Курс 'Нестандартные задачи конкурсных экзаменов'

Нестандартные задачи конкурсных экзаменов

Программа элективного курса по алгебре и началам анализа для учащихся 11 классов

Пояснительная записка

Программа элективного курса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования, методических рекомендаций для поступающих в высшие учебные заведения (МГУ, МФТИ, МВТУ им. Баумана, МАИ, МАТИ и др. вузов), требований к ЕГЭ. Элективный курс построен с опорой на знания и умения, получаемые учащимися при изучении математики в старшей школе.

Материал данного курса содержит нестандартные методы, которые позволяют более эффективно решать различные задачи.

К нестандартным задачам традиционно относятся задачи, которые выделяются необычной формулировкой, а также задачи, для решения которых требуются умения нестандартно мыслить, переносить известные методы решения в непривычные ситуации, проявлять находчивость и сообразительность.

Нестандартные задачи способствуют развитию логического мышления, математической интуиции, творческих способностей, прививают навыки исследовательской работы.

Наряду с основной задачей обучения математике - обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математический знаний и умений - данный элективный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, развитие математических способностей, ориентацию на профессию, существенным образом связанную с математикой.

Программа элективного курса предполагает изучение теории и отработку практических навыков по рассматриваемым вопросам и рассчитан на 34 часа (1 час в неделю в течение учебного года).

Цели элективного курса:

• углубление курса алгебры и начал анализа 11 класса;

• изучение современных нестандартных методов решения в соответствии с программой для поступающих в вузы и требованиями, предъявляемыми к выпускникам на едином государственном экзамене;

• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения естественно-научных дисциплин, для получения образования в областях, требующих углубленной математической подготовки;

• воспитание средствами математики культуры личности, знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Задачи элективного курса:

• повышение математической подготовки учащихся, овладение знаниями и умениями в объеме, необходимом для успешной сдачи экзаменов и продолжения математического образования;

• систематизация нестандартных методов при решении текстовых задач, преобразовании тригонометрических выражений, решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, показательные и логарифмические функции;

• решение комплексных задач, связанных с построением графиков функций и фигур, вычислением периметров и площадей построенных фигур.

Основное содержание - 34 ч.

Тема №1

Текстовые задачи и техника их решения (8 ч.)

Классификация и методы решения текстовых задач. Задачи на движение (прямолинейное движение в одном направлении и навстречу друг другу, движение по реке, движение по окружности). Задачи на работу, в том числе на совместную работу. Задачи на проценты, в том числе экономического содержания. Задачи на числовые зависимости. Задачи на смеси, сплавы, растворы. Нестандартные текстовые задачи. Задачи, в которых число неизвестных больше числа уравнений. Задачи, решаемые с помощью неравенств. Задачи, в которых требуется найти наибольшее ли наименьшее значения выражения.

Тема № 2

Преобразование тригонометрических выражений (3 ч.)

Преобразование тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических формул. Вычисление значений выражений, содержащих тригонометрические функции. Преобразование тригонометрических выражений нестандартными методами.

Тема № 3

Функции и графики (5 ч.)

Построение графиков тригонометрических функций и их преобразование. Операции над графиками функций: сложение и умножение графиков. Построение графиков функций, которые задаются аналитическим выражением, содержащим модуль или несколько модулей. Построение графиков сложных функций. Преобразование графиков функций. Исследование функции по графику. Изображение на координатной плоскости фигур, заданных уравнениями, неравенствами и их системами.

Тема № 4

Обратные тригонометрические функции (6 ч.)

Обратные тригонометрические функции. Построение и преобразование графиков обратных тригонометрических функций. Вычисление значений тригонометрических функций от обратных тригонометрических и, наоборот. Преобразование выражений и доказательство тождеств, содержащих обратные тригонометрические функции. Построение графиков. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.

Тема № 5

Решение нестандартных тригонометрических уравнений и неравенств (6 ч.)

Применение свойств функций и числовых неравенств при решении тригонометрических уравнений. Решение уравнения, основанное на области определения входящих в него функций.

Использование области значений, ограниченности, четности или нечетности функций. Оценка выражений с помощью неравенств. Тригонометрические уравнения, содержащие более одного неизвестного. Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем и параметром.

Тема № 6

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств (6 ч.)

Использование свойств показательных и логарифмических функций при решении задач. Решение показательных уравнений и неравенств различными методами. Преобразование выражений, содержащих логарифмы. Решение логарифмических уравнений и неравенств различными методами. Решение логарифмических и показательных уравнений с параметром.

Результаты обучения

В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны уметь решать задачи по различным темам курса алгебры и начал анализа, используя стандартные и нестандартные методы и приемы:

• уметь использовать свойства функций для решения нестандартных тригонометрических уравнений;

• усвоить алгоритмы решения текстовых задач различного содержания; закрепить умения в решении рациональных уравнений и их систем;

• иметь четкое представление о темах задач единого государственного экзамена, об основных методах их решения;

• приобрести опыт в построении графиков функций, а также фигур, заданных на координатной плоскости уравнениями и неравенствами;

• решать задачи с параметрами, содержащими тригонометрические, обратные тригонометрические, показательную, логарифмическую функции.

Тематика творческих, реферативных, научно-исследовательских, проектных работ учащихся

1. Историческая справка о тригонометрии. Обратная тригонометрия.

2. Функции в природе и технике.

3. Уравнения и неравенства смешанной типа, содержащие тригонометрические функции (по материалам ЕГЭ, части В,С).

4. Нестандартные уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции.

5. Нестандартные текстовые задачи.

6. История логарифмов и их применение

7. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром.

8. Из истории показательной и логарифмической функций.

9. Логарифмические уравнения с параметром.

10. Логарифмы и музыка.

Учебно- тематический план

№ п/п

Наименование разделов тем

Количество часов

Форма контроля

I.

Текстовые задачи и техника их решения.

8

1.

Классификация и методы решения текстовых задач. Задачи на движение.

1

Текущий контроль

2.

Задачи на совместную работу.

1

Самооценка учащихся

3.

Задачи на проценты.

Задачи экономического содержания.

1

Рейтинговая оценка

4.

Задачи на числовые зависимости.

1

Собеседование с учащимися.

5.

Задачи аналитического содержания

(на смеси, сплавы, растворы).

1

Тест

6.

Нестандартные текстовые задачи.

1

Презентация самостоятельно выбранного решения

7.

Задачи, в которых число неизвестных

больше числа уравнений.

1

Презентация решения

8.

Задачи, в которых требуется найти наибольшее и наименьшее значения некоторого выражения.

1

Тест

II.

Преобразование тригонометрических

выражений.

3

1.

Преобразование тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических формул.

1

Текущий контроль

2.

Вычисление значений выражений, содержащих тригонометрические функции.

1

Самооценка учащихся

3.

Преобразование тригонометрических выражений нестандартными методами.

1

Тест

III.

Функции и графики.

5

1.

Построение графиков функций без помощи производной. Арифметические операции над графиками функций: сложение и умножение графиков.

1

Самооценка и оценка учащихся

2.

Построение графиков функций, содержащих модуль или несколько модулей.

1

Презентация

3.

Построение графиков сложных функций.

1

Презентация

4.

Преобразование графиков функций. Исследование функций по графику.

1

Презентация

5.

Изображение на координатной плоскости фигур, заданных уравнениями, неравенствами и их системами.

1

Презентация, тест и контроль

IV.

Обратные тригонометрические функции.

6

1.

Обратные тригонометрические функции. Функция y=arcsin х; у = arccos x; у= arctg x; y= arcctg x. Графики и свойства.

1

Текущий контроль

2.

Вычисление значений тригонометрических функций и обратных тригонометрических, и наоборот.

1

Самооценка учащихся

3.

Доказательство тождеств, содержащих

обратные тригонометрические функции.

1

Текущий контроль

4.

Уравнения и неравенства, содержащие

обратные тригонометрических функции.

2

Рейтинговая самостоятельная работа

5.

Построение графиков.

2

Презентация

V.

Решение нестандартных тригонометрических уравнений и неравенств.

6

1.

Решение уравнения, основанное на области определения входящих в уравнение функций.

1

Собеседование с учащимися

2.

Использование области значений, ограниченности синуса и косинуса для решения тригонометрических уравнений.

1

Презентация

3.

Тригонометрические уравнения, содержащие более одного неизвестного.

1

Тестовая работа

4.

Тригонометрические уравнения

с модулем.

1

Тестовая работа

5.

Тригонометрические уравнения

с параметром.

2

Самооценка

VI.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

6

1.

Использование свойств показательной и логарифмических функций при решении задач.

1

Собеседование с учащимися

2.

Решение показательных уравнений и неравенств различными методами.

1

Тест

3.

Решение логарифмических уравнений и неравенств различными методами.

1

Тест

4.

Решение логарифмических и показательных уравнений с параметром.

1

Собеседование с учащимися

5.

Решение тестов повышенной сложности

2

Самооценка

Литература

1. И.А. Кушнир. Неравенства. - Киев, 1996 г.

2. И.А. Кушнир. Уравнения. - Киев, 1996 г.

3. И.А. Кушнир. Функции. 1996 г.

4. И.А. Кушнир. Шедевры школьной математики. - Киев, 1996 г.

5. Ю.В. Кириченко. Репетитор по математике. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1997 г.

6. В.Л. Натяганов, Л.М. Лужина. Методы решения задач с параметрами. - Издательство МГУ, 2003 г.

7. Е.Д. Куланин, С.Н. Федин. 5000 конкурсных задач по математике. - Москва, 1999 г.

8. В.Г. Махров, В.Н. Махрова. Новый репетитор по математике. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2004 г.

9. A.M. Титаренко. Форсированный курс подготовки к экзамену по математике. Практикум. - Москва, 2005 г.

10. 10. Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова, С.А. Шестаков. ЕГЭ. Математика. - Москва: Эксмо, 2006 г.

11. П.И. Горнштейн, А.Г. Мерзляк и др. Подводные рифы конкурсного экзамена по математике. - Киев, 1994 г.

12. А.П. Горячев, С.А. Гришин и др. борник конкурсных и олимпиадных задач по математике. - М., 2001 г.

13. СВ. Кравцев, Ю.Н. Макаров и др. Методы решения задач по алгебре. Москва, 2001 г.

14. М.К. Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко, Конкурсные задачи по математике. - Москва: Наука, 1992 г.

15. 15. Ткачук В.В. Математика - абитуриенту. - Москва, 1994 г. - Том 1,2.