Урок алгебры в 8 классе

"Решение квадратных уравнений"

с применением ИКТ

Выполнила:

Учитель математики

высшей категории

МОУ «Солнечная СОШ»

Вышневолоцкого района

Тверской области

Зайцева Светлана Леонидовна

2013 г.

Движенью истина нужна, но если взвесить строго,
Важна не истина, важна до истины дорога.

М. Дудин

Задача урока: изучить специальные и общие методы решения квадратных уравнений.

Цели урока.

Образовательные:

• повторить - определения квадратного уравнения, приведённого квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, алгоритмы их решения - формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, теорему Виета (прямую и обратную).

• знать - виды и суть общих и специальных методов решения квадратных уравнений, фамилии учёных, связанных с открытиями в области квадратных уравнений.

• уметь - выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений; делать мультимедийные презентации; осуществлять поиск и отбор учебного материала.

Воспитательные: воспитывать ответственность, дисциплинированность, взаимопомощь.

Развивающие: развивать логическое мышление, умение аргументировать, делать выводы, умение работать в группе; расширять кругозор, формировать грамотность математической речи, интерес к математике.

Тип урока: урок формирования знаний, презентация минипроектов.

Формы работы: групповая, фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: мультимедийный проектор, интерактивная доска, листы самоконтроля (см. ПРИЛОЖЕНИЕ).

Предварительная подготовка.

За неделю до урока ученики делятся учителем на группы (разноуровневые). Каждая группа получает задание (с комментариями и рекомендациями учителя) - рассмотреть один из специальных или общих методов решения квадратных уравнений, а также сделать презентацию по этому материалу. Перед представлением на уроке проделанной работы группы отчитываются перед учителем (контролируется участие каждого ребёнка), получают у него консультации, а также решают вопрос о том, кто будет представлять группу на уроке.

Ход урока.

I. Организационный момент

(формирование мотивации работы учащихся).

Учитель:

• приветствует учащихся,

• проверяет готовность к уроку,

• объявляет тему «Специальные и общие способы решения квадратных уравнений»,

• объявляет цели урока,

• (слайд - 1-3):

  • Теоретическая разминка.

  • Энциклопедия квадратных уравнений.

  • Думающий колпак.

  • Историческая справка.

  • Копилка ценных мыслей.

  • Домашнее задание.

• объясняет правила заполнения листа самоконтроля.

II. Теоретическая разминка (актуализация знаний).

Форма работы: фронтальная.

Ученики отвечают на вопросы теоретической разминки, которые размещены на слайдах презентации.

Проверка ответов осуществляется с помощью слайдов № 14-18.

После этого ученики ставят отметку в листе самоконтроля.

I I I. Энциклопедия квадратных уравнений

(презентация групповых проектов).

Комментарий учителя. Решать квадратные уравнения можно разными методами.

Помимо традиционных методов решения есть ещё специальные методы. Рассмотрим каждый из них в отдельности. И выясним, когда их лучше всего использовать.

От каждой группы один представитель рассказывает об одном из специальных способов решения квадратных уравнений, используя свою презентацию. Члены его группы, в случае возникновения вопросов у других учащихся, помогают отвечать на них.

Специальные методы.

Суть метода: привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

Используются формулы сокращённого умножения, а именно, квадратов суммы и разности:

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b².

Иногда имеет смысл применить формулу разности квадратов.

Пример. Решим уравнение х² - 6х + 5 = 0.

х² - 6х + 5 = 0.

(х -3)² - 4 = 0.

(х -3)² = 4.

х - 3 = 2; х - 3 = -2.

х = 5, х =1.

Ответ: 5; 1.

Примечание: метод можно применять для любых квадратных уравнений, но он не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.

Суть метода: известно, что корни квадратных уравнений

ax² + bx + c = 0 и y²+ by + ac = 0 связаны соотношениями:

Поэтому иногда удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведённое y² + by + ac = 0, которое получается из данного "переброской" коэффициента а, а затем разделить найденные корни на a для нахождения корней исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2х² - 9х - 5 = 0.

Заменим данное уравнение приведённым квадратным уравнением с "переброской" коэффициента а: у² - 9у - 10 = 0.

D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5.

Ответ: 5; -0,5.

Примечание: метод применяется для квадратных уравнений с "удобными" коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

• Теоремы (слайды 24, далее по ссылкам 31, 32).

Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен .

Пример. Решите уравнение 137х² + 20х - 157 = 0.

137х² + 20х - 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b+ c = 137 + 20 - 157 =0.

x₁ = 1,

x₂ = = .

Ответ: 1; .

Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета равен

Пример. Решите уравнение 200х² + 210х + 10 = 0.

200х² + 210х + 10 = 0.

a = 200, b = 210, c = 10.

a + c = 200 + 10 = 210 = b.

х₁ = -1, х₂ = -=- 0,05.

Ответ: -1; -0,05.

Вывод: при решении квадратного уравнения стандартного вида полезно сначала проверить являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения.

Это упражнение помогает учащимся сосредоточить внимание на собственном слухе и процессе слушания, а также способствует развитию памяти. Оно также снимает напряжение в мышцах головы. В этом упражнении большим и указательным пальцами мягко оттягивают назад и прижимают, массируя, раковины ушей. Массаж начинают сверху и идут вниз вдоль «свернутых» частей ушной раковины вплоть до мочек ушей.
УЧЕБНЫЕ ИНСТРУКЦИИ.
• Держите голову прямо, чтобы подбородку было удобно.
• Упражнение повторяют трижды или более раз.

(продолжение раздела «Энциклопедия квадратных уравнений»).

При выборе способа решения квадратного уравнения следует помнить, что помимо специальных методов можно применить и общие методы решения уравнений.

Комментарий учителя. Решать квадратные уравнения можно разными методами. Для квадратных уравнений применимы не только традиционные и

специальные методы решения, но и общие методы решения уравнений.

А теперь проверим, насколько вы умеете хорошо выбирать рациональные способы решения для квадратных уравнений.

Попробуйте расшифровать высказывание из копилки "Ценных мыслей".

Для этого проанализируйте представленные уравнения, выберите для каждого более рациональный метод решения и укажите номер этого метода. Затем согласно ключу расставьте в нижней таблице слоги и прочтите высказывание.

Итак, получили высказывание Т. Вейерштрасса «Математик - немного поэт».

Я думаю, эти слова лучшим образом подтверждает проделанная вами к данному уроку работа.

• Решите уравнение 3х² + 5х + 2 = 0:

  1. используя формулу дискриминанта - «3»,

  2. двумя способами - «4».

  3. тремя способами -«5».

Дополнительно.

• Решите уравнение (х²-х)² - 14(х²-х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Лист самоконтроля.