Урок решения задач методом объемов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С-2 МЕТОДОМ ОБЪЕМОВ

Данный метод применим для задач :

-нахождение расстояния между двумя скрещивающими прямыми.-

-нахождение расстояния от точки до плоскости.

Алгоритм метода объемов.

• построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми;

• доказать, что эта высота и есть искомое расстояние;

• найти объём этой пирамиды двумя;

• способами и выразить эту высоту;

При решении задач данного типа используется следующие утверждение:

1)Если объем пирамиды АВСД равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей треугольник АВС, вычисляется по формуле

d=

2).Расстояние м/у скрещивающими прямыми , содержащими отрезки

АВ и С D соответственно , можно вычислить по формуле

Задача № 1

</ Ребро куба ABCDA ₁B ₁C ₁D₁ равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими диагоналями двух соседних граней куба

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим как соседние диагонали куба

Скрещивающие прямые А ₁В и В ₁С.

Найдем расстояние между ними по формуле

d= , где- объем тетраэдра , - угол м/у прямыми А ₁В и В ₁С. Для вычисления угла заменим прямую В ₁С

прямой А ₁D и найдем его из треугольника А ₁DВ, т.к. треугольник равнобедренный угол 60 ⁰. Тогда d =

найдем е=

Тогда d= Ответ : d=

способ 2( метод координат)

искомое расстояние -это расстояние от точки C до плоскости ( A₁DB)

вычисляется d =

пусть уравнение плоскости ( A₁DB) : Ax + By + Cz+ D =0

введем систему координат с центром в точке D(0,0,0) тогда

А₁(1,0,1), В(1,1,0) т.к. точка D принадлежит плоскости ( A₁DB), то D = 0

А₁ принадлежит плоскости ( A₁DB), то А+С =0, С= - А

В принадлежит плоскости ( A₁DB), то А+В =0, В= -А

Значит Ах -Ау -Аz =0 , х-у -z =0

C(0,1,0) тогда d =

Ответ : d=

Задача № 2

Ребро куба ABCDA ₁B ₁C ₁D₁ равно a . Найти расстояние от точки С до (ВDС₁).

Покажем искомое расстояние от точки C до

плоскости (ВDС₁). Это перпендикуляр СН равный высоте

пирамиды В С ₁СD. Объем пирамиды равен

V==

C другой стороны треугольник ВDС₁ равносторонний DB=C ₁D=C ₁B =

V=

V=, ,

Ответ :

Задача № 3

Ребро куба ABCDA ₁B ₁C ₁D₁ равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими прямыми ВA ₁ и B ₁D. (2 способа)

Для решения задач методом объемов используют опорные задачи:

1.Если вершины АВDA₁ параллелепипеда ABCDA ₁B ₁C ₁D₁ являются вершинами тетраэдра , то имеет место равенство

V_{ABCA1 =}

2.Пусть p и g - площади двух граней тетраэдра, a - длина общего ребра,

α- величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле

V=

Доказательство :

Задача №4 (ЕГЭ-2012 г.)

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 2,боковые ребра 3,точка D- середина ребра СС₁ .Найти расстояние от вершины С до плоскости (ADB₁).

(два способа решения)

Задача №5 (ЕГЭ-2012 г.)

В правильной четырехугольной призме ABCDA ₁B ₁C ₁D₁ стороны основания равны 1, а боковое ребро равно 2. Точка М- середина

ребра AA₁ . Найти расстояние от точка А до плоскости (ВМ D₁).

Задача №5 (ЕГЭ-2012 г.)

В правильной четырехугольной призме ABCDA ₁B ₁C ₁D₁ стороны основания равны 1, а боковое ребро равно 2. Точка М- середина

ребра AA₁ . Найти расстояние от точка А до плоскости (ВМ D₁).

Задача №2.В правильной четырехугольной призме АВСDА₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 4, боковые ребра равны 2, точка Е - середина ребра ВВ₁. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АС₁E (см. Рис.5).

Решение (метод объёмов)

Пусть d - расстояние от точки В до плоскости АС₁Е. Для нахождения d применим метод «вспомогательного объема», состоящий в том, что V пирамиды ВАЕС₁ выражается двумя способами:

а) с одной стороны V_ВАЕС1 = S_АЕС1 ∙ d, а с другой стороны

б) V_ВАЕС1 = S_АBE ∙ h, где h - расстояние от вершины С₁ до плоскости (ABE),

и h = C₁B₁ = 4.

Тогда

Оттуда

Рассмотрим ∆ АВЕ, он - прямоугольный,

АВ = 4;

Тогда

Рассмотрим ∆ АЕС₁, он - равнобедренный, т.к. АЕ=ЕС₁ (см. Рис.6).

Рис.6

Прямоугольные ∆ АВЕ и ∆В₁С₁Е равны по двум катетам:

ВЕ=В₁Е; АВ=В₁С₁

По теореме Пифагора в ∆АВЕ

Проведем ЕК ⊥ АС₁,

по теореме Пифагора

АС₁ - диагональ прямой призмы:

Следовательно,

Итак,

Ответ:

Задача.

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС.

А) Постройте прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и SA, и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.

Б)Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA=, АВ=АС=5, ВС=2

Решение: метод объемов.

Решение: Пусть АА1=d - расстояние от т. А до плоскости KLM;

В пирамиде KALM, АК= ; АМ=АL= ; LM= .

KM= ; KH= ; АН=

VKALM =SALM * AK = SKLM * AA1 ; AA1== 1

Ответ:1