о методах решения геометрических задач, следует отметить некоторые особенности данных методов: большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области применения. Кроме того, очень часто при решении некоторых достаточно сложных задач приходится прибегать к использованию комбинаций методов и приемов.

Хочется поделиться решением нескольких олимпиадных планиметрических задач.

№1. Доказать, что если а и b - катеты, а с -гипотенуза, то , где r - радиус вписанной окружности.

Решение:

I способ

Поскольку OD АС, OF ВС и C = 90°, то FODC - квадрат. OD = OF = ОЕ = r, AD = b - r, BF= а - r. Но AD = АЕ и BF = BE как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Значит, АЕ = b - r, BE = а - r, и АВ=АE+ВЕ т. е. с = (b - r) + (а - r), откуда), ч. т. д.

II способ

Заметим, что

С другой стороны, тогда , тогде , откуда .(1)

По теореме Пифагора , или , т. е. , или , тогда (1) примет вид , ч.т.д.

№2. Доказать, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом в 15° составляет восьмую часть квадрата гипотенузы.

Решение:

I способ

Пусть АС = b, ВС = a, АВ = c. Проведем AM так, чтобы ВАМ = 15°, тогда АМС = МАВ + MBA = 30° (внешний угол АМВ), AM = 2АС = 2b (по свойству катета, лежащего против угла в 30°). Значит, и МВ =2b.

Построим MN АВ, тогда MNB~ АСВ и , или , откуда , и так как , то ч. т. д

II способ

ab=, ч. т.д.

№3.. Доказать, что площадь равнобедренной трапеции определяется по формуле , где m - длина диагонали, - угол между ними.

Решение: Пусть в трапеции ABCD АВ = CD, АС = BD= m и AOB = , AO=x, CO=y.

Заметим, что

№4. В АВС длины сторон образуют арифметическую прогрессию, причем ВС < АС < АВ.

Известно, , где г и R - соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей. Найти величину угла B.

Решение. Пусть AB=c, AC=b, BC=a, причем Так как по условию задачи стороны a,b,c образуют арифметическую прогрессию, то

(1)

По теореме синусов =2R, откуда

Известно, что

Учитывая (2), находим и, так как

, так как , тогда , откуда .

По условию задачи , откуда Значит ,

Ответ: 30°.