Рабочая программа факультативного курса по математике 'Начнём с простого' для 6 класса

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Г. Иркутска Лицей №1

Рассмотрено Согласованно: Утверждаю:

на заседании МО МБОУ Заместитель директора по НРМ Директор МБОУ г. Иркутска

г. Иркутска Лицей №1 МБОУ г. Иркутска Лицей №1 Лицей №1 В. И. Четвертаков

Протокол №__ от «___»

августа 2015 г.

Руководитель МО _______________ ________________________

_______/____________/ Н. В. Камозина Протокол №__ от «___»

сентября 2015г.

Рабочая программа

факультативного курса по математике

«Начнем с простого»

для 6 класса

68часов

Учитель:

Карпова Елена Феликсовна

высшая

квалификационная категория

Рабочая программа составлена на основе

программы для обучающихся 6 - 8 классов факультативного курса по математике: «Начнем с простого» / авт.-сост. Мельникова М.И. учитель математики МБОУ г. Иркутска Лицей № 1

2015-2016 учебный год

1. Пояснительная записка

Программа составлена на основе следующих нормативно-правовых документов:

1. Федеральный государственный стандарт основного общего образования, утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 декабря 2010 г. № 1897.

2. Закон Российской Федерации «Об образовании Российской Федерации» от 29.12.2012 г. № 273-ФЗ4.

3. Указ президента ПР-271 «О реализации национальной образовательной инициативы «Наша новая школа»

4. Указ президента РФ № 761 «О национальной стратегии действий в интересах детей на 2012-2017 годы» от 01.06.2012.

5. Государственный образовательный стандарт основного общего и среднего (полного) общего образования по математике.

6. Постановление Главного государственного санитарного врача Российской Федерации от 29 декабря 2010 г. № 189 «Об утверждении СанПин 2.4.2.2821-10 «Санитарно-эпидемиологические требования к условиям и организации обучения в общеобразовательных учреждениях» (зарегистрирован в Минюсте России 3 марта 2011 г.).

Факультативный курс «Начнем с простого» разработан для учащихся 6, 7, 8 классов. При желании, этот курс может быть проведен и для учащихся 9 классов.

Программа выполняет основные функции.

Информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета.

Организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся.

Запланированный данной программой для усвоения учащимися объем знаний необходим для формирования устойчивых знаний по темам математики, которые недостаточно разобраны в школьных учебниках математики: «Системы счисления, признаки делимости, принцип Дирихле, логические задачи, поучительные игры, текстовые задачи, комбинаторика, графы, геометрические конструкции, геометрия и другие», для формирования целостного представления к подходам при решении математических задач, для овладения методами решения некоторых олимпиадных классов задач и задач с модулем и параметрами.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, воспитанию общей математической культуры, повышению интереса к предмету и его изучению, выработки творческого подхода к изучению математики.

Данный курс является междисциплинарной программой, объединяющей изучаемые разделы геометрии, физики, экономики, химии.

Анализ содержания лицейского образования показал, что в учебном процессе имеются предпосылки для реализации указанной программы.

Во-первых, большинство тем школьного курса экономики, физики, химии, геометрии содержат материал, который можно эффективно использовать для наглядной иллюстрации практического использования изучаемого математического материала (функции спроса и предложения, при изучении понятия функции, определение рыночного равновесия при изучении систем уравнений, правило рычага и понятия центра масс при изучении методов решения геометрических задач на отношение длин отрезков, понятие расстояния между двумя точками при изучении уравнений и неравенств с модулем и т.п.). Это будет способствовать более глубокому и осмысленному изучению абстрактной математической теории, а также повышению интереса школьников к математике и ее изучению.

Во-вторых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать большинство положений других наук.

В-третьих, отдельные понятия и факты, изучаемые в курсе математике, служат основой при определении ряда экономических и физических понятий (понятия излишков потребителя и производителя вводятся на базе определенного интеграла, понятие эластичности определяется с помощью производной и т.п.).

В-четвертых, при изучении многих разделов школьного курса экономики, физики, химии происходит закрепление математических знаний и выработка умения их использовать при решении прикладных задач практического содержания.

Таким образом, между школьными курсами математики, экономики, физики, химии существуют тесные межпредметные связи. Одним из условий их успешной реализации является обучение учащихся применению изучаемого математического аппарата для решения прикладных задач.

Решение задач, иллюстрирующих приложение изучаемой математической теории в экономике, физике, химии позволяет учащимся на конкретных примерах увидеть, как абстрактные математические понятия и факты можно эффективно применять к решению задач в профильной для них дисциплине. Кроме того, использование прикладных задач на уроках математики при подготовке учащихся, ориентированных на дальнейшую специализацию в профильных классах, способствует реализации многих целей обучения математике, в том числе развитию познавательного интереса, творческих и интеллектуальных способностей учащихся, а также способности к актуализации знаний, активизации мыслительной деятельности.

При организации занятий будут применяться традиционные формы. Но на первое место выйдут такие организационные формы, как дискуссия, диспут, выступления с докладами: с отчетными докладами по результатам написания рефератов или выполнения индивидуального домашнего задания, а так же с докладами, дополняющими выступление учителя или ученика. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся: «Допишем учебник», «Эврика», «Что мы получили?!», по результатам «поисковой» работы на страницах книг, журналов и сайтов в Интернете отчетные доклады, тем более, что целый ряд разделов курса, безусловно, позволяет выделить темы для индивидуальной и коллективной исследовательской работы учащихся.

2. Содержание разделов и тем учебного курса

Раздел 1. Системы счисления

В данном разделе рассматриваются особенности десятичной записи чисел, другие системы счисления. Десятичная система счисления. Двоичная система счисления. Перевод из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления. Восьмеричная система счисления. Перевод из восьмеричной в десятичную систему счисления. На занятиях по этим темам школьники усваивают различие между свойствами числа самого по себе и его записи в той или иной форме. Темы этого раздела предполагают изучение некоторых числовых рядов, том числе, ряд Фибоначчи и изучение системы счисления, связанной с этим рядом: фибоначчиевой системы счисления.

Раздел 2. Арифметика

Данный раздел предполагает, прежде всего, решение текстовых задач арифметическими методами. Этот материал близок к школьной программе и отличается от нее только уровнем сложности решаемых задач. Задачи для занятий подбираются так, чтобы они охватывали как можно больше методов решения задач и как можно больше областей применения этих методов. Занятия данного раздела создают основу для самостоятельного получения теоретических фактов и решения задач, относящихся к другим темам.

Раздел 3. Признаки делимости

Темы данного раздела составляют темы более близкие к теории чисел: делимость, арифметика остатков, сравнения и их свойства, решение уравнений в целых числах. Этот материал также близок к школьной программе, поэтому часть задач предполагается выносить на уроки математики. Дополнительный материал включает основные положения теории остатков, свойства сравнений, малую теорему Ферма. Рассматриваются способы решения линейных и нелинейных диофантовых уравнений.

Раздел 4. Принцип Дирихле

Содержание данного раздела направлено на формирования представления о единстве методов, применяемых в различных областях математики. Задачи для занятий подбираются так, чтобы они охватывали как можно больше возможных областей применения принципа Дирихле. К этому разделу относятся следующие темы: понятие о принципе Дирихле, решение простейших задач на принцип Дирихле, принцип Дирихле в задачах с «геометрической» направленностью.

Раздел 5. Логические задачи

Занятия данного раздела направлены на формирование навыков верных доказательных рассуждений. При решении логических задач отслеживается полнота и обоснованность рассуждений, умение сформировать прямое и обратное утверждение, утверждение, противоположное данному, сделать заключение из предлагаемых посылок. К темам этого раздела относятся задачи на составление таблиц, логические задач, решаемые с помощью схем. Задачи с конечными множествами.

Раздел 6. Взвешивания.

Занятия данного раздела направлены на умение считать, думать, рассуждать, находить удачные способы решения задач. Одним из классов задач такого вида являются задачи на взвешивания, к которым относятся задачи на взвешивание монет, задачи на взвешивание гирь, задачи на взвешивание различных предметов. В этот раздел вошли задачи, связанные с массой предметов и их взвешиванием. Особое место занимают задачи на нахождение фальшивой монеты.

Раздел 7. Геометрия на клетчатой бумаге.

Занятия данного раздела позволяют развивать пространственное мышление и комбинаторные способности. К темам этого раздела относятся задачи на клетчатой бумаге. Петнамино. Разбиение плоскости. Задачи на разрезание в пространстве. Головоломки на разрезание фигур.

Раздел 8. Чётность.

Занятия данного раздела - задачи на четность и нечетность - классика олимпиадной математики. Решения головоломок с применением четности и нечетности чисел всегда отличались необычайной логической красотой и абсолютной прозрачностью выводов. К темам этого раздела относятся типичные задачи на применение определения и свойств четности натуральных чисел. Основные задачи темы: свойства четности, решение задач на чередование, разбиение на пары.

Раздел 9. Поучительные игры

Занятия по теме «Поучительные игры» вызывают большой интерес у школьников младших классов. С их помощью можно внести элемент развлечения, снятия усталости. Вместе с тем задачи содержательны. Учащимся, начиная с 5 класса, доступны задачи, включающие игры без стратегии, симметричные стратегии, выигрышные позиции. Теоретический материал данной темы ограничивается рассмотрением некоторых способов поиска выигрышных позиций, либо доказательства существования выигрышной стратегии.

Раздел 10. Решение текстовых задач

Данный раздел направлен на расширение математических знаний учащихся, повышения уровня математической подготовки, на развитие умения решать задачи, имеющие практическое значение. Материалы раздела содержат различные методы, позволяющие решать большое количество задач, которые вызывают интерес у всех учащихся, развивают их творческие способности, повышают математическую культуру и интерес к предмету, его значимость в повседневной жизни.

Раздел 11. Конструкции

Равновеликие и равносоставленные фигуры. Геометрические головоломки. Задачи на построение примера. Задачи на переливания.

Раздел 12. Решение задач по всему курсу.

Разбор сложных, нестандартных задач. Особенности анализа условия, приемов решения и оформления олимпиадных задач. Приемы и подходы к решению задач на поиск закономерностей. Решение итоговых олимпиадных задач по всем темам

3. Учебно-тематический план

№ раздела/темы

Наименование разделов и тем

Количество учебных часов

В том числе, час.

Теория

Практика

Контроль

6 класс 68

1.

Системы счисления

7

2

5

2.

Арифметические задачи

5

4

1

3.

Признаки делимости

6

2

4

4.

Принцип Дирихле

5

1

4

5.

Логические задачи

4

4

6.

Взвешивания

2

2

7.

Геометрия на клетчатой бумаге

5

1

4

8.

Четность

4

1

3

9.

Поучительные игры

8

2

6

10.

Решение текстовых задач

11

4

6

1

11.

Конструкции

8

2

6

12.

Решение задач по всему курсу

3

2

1

ИТОГО

68

15

50

2

4. Требования к уровню подготовки учащихся, обучающихся по данной программе.

К личностным результатам освоения: готовность и способность обучающихся к саморазвитию и личностному самоопределению, сформированность их мотивации к обучению и целенаправленной познавательной деятельности. Формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, осознанному выбору и построению дальнейшей индивидуальной траектории образования на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных предпочтений, с учётом устойчивых познавательных интересов, а также на основе формирования уважительного отношения к труду.

К метапредметным результатам освоения: освоение обучающимися межпредметных понятий и универсальных учебных действий (регулятивных, познавательных, коммуникативных), способность их использования в учебной, познавательной и социальной практике, самостоятельность планирования и осуществления учебной деятельности и организации учебного сотрудничества с педагогами и сверстниками, построение индивидуальной образовательной траектории.

К предметным результатам освоения: освоение обучающимися в ходе изучения курса умения получать новые знания, умения применять эти знания в учебных, учебно-проектных и социально-проектных ситуациях; формирование научного типа мышления, научных представлений о ключевых теориях, типах и видах отношений, владение научной терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами. Формирование умений применять полученные знания при решении различных задач; формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления; о способах описания на математическом языке явлений реального мира; овладение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

В ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:

• сформировать представление о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;

• развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения упражнений по теории чисел, навыки работы с простыми и составными числами, с взаимно простыми числами; сформировать практические навыки решения простейших задач на делимость, используя принцип Дирихле;

• овладеть приемами решения логических задач и научиться применять их к решению математических и нематематических задач;

• развить умения применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

• сформировать представление о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;

• сформировать умения моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;

• овладеть умениями составления математических моделей по условию задачи, в том числе с применением формул комбинаторики;

• развить логическое мышление и речь - умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

• сформировать представления о начальных идеях теории графов и выработать умение их применять; научиться видеть граф в условии задачи и грамотно переводить это условие на язык теории графов;

• сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

5. Критерии и нормы оценки знаний, умений, навыков, обучающихся, применительно к различным формам контроля знаний.

Достижение обучающимися личностных результатов. Готовность и способность обучающихся к саморазвитию, сформированность мотивации к обучению и познанию.

Достижение обучающимися метапредметных результатов. Освоенные обучающимися универсальные учебные действия (познавательные, регулятивные и коммуникативные), обеспечивающие овладение ключевыми компетенциями, составляющими основу умения учиться, и межпредметными понятиями.

Достижение обучающимися предметных результатов. Освоенные обучающимися в ходе изучения курса приемы и методы решения избранных классов математических задач. Умение применять их для получения новых знаний, а также система основополагающих элементов научного знания, лежащих в основе современной научной картины мира.

Программой предусмотрено четыре вида контроля: предварительный, текущий, тематический, итоговый.

Предварительный контроль осуществляется в начале учебного года и перед изучением новых крупных разделов с целью зафиксировать начальный уровень подготовки обучающегося, имеющиеся у него знания, умения и навыки, связанные с предстоящей деятельностью.

Текущий контроль осуществляется в виде систематической проверки и оценки образовательных результатов обучающегося по конкретным темам на отдельных занятиях. Текущий контроль предполагает выполнение обучающимися самостоятельных работ.

Тематический контроль осуществляется после изучения разделов учебного курса с целью диагностирования качества усвоения учеником структурных основ и взаимосвязей изученного раздела, его личностных образовательных приращений по выделенным ранее направлениям. Тематический контроль предполагает решение задач по пройденной теме.

Итоговый контроль предполагает выполнение обучающимися контрольных работ и курсовых работ.

5. Перечень учебно-методического обеспечения

Литература для преподавателя

1. Бухштаб А.А., Теория чисел. М., Просвещение, 1966.

2. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. Киров, 1993.

3. Голомб С.В., Полимино. М., Мир, 1975.

4. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Как решают нестандартные задачи. М., МЦНМО, 1997.

5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука, 1976.

6. Косневский Ч., Начальный курс алгебраической топологии. М., Мир, 1983.

7. Математический кружок. Задачник первого - второго года. Составитель С.В.Иванов. СПб, 1993.

8. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. М.: Наука, 1974.

9. Яглом И. М., Болтянский. Выпуклые фигуры. М.: ГИТТЛ, 1951.

10. Геометрические олимпиады им. И.Ф. Шарыгина / Сост. А.А. Заславский, В.Ю. Протасов, Д.И. Шарыгин. - М.: МЦНМО, 2007. - 472 с.

11. Котов А.Я., Вечера занимательной математики. - М.: «Просвещение», 1998.

12. Математика для каждого. Технология, дидактика, мониторинг. - М.: «Красная звезда», 2004.

13. Н.В. Заболотнева. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад: развитие творческой сущности учащихся / авт. сост. Н.В. Заболотнева. - Волгоград: Учитель, 2006 - 99 с.

14. Образовательная система «Школа 2100». Сборник программ. - М.: «Баласс», 2008.

15. Олимпиады и интеллектуальные игры - М.: «Первое сентября», 2002.

16. Труднев В.П., Внеклассная работа по математике в начальной школе. - М.: «Просвещение», 1975.

17. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. / О.С. Шейнина, Г.М. Соловьева - М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2007-2008 с.

Литература для учащихся

1. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М. Наука, 1982.

2. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. М.: Просвещение, 1967.

3. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. М. Просещение, 1990.

4. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.

5. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975.

6. Пуханичев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без формул. М. столетие, 1995.

7. Г.Т. Дьяченко. Математика 2-4 классы.- Олимпиадные задания, - Учитель, 2008.

8. Ефимова А.В. , Гринштейн М.Р. 214 задач и примеров по математике для 4 класса. Издательский Дом «Литера», 2008.

9. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 192 с.

10. Фраков, А.В. Внеклассная работа по математике. 5 - 11 классы / А.В. Фраков. - 2е изд. - М.: Айрис-пресс, 2007. - 288 с.

11. Фраков, А.В. Математические олимпиады, 5-6 классы: учебно-методическое пособие для учителей математики общеобразовательных школ. / А.В. Фраков. - М.: Издательство «Экзамен», 2006. - 189 с.

12. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: метод. пособие. 5-6 кл. / П.В. Чулков. - М.: Изд-во НЦ, 2007. - 88 с.

7. Список литературы и интернет ресурсов.

13. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 - 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 271 с.

14. Математика. Задания для 8 классов. - Долгопрудный: Изд. МФТИ. - 1987.

15. Дополнительные главы по курсу математики 7 - 8. Сборник статей // Составитель К.П. Сикорский. - М.: Просвещение. - 1974.

16. Н.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 - 9 классов. - М.: Просвещение. - 1991

17. А. П. Ершова, В. В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса. - М.: Илекса, 2014, - 160 с.

18. Зив Б.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса / Б.Г.Зив, В.Г. Гольдич. - 1-е изд. - СПб,: «ЧеРо-на-Неве», 2001. - 128с.

19. Потапов М.К. Алгебра: дидактические материалы для 8 класса / М.К. Потапов, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2006. - 111с.

20. Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Задачи на смекалку: Учебное пособие для 5 - 6 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2003. - 95 с.: ил.

21. Фокин Б. Д. Арифметика: Сборник занимательных задач для 6-го класса. Часть II. - М. АРКТИ, 2000. - 144 с.

22. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. наглядная геометрия. 5 - 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. - 4-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2001. - 192 с.: ил.

23. Карпухина Н. М. Развивающие задачи по геометрии. 7 класс. - М.: Школьная Пресса, 2004. - 80 с.

24. Шарыгин И. Ф. Тематическая тетрадь. Многоугольники - М.: Классик Стиль, 2003. - 96 с.

25. Семенов Е. Е. За страницами учебника геометрии: Пособие для учащихся 7 - 9 классов общеобразовательных учреждений. - 2-е изд. перераб. - М.: Просвещение, 1999. - 286 с.: ил.

26. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5 - 6 классов общеобразовательных учреждений. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1999. - 287 с.

27. Штыков Н. Н. Иркутские математические олимпиады и турниры. - Иркутск: Изд-во Иркут. Гос. Тех. Университета, 2003. - 64 с.

28. Огурэ Л. Б. Московский Интеллектуальный марафон. Сборник заданий. 5-8 класс. - М.: Интеллект-Центр, 2002. - 80 с.

29. Баранова Т. А., Блинков А. Д., Кочетков К. П. и др. Олимпиада для 5-6 классов. Весенний турнир Архимеда. Задания с решениями, технология проведения. М.: МЦНМО, 2003. - 128 с.

30. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11 класс. - 3-е изд., испр. И доп. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 176 с.: ил.

31. С.А. Генкин, М.В. Итенберг, О.В. Фомин. Ленинградские математические кружки. - Киров: Изд. « АСА». - 1994.

32. И.Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад. - М., 1975.

Учебно - тематический план

6 класс 68 часов

№

урока

Наименование разделов и тем

Всего часов

Дата проведения

Тип урока

Деятельность

учащихся

Виды контро

ля

Домашнее задание.

Системы счисления (7 часов)

1

Десятичная запись числа. Десятичная система счисления. Разложение числа по разрядным единицам

1

05.09

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «Десятичная запись числа. Что означают слова: десятичная система счисления, десятичная позиционная система счисления, как разложить число по разрядным единицам»

2

Двоичная система счисления. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, начиная со старших разрядов

1

05.09

Урок усвоения новых знаний

Выполняют упражнения на понимание понятия «Двоичная система счисления, переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную, начиная со старших разрядов».

Смотрят презентацию «Забавная кибернетика» и «Удивительные разновески»

3

Двоичная система счисления. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, начиная с младших разрядов

1

12.09

Урок комплексного применения знаний и умений

Участвуют в работе по повторению. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

4

Числа Фибоначчи

1

12.09

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения на понимание понятия «Числа Фибоначчи». В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

5

Фибоначчиева система счисления

1

19.09

Урок систематизации и обобщения знаний

Участвуют в работе по повторению. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

6

Другие системы счисления. Система счисления Продавца

1

19.09

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения на понимание темы «Системы счисления».

Отработка упражнений по переводу чисел из одной системы счисления в другую, решают задачи на применение двоичной системы счисления

7

Решение задач. Самостоятельная работа по теме «Системы счисления»

1

26.09

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и задачи по теме «Системы счисления»

Арифметические задачи (5 часов)

8

Состав числа. Порядок арифметических действий. Задачи с формулировкой «Записать с помощью цифр число…»

1

26.09

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения на понимание понятия «Состав числа». Решают задачи с формулировкой «Записать с помощью цифр число…»

9

Периодичность. Отыскание закономерностей

1

03.10

Комбинированный урок

Вместе с учителем отыскивают закономерности, исследуют периодичность при работе с числами.

В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

10

Последняя цифра суммы, разности, произведения чисел

1

03.10

Урок комплексного применения знаний и умений

Вместе с учителем отыскивают закономерности при работе с числами.

В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

11

Арифметическая смесь

1

10.10

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи математических олимпиад по теме «Арифметические задачи»

12

Решение задач. Самостоятельная работа «Арифметические задачи»

1

10.10

Урок контроля знаний и умений

Выполняют упражнения и задачи по теме «Арифметические задачи»

Признаки делимости (6 часов)

13

Делители и кратные. Простые и составные числа

1

17.10

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «Делители и кратные, простые и составные числа»

14

Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9, 4, 8, 11

1

17.10

Урок систематизации и обобщения знаний и умений

Выполняют упражнения и задачи по теме «Признаки делимости»

15

НОД. НОК. Взаимно простые числа

1

24.10

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «НОД. НОК. Взаимно простые числа». В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

16

НОД. Алгоритм Евклида

1

24.10

Урок систематизации и обобщения знаний и умений

Обсуждают тему: «Самое лучшее из решений. За и против»

17

Решение задач на делимость

1

31.10

Урок комплексного применения знаний и умений

Участвуют в работе по повторению темы «делимость чисел». В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

18

Решение олимпиадных задач на делимость

1

31.10

Урок контроля знаний и умений

Выполняют упражнения и задачи на делимость, предлагаемые на математических олимпиадах

Принцип Дирихле (5 часов)

19

В худшем случае

1

14.11

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «Методы решения математических задач, в том числе задач на делимость целых чисел. Что означают слова: в худшем случае, аксиома, принцип, принцип Дирихле»

20

Принцип Дирихле

1

14.11

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения на применение принципа Дирихле

21

Решение задач на принцип Дирихле

1

21.11

Комбинированный урок

Выполняют задачи и упражнения на применение принципа Дирихле

22

Задачи на делимость, решаемые с применением принципа Дирихле

1

21.11

Урок актуализации знаний и умений

Обсуждают тему: «Самое лучшее из решений. За и против»

23

Задачи на делимость, решаемые с применением принципа Дирихле

1

28.11

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют задачи и упражнения на делимость на применение принципа Дирихле

Логические задачи (4 часа)

24

Текстовые логические задачи

1

28.11

Урок систематизации и обобщения знаний и умений

Участвуют в работе по повторению. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

25

Решение логических задач: рыцари и лжецы

1

05.12

Комбинированный урок

Участвуют в работе по повторению. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

26

Решение логических задач матричным методом

1

05.12

Урок комплексного применения знаний и умений

Обсуждают тему: «Многообразие методов решения логических задач»

27

Решение логических задач, используя понятие графа

1

12.12

Урок комплексного применения знаний и умений

Обсуждают тему: «Самое лучшее из решений. За и против»

Взвешивания (2 часа)

28

Задачи на взвешивание на чашечных весах без гирь

1

12.12

Урок систематизации и обобщения знаний и умений

Участвуют в работе по повторению. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

29

Задачи на взвешивание на чашечных с набором гирь

1

19.12

Урок систематизации и обобщения знаний и умений

Обсуждают тему: «Многообразие методов решения задач на взвешивание»

Геометрия на клетчатой бумаге (5 часов)

30

Простейшие геометрические фигуры

1

19.12

Комбинированный урок

Участвуют в работе по повторению. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

31

Простейшие геометрические фигуры. Практическая работа

1

26.12

Урок систематизации и обобщения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на построение простейших геометрических фигур

32

Задачи о замощении плоскости. Орнаменты

1

26.12

Урок актуализации знаний и умений

Участвуют в работе по повторению. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

33

Разрезание фигур на равные части

1

16.01

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи по теме «Разрезание фигур на равные части».

34

Игры с пентамино

1

16.01

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и задачи по теме «Пентамино»

Четность (4 часа)

35

Чередование

1

23.01

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «Чередование. Что означают слова: четность, чередование, разбиение на пары»

36

Разбиение на пары

1

23.01

Урок систематизации и обобщения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи в которых нет содержательных математических идей. Здесь нет ничего трудного и непонятного. В этих задачах речь идет об одном несложном соображении - «четности».

37

Решение задач, используя понятия: четность, нечетность

1

30.01

Урок комплексного применения знаний и умений

Участвуют в работе по повторению. Выполняют упражнения и решают задачи на понимание четности. Оно, несмотря на свою простоту, возникает при обсуждении самых разных вопросов и оказывается полезным при решении многих (в том числе и трудных) задач

38

Решение задач математических олимпиад

1

30.01

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи, предлагаемые на математических олимпиадах

Поучительные игры (8 часов)

39

Игры без стратегий

1

06.02

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «Математические игры. Что означают слова: игра, математическая игра, поучительная игра, стратегия игры, выигрышные позиции»

40

Решение задач по теме «Игры без стратегий»

1

06.02

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи, исход которых не зависит от того, как играют соперники. Поэтому для решения такой игры не нужно указывать выигрышную стратегию, достаточно лишь доказать, что выиграет тот или иной игрок, независимо от того как будет играть

41

Симметричные стратегии

1

13.02

Урок усвоения новых знаний

Выполняют упражнения и решают задачи, исход которых зависит от того, как играют соперники. Участвуют в работе по решению задач, где один из игроков повторяет ходы другого, чтобы выиграть. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

42

Решение задач по теме «Симметричные стратегии»

1

13.02

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи, предлагаемые на математических олимпиадах

43

Играть, чтобы не проиграть. Выигрышные позиции

1

20.02

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на исследование игры и поиск выигрышных позиций

44

Решение задач на поиск выигрышных позиций для определенного игрока

1

20.02

Урок комплексного применения знаний и умений

Обсуждают тему: «Самое лучшее из решений. За и против»

45

Минимакс

1

27.02

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи, где один из игроков минимизирует, делает наименьшим максимальный выигрыш другого игрока

46

Решение олимпиадных задач по теме «Поучительные игры»

1

27.02

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи, предлагаемые на математических олимпиадах

Решение текстовых задач (11 часов)

47

Арифметические методы решения задач

1

05.03

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «Многообразие методов решения математических задач»

48

Задачи, решаемые с конца

1

05.03

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи, где исследовать задачу нужно с конца

49

Задачи, решаемые с конца. Самостоятельная работа

1

12.03

Урок контроля знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи по теме «Арифметические задачи»

50

Задачи на составление уравнений. Угадай число

1

12.03

Урок комплексного применения знаний и умений

Обсуждают тему: «Самое лучшее из решений. За и против»

51

Задачи на движение

1

19.03

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «Задачи на движение и методы их решения»

52

Задачи на движение по реке

1

19.03

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на движение по реке

53

Задачи на движение математических олимпиад

1

09.04

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на движение, предлагаемые на математических олимпиадах

54

Части и проценты

1

09.04

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «Задачи на части и проценты и методы их решения»

55

Задачи на проценты

1

16.04

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на проценты

56

Задачи на концентрацию

1

16.04

Урок усвоения новых знаний

Обсуждают тему: «Задачи на проценты, на концентрацию и сплавы и методы их решения»

57

Самостоятельная работа.

Задачи на сплавы

1

23.04

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на проценты

Конструкции (8 часов)

58

Переправы и разъезды

1

23.04

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на переправы и разъезды

59

Решение олимпиадных задач на переправы и разъезды

1

30.04

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на конструкции, предлагаемые на математических олимпиадах

60

Задачи на переливания

1

30.04

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на переправы и разъезды

61

Задачи на переливания и бильярд

1

07.05

Урок усвоения новых знаний

Тема для обсуждения: «Математика биллиарда»

62

Расстановки и размещения

1

07.05

Урок комплексного применения знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на расстановки и размещения

63

Решение олимпиадных задач на расстановки и размещения

1

14.05

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на конструкции, предлагаемые на математических олимпиадах

64

Разрезания и перекладывания

1

14.05

Урок усвоения новых знаний

Выполняют упражнения и решают задачи на разрезания и перекладывания

65

Решение олимпиадных задач по теме «Конструкции»

1

21.05

Урок актуализации знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи на конструкции, предлагаемые на математических олимпиадах

Решение задач по всему курсу (3 часа)

66

Арифметические задачи

1

21.05

Комбинированный урок

Участвуют в работе по повторению. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

67

Задачи на составление уравнение

1

25.05

Комбинированный урок

Участвуют в работе по повторению. В беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы, задают свои вопросы

68

Решение олимпиадных задач по всему курсу. Самостоятельная работа

1

25.05

Урок контроля знаний и умений

Выполняют упражнения и решают задачи по всему курсу

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Примерные задачи, предлагаемые для работы в классе и дома

Системы счисления

1. Что представляет собой двоичная система счисления?

2. Записать разряды двоичной системы счисления.

3. Как перевести число в двоичную систему счисления, используя картинки? Перевести в двоичную систему счисления числа 9, 12, 14, 15.

4. Где используется двоичная система счисления?

5. Почему система двоичных чисел является идеальной для компьютера?

6. Как называются числа 0 и 1? (бит)

7. Как называются группы из 8 битов? (байт)

8. Перевести в двоичную систему счисления примеры:

1. + 5 = 7,

7 + 8 = 15,

4. + 8 = 12,

9. + 7 = 16.

9. Перевести числа в десятичную систему счисления, используя картинки:

9. 1101 , 111 , 1001 , 1010 .

10. Перевести в двоичную систему счисления, используя удивительные разновески, число 365:

(365₁₀ = 256 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 101101101₂).

11. "ТРУДНАЯ ЗАДАЧА". Вычислить:

12. 10²+ 11² + 12² + 13² +14².

13. 365

14. Перевести в двоичную систему счисления число 999:

(999₁₀ = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1;

999₁₀ = 1111100111₂).

15. Перевести в десятичную систему счисления числа:

11100010101, 1010100011.

(11100010101₂ = 1024 + 512 + 256 + 16 + 4 + 1 =1813₁₀,

1010100011₂ = 512 + 128 + 32 + 2 + 1 =675₁₀).

16. Допустим, что в январе тебе подарили пару новорожденных кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара через два месяца после своего рождения рождает новую пару. Старая пара кроликов рождает новую пару уже каждый месяц. Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?

17. Продолжить ряд:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

18. На практике используется фибоначчиева система счисления. Записать разряды фибоначчиевой системы счисления.

19. Какие цифры используются в фибоначчиевой системе счисления?

20. Перевести число 97 в фибоначчиеву систему счисления.

21. Перевести числа из фибоначчиевой системы счисления в десятичную:

101001, 10101001, 10000100, 1000101.

22. Напишите наибольшее трехзначное число в четверичной системе счисления. (333).

23. Напишите наибольшее число, в котором все цифры различны:

а) в пятиричной системе счисления (43210);

б) в восьмеричной системе счисления (76543210).

24. Сколько цифр имеет наибольшее число, в котором все цифры различны, если основание системы счисления q? (q цифр).

25. Запишите наименьшее четырехзначное число:

а) в троичной системе счисления (1000);

б) в семеричной системе счисления (1000).

26. Используя все цифры шестиричной системы счисления, напишите наименьшее число (102345)

Арифметика

1. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

2. Вычислите сумму всех нечетных чисел, находящихся в первой тысяче

3. Вычислите: 99 - 97 + 95 - 93 + 91 - 89 + … + 7 - 5 + 3 - 1

4. Сколько существует целых положительных чисел, меньших 100, цифры которых идут в возрастающем порядке?

5. Вычислите сумму цифр всех чисел от 1 до 100 (включительно)

6. Найти двузначное число, которое от перестановки его цифр увеличится в 4,5 раза.

7. Некоторое число оканчивается на 2. Если эту цифру перенести в начало числа, то число удвоится. Найти наименьшее такое число.

8. Найти цифры сотен и единиц числа 42*4*, если известно, что оно делится на 72.

9. Найти два трехзначных числа, зная, что их сумма кратна 498, а частное кратно 5.

10. Найти частное двух чисел, если оно в два раза меньше одного из них и в шесть раз больше другого.

11. Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на 2 меньше этой суммы. Какое это число?

12. Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему из двузначных чисел, а цифра десятков в четыре раза меньше цифры единиц. Найти число.

13. Найти целое число, которое в семь раз больше цифр его единиц.

14. Трехзначное число начинается цифрой 4. Если эту цифру перенести в конец числа, то получим число, составляющее исходного. Найти исходное трехзначное число.

15. В учреждении стоят 14 канцелярских столов с одним, двумя и тремя ящиками. Столов с одним ящиком столько, сколько с двумя и с тремя ящиками вместе. Сколько столов с тремя ящиками?

16. По столбу высотой 100 метров взбирается улитка. За день она поднимается по столбу на 5 метров, за ночь опускается на 4 метра. Сколько дней ей потребуется, чтобы подняться на вершину столба?

17. У колхозника было несколько поросят одинакового веса и несколько одинакового веся ягнят. Мальчик спросил колхозника, сколько весит один поросенок и один ягненок. Колхозник ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?

18. В оранжерее были срезаны гвоздики: белых и розовых - 400 штук, розовых и красных - 300 штук, белых и красных - 440 штук. Сколько гвоздик каждого цвета было срезано в оранжерее?

19. Чтобы подняться с первого этажа на третий этаж дома, надо пройти 52 ступеньки. Сколько ступенек надо пройти, чтобы подняться с первого этажа на шестой этаж того же дома (число ступенек между всеми этажами одинаково)

20. В клетке находятся голуби и кролики, у которых вместе 25 голов и 74 лапки. Сколько в клетке голубей и сколько кроликов?

21. Гусеница ползет по стволу яблони. За первый час она поднялась на 10 см, за второй час она опустилась на 4 см, за третий час вновь поднялась на 10 см, а за четвертый час опустилась на 4 см. Так она продолжала подниматься и опускаться в течении нескольких часов. На сколько сантиметров поднимется гусеница за 11 часов?

22. Поверхность пруда постепенно закрывается вырастающими в нем кувшинками. Кувшинки растут столь быстро, что за каждый день закрываемая площадь увеличивается в два раза. Вся поверхность пруда закрывается за 30 дней. За сколько дней была закрыта кувшинками первая половина всей поверхности пруда?

23. Членам одной семьи сейчас вместе 73 года. Семья состоит из мужа, жены, дочери и сына. Муж старше жены на 3 года, дочь старше сына на 2 года. Четыре года тому назад членам семьи было вместе 58 лет. Сколько лет сейчас каждому члену семьи?

24. Два ученика решили купить по одной книге. Одному из них не хватило на покупку 1 копейки, а другому - 42 копейки. Когда они сложили свои деньги, им все равно не хватило денег для покупки даже одной книги. Сколько стоила книга?

25. Все натуральные числа, начиная с 1, записаны в порядке их возрастания: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …. Какая цифра в этой записи стоит на сотом месте?

26. Произведение четырех последовательных натуральных чисел равно 3024. найдите эти числа.

Признаки делимости

1. Найдите остатки от деления

а) 1989  1990  1991 + 1992³ на 7;

б) 9¹⁰⁰ на 8.

2. а) Докажите, что p² - 1 делится на 24, если р - простое число и р > 3.

б) Докажите, что p² - q² делится на 24, если p и q простые числа, большие 3.

3. Докажите, что n³ + 2n делится на 3 для любого натурального n.

4. Докажите, что n⁵ + 4n делится на 5 для любого натурального n.

5. Докажите, что n² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.

6. Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.

7. Докажите, что n³ - n делится на 24 для любом нечетном n.

8. Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

9. Даны a и b - натуральные числа, причем число a² + b² делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

10. Даны a, b и c - натуральные числа, причем число a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.

11. Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: p = p, q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.

12. Докажите, что сумма квадратов трех натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.

13. Сумма трех натуральных чисел, являющимися точными квадратами, делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

14. Найдите последнюю цифру числа 1989¹⁹⁸⁹.

15. Найдите последнюю цифру числа 2⁵⁰.

16. На какую цифру оканчивается число 777⁷⁷⁷?

17. Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 3.

18. Найдите остаток от деления 3¹⁹⁸⁹ на 7.

19. Докажите, что 2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²² делится на 7.

20. Найдите последнюю цифру числа .

21. а) р, р + 10, р + 14 - простые числа. Найдите р.

б) р, 2р + 1, 4р + 1 - простые числа. Найдите р.

22. р и 8р² + 1 - простые числа. Найдите р.

23. а) Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

б) Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом целого числа?

24. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

25. Р, 4р², 6р² + 1 - простые числа. Найдите р.

26. Докажите, что число 100…00500…001 (в каждой из которых 100 нулей) не является кубом целого числа.

27. Докажите, что a³ + b³ + 4 не является кубом целого числа ни при каких натуральных a и b.

28. Докажите, что число 6n³ + 3 не является шестой степенью целого числа ни при каком натуральном n.

29. а) а + 1 делится на 3. Докажите, что 4 + 7а делится на 3.

б) 2 + а и 35 - b делятся на 11. Докажите, что а + b делится на 11.

30. Найдите последнюю цифру числа 1² + 2² + … + 99².

31. Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.

32. Докажите, что сумма n последовательных нечетных натуральных чисел при n > 1 является составным числом.

33. Найдите наименьшее число, дающее остатки:

1 - при делении на 2,

2 - при делении на 3,

3 - при делении на 4,

4- при делении на 5,

5 - при делении на 6.

34. Докажите, что если (n - 1)! + 1 делится на n, то n - простое число.

35. Докажите, что существует такое натуральное n, что числа

n + 1, n + 2, …, n + 1989 - составные.

36. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

Принцип Дирихле

1. В клетках таблицы 3  3 расставлены числа 1, 0 и 1. Рассмотрим 8 сумм: суммы трех чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы быть различными?

2. В классе учится 29 человек. Саша Иванов допустил в диктанте 13 ошибок, и никто другой не сделал большего числа ошибок. Доказать, что по крайней мере трое учащихся имели одинаковое количество ошибок.

3. В пяти классах школы учатся 160 человек. Доказать, что найдутся 4 человека, у которых день рождения приходится на одну и ту же неделю.

4. В ящике лежат 10 пар черных перчаток и 10 пар красных перчаток одного размера. Сколько перчаток надо вытащить из ящика наугад, чтобы наверняка среди них были: а) две перчатки одного цвета; б) одна пара перчаток одного цвета; в) одна пара перчаток разных цветов?

5. Если бы мы добавили к ним еще 10 белых перчаток? Какое количество перчаток нужно было бы тогда вытащить, чтобы среди них наверняка были бы: а) две перчатки одного цвета; б) одна пара перчаток одного цвета; в) одна пара перчаток разных цветов?

6. В ящике лежат 10 пар перчаток К различных цветов. Сколько перчаток нужно вытащить из ящика наугад, чтобы среди них наверняка были: а) две перчатки одного цвета; б) одна пара перчаток одного цвета; в) одна пара перчаток разных цветов?

7. (Еще одно обобщение предыдущих задач). Предположим, что в ящике лежат n пар перчаток К разных цветов. Сколько перчаток нужно вытащить из ящика наугад, чтобы среди них наверняка были: а) две перчатки одного цвета; б) одна пара перчаток одного цвета; в) одна пара перчаток разных цветов?

8. 14 мальчиков собрали 106 орехов. Доказать, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов (каждый набрал хотя бы по одному ореху).

9. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

10. В четырех классах школы учатся 60 человек. Докажите, что хотя бы двое из них празднуют день рождения в одну и ту же неделю.

11. В ящике лежат сотня флажков  красные, зеленые, желтые и синие. Какое наименьшее число флажков надо взять не глядя, чтобы среди них оказалось не меньше, чем 10 одноцветных?

12. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Доказать, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

13. В ящике лежат цветные карандаши: 10 красных, 8 синих, 8 зеленых, 4 желтых. В темноте берём из ящика карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо: а) было не менее четырех карандашей одного цвета; б) был хотя бы один карандаш каждого цвета; в) было не меньше 6 синих карандашей?

14. В классе 14 учеников. Найдется ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше, чем 4 ученика этого класса?

15. В коробке лежат одинаковые по размеру мячики для игры в пинг-понг: 20 красных, 15 белых и 10 желтых. Какое наименьшее число мячиков надо взять наугад, чтобы среди них заведомо было не меньше трех: а) красных; б) одного цвета; в) разных цветов?

16. В 500 ящиках упакованы яблоки. Известно, что ящик не может вместить больше 240 яблок. Доказать, что, по крайней мере, 3 ящика содержат по одинаковому числу яблок.

17. Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?

18. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

19. Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдутся несколько (или, быть может, одно), сумма которых делится на n.

20. Доказать, что найдётся число вида 19711971...197100...0, которое делится на 1972.

21. Доказать, что для каждого натурального числа n найдётся натуральное число, все цифры которого пятёрки и нули, которое делится на n.

22. В одном доме живут 13 учеников одной и той же школы. В этой школе 12 классов. Докажите, что хотя бы два ученика, живущих в этом доме, учатся в одном и том же классе.

23. В школе 370 учащихся. Докажите, что среди учащихся этой школы обязательно найдутся хотя бы два ученика, отмечающие свой день рождения в один и тот же день.

24. В одном хвойном лесу 550000 елей. Ни на одной из них нет более 500000 игл. Докажите, что, по крайней мере, у двух елей в этом лесу игл одинаковое число.

25. В корзине лежат яблоки двух сортов. Наугад берут из этой корзины несколько яблок. Какое наименьшее число яблок нужно взять, чтобы среди них оказалось хотя бы два яблока одного сорта?

26. В коробке лежат 4 цветных карандаша и 10 простых. Из этой коробки наугад берут несколько карандашей. Какое наименьшее число карандашей надо взять из коробки, чтобы среди них обязательно оказалось не менее: а) двух цветных; б) трех простых?

27. В одном ящике лежат 10 пар коричневых и 10 пар черных носков, а в другом 10 пар коричневых и 10 пар чёрных перчаток. Из них, не глядя, вынимают несколько носков и несколько перчаток. Какое наименьшее число носков и перчаток надо извлечь из этих ящиков, чтобы из них можно было составить пару одноцветных носков и пару одноцветных перчаток (все носки и все перчатки одного размера)?

28. В ящике лежат разноцветные шарики: 5 белых, 12 красных и 20 чёрных. Какое наименьшее число шариков надо взять из ящика, не заглядывая внутрь, чтобы среди них оказалось обязательно: а) хотя бы по одному шарику всех указанных цветов; б) 10 шариков одного цвета?

29. У мальчика имеется 25 медных монет. Докажите, что у него 7 монет одного достоинства.

30. В клетке таблицы n  n записаны числа: 0, 1 и 1. Может ли быть так, чтобы сумма чисел по строкам, столбцам и большим диагоналям были различны?

31. В алфавите языка Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных букв, а словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Алфавит разбит на 6 непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.

32. У 21 мальчика имеются 200 орехов. Докажите, что как бы они не разделили их, найдутся два мальчика, которым достанется поровну орехов (может оказаться, что орехов им не достанется совсем).

33. 14 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов (каждый набрал хотя бы по одному ореху).

34. В олимпиаде участвовало 55 школьников. Все они сдали свои работы. При проверке каждой задачи выяснилось, что ни в каких двух работах одновременно не совпало количество плюсов и минусов. Найдите минимальное количество задач, которое могло быть предложено на олимпиаде. За решение могли ставить: " + ", если задача решена; "  ", если задача не решена; " 0 ", если задача не решалась.

Логические задачи

1. На некотором острове живут два племени: Рыцари и Лжецы (Рыцари всегда говорят правду, а Лжецы всегда лгут). Перед нами три островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо Рыцарь, либо Лжец. Двое из них (А и В) высказывают следующие утверждения:

А: «Мы все Лжецы»;

В: «Один из нас Рыцарь».

Кто из островитян (А, В, С) Рыцарь, а кто Лжец?

2. Перед нами три островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо Рыцарь, либо Лжец. Пусть А и В высказывают следующие утверждения:

А: «Мы все Лжецы»;

В: «Один из нас Лжец».

Можно ли определить, кто такой В: Рыцарь или Лжец?

Можно ли определить, кто такой С?

3. Однажды на лестнице я нашел странную тетрадь. В ней было написано 100 следующих утверждений:

В этой тетради ровно одно неверное утверждение.

В этой тетради ровно два неверных утверждения.

………………………………………………………..

В этой тетради ровно 100 неверных утверждений.

Какое утверждение верно?

4. Известно, что А.Н. Петров, Б.М. Петров, Г.К. Петров, К.М. Петров, К.Т. Петров, М.М. Петров, М.Н. Петров, Н.М. Петров, Н.К. Петров, Н.Т. Петров, Т.М. Петров являются представителями одного рода. Составьте схему родства Петровых, если известно, что у каждого отца было по два сына, внуков у основателя рода четыре, а у его сыновей по два.

5. Поблизости один от другого расположены два населенных пункта А и В. все жители А говорят только правду, а жители В все лгут. Жители А и В посещают друг друга. Ты находишься в каком то из этих пунктов. Какой вопрос (только один) ты можешь задать первому встретившемуся в этом пункте человеку, чтобы по ответу на этот вопрос ты мог установить А это или В?

6. На столе стоят три одинаковых ящика. В одном лежат два белых шарика, в другом - два черных, а в третьем - белый и черный. На ящиках сделаны надписи: «2 белых», «2 черных», «черный и белый». Но ни одна из этих надписей не является истинной. Как, вынув один шарик из одного ящика, узнать, какие шарики где лежат?

7. К берегу реки подошли 30 солдат. У того же берега была лодка и в ней двое ребят. Как переправить на другой берег весь отряд, если в лодке могут ехать или двое ребят или один солдат? Сколько раз лодка пересечет реку туда и обратно, если, в конце концов, она вернется на старое место, и оба мальчика будут на том же берегу?

8. В спортивный лагерь приехали три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша не Герасимов. Отец Володи инженер. Володя учится в 6 классе. Ученик с фамилией Герасимов учится в 5 классе. Отец ученика с фамилией Иванов - слесарь. Какая фамилия у каждого из трех учеников?

9. Встретились три друга: скульптор Белов, скрипач - Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжеволосый, но ни у одного нет волос того цвета, на который указывает его фамилия», - заметил Брюнет. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

10. Три подруги вышли белом, зеленом и синем платьях. Их туфли так же были белого, зеленого и синего цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми, Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой из подруг.

11. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке - не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?

12. В соревнованиях по бегу участвовали три бегуна: Авдеев, Васильев, Семенов. Перед забегом один зритель сказал, что первым придет Авдеев, другой - что Семенов не будет последним, а третий, что Васильев не придет первым. После забега оказалось, что один зритель угадал, а два других ошиблись. Как закончились соревнования, если известно, что все три бегуна закончили бег в разное время?

13. Четыре ученицы: Аня, Валя, Галя и Даша заняли первые четыре места по гимнастике, причем никакие две из них не делили между собой какие-нибудь два места. На вопрос «Какое место заняла каждая из них?» трое зрителей дали три разных ответа:

1. Аня заняла второе место, Даша - третье.

2. Аня - первое место, Даша - второе.

3. Галя - второе место, Даша - четвертое.

В каждом из этих ответов одно высказывание истинно, а другое ложно. Какое место заняла каждая ученица?

14. В шахматном турнире принимали участие 6 игроков разной специальности: токарь, слесарь, инженер, учитель, врач и шофер. Известно, что в первом туре Андреев играл с врачем, учитель с Борисовым, а Григорьев с Евдокимовым. Во втором туре Дмитриев играл с токарем, а врач с Борисовым. В третьем туре Евдокимов играл с инженером. Установите, кто какую имел специальность, если по окончании турнира места распределились так: Борисов - первое место, Григорьев и инженер поделили второе и третье места (набрали одинаковое число очков), Дмитриев занял четвертое место, а Воронов и слесарь поделили пятое и шестое места.

15. В купе одного из вагонов поезда Москва-Одесса ехали москвич, ленинградец, туляк, киевлянин, харьковчанин и одессит. Их фамилии начинались буквами А, Б, В, Г, Д и Е. В дороге выяснилось, что А и москвич - врачи; В и ленинградец - учителя, а туляк и В - инженеры. Б и Е участники Отечественной войны, а туляк в армии совсем не служил. Харьковчанин старше А, одессит старше В. Б и москвич сошли в Киеве, а В и харьковчанин в Виннице. Определите профессию каждого из шести пассажиров и место жительства каждого из них.

16. Четыре ученицы - Маша, Лиза, Женя и Катя - умели играть на разных инструментах (арфе, рояле, гитаре и скрипке), но каждая только на одном. Эти же ученицы владели разными иностранными языками (английским, французским, немецким и испанским). Но каждая только одним из этих языков. Известно, что:

    1. Та, которая играет на гитаре, говорит по-испански;

    2. Лида не играет ни на скрипке, ни на арфе и не знает английского языка;

    3. Маша не играет ни на скрипке, ни на арфе и не знает английского языка;

    4. Та, которая говорит по-немецки, не играет на арфе;

    5. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто, на каком инструменте, играет и какой язык знает?

Поучительные игры

Четность. Чередование

1. Конь вышел с поля а₁ и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.

2. Может ли конь пройти с поля а₁ на поле h₈, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

3. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все ее звенья?

4. На хоккейном поле лежат три шайбы А, В и С, Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?

5. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка - одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?

Четность. Разбиение на пары

6. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

7. Можно ли доску размером 5  5 заполнить доминошками размером 1  2?

8. Дан выпуклый осесимметричный 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин. Что можно сказать в случае 10-угольника?

9. Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

10. Из набора домино выбросили все кости с «пустышками». Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

11. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?

12. На доске 25  25 расставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

13. Допустим теперь, что расположение шашек в задаче 12 симметрично относительно обеих диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.

14. В каждой клетке квадратной таблицы 25  25 записано одно из чисел 1, 2, 3, …, 25. При этом, во-первых, в клетках, симметричных относительно главной диагонали, записаны равные числа, а во-вторых, ни в какой строке и ни в каком столбце нет двух равных чисел. Докажите, что числа по главной диагонали различны.

Четность и нечетность

15. Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

16. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все его страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

17. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

18. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

19. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и « - » так, значение полученного выражения было равно нулю?

20. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгает на 1см в какую-то сторону, во второй раз - на 2см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

21. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов, на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

22. Можно ли покрыть шахматную доску доминошками 1  2 так, чтобы свободными остались только клетки а₁ и h₈?

23. К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра, полученной суммы, четна.

24. В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?

25. На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка АВ. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки А не равна сумме расстояний от этих точек до точки В.

26. По кругу расставлены 9 чисел - 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

27. 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа - мальчики.

28. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет через целое число часов.

29. Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?

Игры без стратегии

30. Двое по очереди ломают шоколадку 6  8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?

31. Имеется три кучки камней: в первой - 10, во второй - 15, в третьей - 20. За ход разрешается любую кучку разбить на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?

32. Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он четен, то выигрывает первый игрок, если нечетен, то второй. Кто выиграет?

33. Двое по очереди, ставя ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?

34. На доске написано 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разные - единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то выигрывает первый игрок, если двойка - то второй. Кто выиграет?

Симметричные стратегии

35. На столе лежат две одинаковые кучки спичек. Двое ходят по очереди. За один ход можно взять из одной кучки произвольное число спичек. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет?

36. На столе лежат две одинаковые кучки спичек. Двое ходят по очереди. За один ход можно взять из одной кучки произвольное число спичек. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет?

37. На столе лежат две одинаковые кучки спичек. Двое ходят по очереди. За один ход можно взять из одной кучки произвольное число спичек. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет?

38. Двое по очереди выкладывают пятачки на круглый стол так, чтобы монеты не перекрывались. Двигать уже лежащие на столе монеты нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выиграет?

39. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга (цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

40. Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга (цвет коней значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

41. Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга (цвет коней значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

42. а) Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски. Очередным ходом надо побить хотя бы одну небитую клетку. Слон бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Та же игра, но с ладьями.

43. Дана клетчатая доска 10  10. За ход разрешается покрыть любые две соседние клетки доминошкой (прямоугольником 1  2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

44. В каждой клетке доски 11  11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает игрок, снявший последнюю шашку.

45. В каждой клетке доски 11  11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает игрок, снявший последнюю шашку.

46. У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

47. У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

48. Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9  9. Начинающий ставит крестики, его соперник - нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов - это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше, чем крестиков - очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает. Кто выиграет при правильной игре?

Минимакс

49. Малыш и Карлсон делят между собой 10 конфет следующим образом: Карлсон делит конфеты на две кучки, а Малыш выбирает себе одну из них. По сколько конфет могут обеспечить себе Малыш и Карлсон?

50. Два кота украли цепочку из шести сосисок и теперь делят ее между собой. По очереди каждый кот перекусывает по одной перемычке между сосисками и съедает появившиеся при этом одиночные сосиски. Коты знают теорию игр. Кому сколько достанется?

Выигрышные позиции

51. Ладья стоит на поле а₁. За один ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h₈. Кто выиграет при правильной игре?

52. (Одинокий король) Король стоит на поле а₁. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, или на одно поле вверх, или на одно поле по диагонали «вправо - вверх». Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h₈. Кто выиграет при правильной игре?

53. (Одинокий ферзь) На поле а₁ шахматной доски стоит ферзь. За один ход его можно передвинуть на несколько полей вправо, или на несколько полей вверх, или на несколько полей по диагонали «вправо - вверх». Проигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h₈. Кто выиграет при правильной игре?

54. (Одинокий ферзь) На поле с₁ шахматной доски стоит ферзь. За один ход его можно передвинуть на несколько полей вправо, или на несколько полей вверх, или на несколько полей по диагонали «вправо - вверх». Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h₈. Кто выиграет при правильной игре?

55. На клетчатой доске размером 7  11 в левом нижнем углу стоит ферзь. Двое ходят по очереди и каждым ходом могут продвинуть ферзя на несколько полей вправо, вверх или по диагонали «вправо - вверх». Выигрывает тот, кто попадает в правый верхний угол. Кто выиграет при правильной игре?

56. Двое играют в следующую игру. Перед ними на столе несколько спичек. Ходят по очереди. Каждым ходом игрок берет из кучки одну или две спички. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Исследуйте в зависимости от начального числа спичек эту игру. Кто выиграет и как для этого ему надо играть?

57. Двое играют в следующую игру. Перед ними на столе несколько спичек. Ходят по очереди. Каждым ходом игрок берет из кучки одну или две спички. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Исследуйте в зависимости от начального числа спичек эту игру. Кто выиграет и как для этого ему надо играть?

58. На столе лежат две кучки спичек: в одной 6, а в другой 4 штуки. Двое ходят по очереди. Одним ходом можно взять одну спичку из любой кучки или по одной спички из обеих куч. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

59. Двое играют в следующую игру. Они называют по очереди числа. В первый раз называется заданное число n. Затем каждый называет разность между последним числом, названным другим игроком и каким-нибудь его делителем (включая единицу и само это число). Проигрывает тот, кто назовет ноль. Исследуйте игру для n = 12.

60. На доске лежат две кучки спичек. Одним ходом можно взять одну или две спички из любой кучки или по одной спички из обеих кучек. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку.

61. Имеется две кучки конфет: в одной - 20, в другой - 21. За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две, не обязательно равных, кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

62. На концах клетчатой полоски 1  20 стоит по шашке. За ход разрешается сдвинуть любую шашку в направлении другой на одну или на две клетки. Перепрыгивать шашкой через шашку нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

63. В коробке лежат 300 спичек. За ход разрешается взять из коробка не более половины имеющихся в ней спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

64. Имеется три кучки камней: в первой - 50, во второй - 60, в третьей - 70. Ход состоит в разбиении каждой кучки, состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню.

Инвариант

65. На столе стоит 7 стаканов, все вверх дном. За один ход можно одновременно перевернуть два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли вниз дном?

66. Записать на доске 11 чисел - 6 нулей и 5 единиц. Теперь 10 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа; если они были одинаковыми, дописать к оставшимся числам один ноль, а если разные - единицу. Какое число останется на доске?

67. Круг разбит на 6 секторов, в которых по часовой стрелке расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается прибавить по единице к любым двум соседним числам. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали одинаковыми?

68. Круг разбит на 5 секторов, в которых по часовой стрелке расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5. За один ход разрешается прибавить по единице к любым двум соседним числам. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали одинаковыми?

69. Можно ли обойти конем шахматную доску, начав путь в одном углу и закончив его в противоположном, и побывав на каждом поле ровно один раз?

70. На каждой клетке шахматной доски 5  5 стоит конь. Можно ли одновременно сделать ход всеми конями таким образом, чтобы все клетки доски оказались занятыми?

71. Круг разбит на 6 секторов, в каждом из них стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ним сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

72. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 19, 20. Разрешается стереть любые два числа а и b и вместо них написать число a + b - 1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

73. В таблице 8  8 одна из клеток закрашена черным цветом, все остальные - белые. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

74. В таблице 3  3 покрашена в черный цвет лишь одна угловая клетка. Можно ли с помощью перекрашивания строк и столбцов добиться того, чтобы все клетки стали белыми?

Алгебра

Задачи, решаемые с конца

1. Колхозница продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол яйца, вторая - половину остатка и еще пол яйца, а третья последние 10 яиц. Сколько яиц принесла колхозница на рынок?

2. мать поручила детям, брату и сестре, разложить пакет конфет так, чтобы к обеду для гостей было оставлено половину всех конфет и еще 3 штуки, к завтраку для всей семьи - половину оставшихся конфет и еще 3 штуки и к вечернему чаю - половину оставшихся конфет и еще три штуки. Дети разложили конфеты в 3 вазы так, как велела мать, и у них осталось еще 4 конфеты, которые им разрешили съесть самим. Сколько всего было конфет в пакете?

3. Из корзины взяли половину всего количества яиц, потом еще половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально?

4. Магазин в первый день продал половину привезенных гусей, да еще гуся; во второй день - часть остатка, да еще гуся; в третий день - второго остатка, да еще гуся; в четвертый день - остатка, да еще оставшихся 19 гусей. Сколько всего гусей привезли в магазин?

5. В пакете лежали яблоки. Сначала из него взяли половину всех яблок без пяти, а затем оставшихся яблок. После этого в пакете осталось 10 яблок. Сколько яблок было в пакете?

6. На полке стоят тарелки. Сначала взяли часть всех тарелок без двух, а потом оставшихся тарелок. После этого на полке осталось 9 тарелок. Сколько тарелок было на полке?

7. С рынка возвращались две колхозницы. Одна из них спросила другую: «Что ты продавала?». Ответ был таким: «Я продавала дыни и получилось так, что первому покупателю я продала половину всех дынь и еще пол дыни, второму - половину оставшихся у меня дынь и еще пол дыни. Третьему покупателю я продала так же половину оставшихся после второго покупателя дынь и еще пол дыни. Больше дынь у меня не осталось». Сколько дынь продала эта колхозница?

8. Мать купила яблоки. Два из них взяла себе, а остальные разделила между тремя своими сыновьями так: первому она дала половину всех яблок и еще половину яблока, второму - половину остатка и еще половину яблока, третьему - половину нового остатка и оставшуюся половину яблока. Сколько яблок купила мать? Сколько яблок получил каждый из сыновей?

9. В ящике лежали лимоны. Сначала из него взяли половину всех лимонов и еще половину лимона, затем половину остатка и еще половину лимона, наконец, половину нового остатка и еще половину лимона. После этого в ящике остался 31 лимон. Сколько лимонов было в ящике?

10. Мать для трех своих сыновей оставила утром тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым проснулся старший из сыновей. Увидев нВ столе сливы он, съел треть часть их и ушел. Вторым проснулся средний. Думая, что его братья еще не ели слив, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел. Позднее всех встал младший. Увидев сливы, он решил, что его братья еще не ели их, а потому съел третью часть лежавших на тарелке слив, после чего на тарелке осталось 8 слив. Сколько всего слив было на тарелке вначале?

11. Три брата собрали в саду некоторое количество слив и решили съесть их утром за завтраком. Брат, проснувшийся первым, сосчитал сливы, одну из них положил в карман. Чтобы съесть ее потом, а третью часть оставшихся слив съел. Проснувшийся вторым поступил точно так же: одну сливу положил в карман, а третью часть оставшихся слив съел. Точно так же поступил и третий из них. Потом, когда они собрались вместе, оставшиеся сливы разделили поровну, выбросив предварительно одну сливу, начавшую портиться. Какое наименьшее число слив могли собрать братья?

Задачи на проценты

17. Морская вода содержит 5 % соли (по весу). Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составляло 2 %?

19. Рыночная цена картофеля в связи с ненастной погодой повысилась на 20 %. Через некоторое время цена картофеля на рынке понизилась на 20 %. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения цены и на сколько процентов?

21. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99 %. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98 %. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

23. Сплав серебра с золотом содержит 40 % золота. Сколько нужно добавить килограммов золота к слитку сплава весом 10 кг, чтобы в образовавшемся новом сплаве золота стало 80 %?

24. Мешок сахара подмок и стал весить больше на 30 %. Затем его подсушили до тех пор, пока вес подмоченного товара не уменьшился на 30 %. Вернулся ли вес товара к первоначальному?

28. На сколько процентов увеличится площадь квадратного садового участка, если его периметр увеличится на 20 %?

29. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольного садового участка, если длины всех его сторон увеличатся на 40 % каждая?

30. Как изменится площадь прямоугольного садового участка, если его длину увеличить на 30 %, а ширину на столько же процентов уменьшить?

31. Множимое увеличили на 10 %, а множитель уменьшили на 10 %. Как изменилось произведение?

32. Цену на товар уменьшили на 10 %, а потом еще на 10 %. Стал бы он дешевле, если бы его цену сразу снизили на 20 %?

33. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10 %, а затем увеличили на 10 %. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 10 %, а затем уменьшили на 10 %. В какой бочке стало воды больше?

34. Женя за весну похудел на 20 %, потом за лето поправился на 30 %, за осень опять похудел на 20 %, а за зиму поправился на 10 %. Поправился или похудел Женя за год?

Задачи на совместную работу

1. В городе есть водоем. Одна из труб может заполнить его за 4 ч. Вторая - за 8 ч, а третья - за 24 ч. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу три трубы?

2. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3 ч, а другой - за ч. Через сколько времени они встретятся?

3. Бассейн заполняется через две трубы за ч. Если открыть одну первую трубу, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько времени наполнится бассейн через одну вторую трубу?

4. Чтобы выкачать из цистерны нефть, поставили два насоса различной мощности. Если бы действовали оба насоса, то цистерна оказалась бы пуста через 12 мин. Оба действовали в течении 4 мин, после чего работал только второй насос, который через 24 мин выкачал всю оставшуюся нефть. За сколько минут каждый насос, действуя один, мог бы выкачать всю нефть?

5. Чтобы испечь 100 блинов, Лене требуется 30 мин, а Оле 40 минут. Сережа съедает 100 блинов за 1 час. Лена и Оля пекут блины без остановки, а Сережа непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажутся ровно 100 блинов?

6. Для разравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая машина может выполнить всю работу за 36 дней, а вторая - за 45 дней. За сколько дней выполнят всю работу обе машины, работая совместно?

7. Из двух городов одновременно выехали автобус и легковая машина. Автобус проезжает весь путь за 12 ч, а легковая машина - за 6 ч. Через сколько времени они встретятся?

8. Три экскаватора различной мощности могут отрыть котлован, работая отдельно: первый - за 10 дней, второй - за 12 дней, а третий - за 15 дней. За сколько времени они отроют котлован, работая совместно?

9. Школа заказала в швейной мастерской спортивную форму для участников соревнований. Одна швея может выполнить заказ за 20 дней, второй для выполнения заказа требуется этого времени, а третья - в раза больше времени, чем второй. За сколько времени выполнят весь заказ три швеи, работая совместно?

10. Водоем наполняется двумя трубами за 5 часов, а через одну первую трубу - за 6 часов. Через сколько времени будет наполнен водоем, если открыть только одну вторую трубу?

11. Два трактора вспахали поле за 6 часов. Первый трактор, работая один, вспахал бы это поле за 15 часов. За сколько времени вспахал бы это поле второй трактор, работая один?

12. К ванне подведены два крана. Через один кран ванна может наполниться за 12 мин, а через другой - в раза быстрее. За сколько минут наполнится ванны, если открыть сразу оба крана?

13. Плавательный бассейн наполняется двумя трубами при их совместной работе за 48 мин. Через первую трубу бассейн может наполниться за 2 ч. За сколько времени наполнится бассейн на своего объема через одну вторую трубу?

14. Две снегоуборочные машины могут убрать снег за 6 ч. После 3 ч совместной работы первую машину отправили в другой район города, а оставшаяся машина закончила уборку за 5 ч. За сколько часов каждая машина, работая отдельно, может выполнить всю работу?

15. Один каменщик может выполнить задание за 9 дней, а другой - за 12. Первый каменщик работал над выполнением этого задания 6 дней, после чего работу закончил второй каменщик. За сколько дней было выполнено задание?

16. Две машинистки напечатали рукопись за 6 ч. Одна из них работает в 3 раза быстрее, чем вторая. Во сколько дней могла бы напечатать эту рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

17. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев за 12 дней. Сколько дней потребуется на выполнение этой работы одной первой бригаде, если она может выполнить ее в раза быстрее?

Задачи на составление уравнений

1. У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?

2. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

3. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?

4. Некоторое число уменьшили на 7, потом уменьшили в 10 раз и получили число, которое на 34 меньше исходного. Найти исходное число

5. Найти такое число, что если его умножить на 52, затем произведение уменьшить в 5 раз, то получим число, которое на 1994 больше исходного

6. Найти два таких числа, что их сумма втрое больше их разности и вдвое меньше их произведения

7. Сумма двух чисел равна 180, частное от деления большего числа на меньшее равно 5. Найти эти числа

8. Отцу столько лет, сколько сыну и дочери вместе. Сын вдвое старше сестры и на 20 лет моложе отца. Сколько лет каждому?

9. Сейчас Сереже 11 лет, а Вове 1 год. Сколько лет будет Сереже и Вове, когда Сережа станет втрое старше Вовы?

10. Отец старше сына в 4 раза. Через 20 лет он будет старше сына в 2 раза. Сколько сейчас лет отцу?

11. Отец старше сына в 4 раза, а сумма их возрастов составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет втрое старше сына?

12. Нам обоим вместе 63. сейчас мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам сейчас. Сколько сейчас лет мне и сколько Вам?

13. Сестре вдвое больше лет, чем было брату тогда, когда сестре было столько лет, сколько брату теперь. Когда брату будет столько лет, сколько сестре сейчас, им обоим вместе будет 28 лет. Сколько сейчас лет сестре и сколько брату?

14. Когда Коля был молод, как Оля, много лет было тетушке Поле - годом меньше, чем Коле теперь вместе с Олей. Сколько лет было Коле, когда тетушка Поля была в возрасте Коли?

15. Найти 2 числа, которые в сумме дают число 1983, если известно, что одно больше другого на 5

16. Сумма двух чисел равна 462. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найти эти числа

17. Если к некоторому двузначному числу приписать справа цифру 0, то это число увеличится на 252. Найти это двузначное число

18. Если в некотором трехзначном числе, оканчивающимся нулем, отбросить этот нуль, то число уменьшится на 351. Найдите это трехзначное число

19. Я задумал число, прибавил к нему 1, умножил сумму на 2, произведение разделил на 3 и от результата отнял 4. Получилось 6. Какое число я задумал?

20. В двух сосудах по 540 литров. Из первого сосуда вытекает 25 л/мин. Из второго сосуда вытекает 15 л/мин. Через сколько минут во втором сосуде останется в 6 раз больше литров, чем в первом?

21. На одной чашке весов лежат 6 одинаковых пачек чая и гиря в 50 г, а на другой чашке весов лежит одна такая же пачка чая и гири в 100 г и 200 г. Весы находятся в равновесии. Определить, сколько граммов весит одна пачка чая?

22. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту 2 картофилины, а другой - 3 картофелины. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 минут больше первого?

23. В пяти ящиках лежат по одинаковому числу яблок. Если из первого ящика вынуть 60 яблок, то во всех ящиках останется столько яблок, сколько раньше их было в двух ящиках. Сколько яблок было в каждом ящике?

24. У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: «Я могу помочь тебе. Каждый раз когда ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24 копейки». Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там было пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Задачи на движение

25. Автомобиль из А в В ехал со скоростью 50 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость?

26. Два грузовика одновременно вышли из А в В. Первый половину времени, затраченного им на весь путь, шел со скоростью 50 км/ч, а остальную часть времени шел со скоростью 40 км/ч. Второй грузовик первую половину пути шел со скоростью 40 км/ч, а вторую - со скоростью 50 км/ч. Какой из этих грузовиков раньше прибыл в В?

27. Поезд проходит мост длиной в 450 м за 45 секунд и 15 секунд идет мимо телеграфного столба. Вычислить длину поезда и его скорость

28. Пароход идет от Самары до Астрахани 5 суток, а обратно - 7 суток. Сколько времени плывут плоты от Самары до Астрахани?

29. Велосипедист проехал 5/7 пути и еще 40 км и ему осталось 0,75 пути без 118 км. Как велик его путь?

30. Пловец плывет вверх против течения Невы. Возле Республиканского моста он потерял пустую флягу. Проплыв еще 20 минут против течения, он заметил свою потерю и вернулся догонять флягу. Догнал он возле моста Лейтенанта Шмидта. Какова скорость течения Невы, если расстояние между мостами равно 2 км?

31. Инженер ежедневно приезжал на станцию в одно и тоже время, и в это же время за ним подъезжала машина, на которой он ехал на завод. Однажды инженер приехал на станцию на 55 минут раньше обычного, сразу пошел навстречу машине и приехал на завод на 10 минут раньше обычного. Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины?

32. Полпути ехал велосипедист со скоростью 20 км/ч, а остальные полпути со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста?

33. Из Ангарска в Иркутск ехал автомобиль со скоростью 45 км/ч, а обратно - со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость?

34. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них 15 км/ч, а другого 10 км/ч. Вместе с первым велосипедистом выбежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго велосипедиста, собака повернула обратно и побежала навстречу первому велосипедисту. Встретив первого велосипедиста, она снова повернула. Собака бегала между велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Сколько километров пробежала собака?

35. От города А до города В поезд шел 16 часов. Обратный путь этот поезд прошел со скоростью на 20 км/ч большей и поэтому прошел весь путь на 4 часа бастре. С какой скоростью шел поезд от А до В и чему равно расстояние от А до В?

36. Если Аня идет в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает полтора часа. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь занимает у нее 30 минут. Сколько времени тратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она идет пешком?

37. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде или половину пути проехать на мотоцикле, который движется вдвое быстрее велосипеда, а вторую половину - пешком, что вдвое медленнее, чем ехать на велосипеде?

38. Два школьника, живущие в одном доме, одновременно вышли из дома в школу. Первый из них половину всего времени, затраченного на дорогу, шел со скоростью 5 км/ч, а затем шел со скоростью 4 км/ч. Второй же первую половину всего пути от дома до школы шел со скоростью 4 км/ч, а вторую со скоростью 5 км/ч. Какой из школьников пришел в школу раньше?

Комбинаторика. Элементы теории множеств

1. Сколькими способами можно рассадить 6 человек за столом?

2. Сколькими способами они встали в хоровод?

3. Сколькими способами можно составить ожерелье из 6 различных бусин?

4. От ул. Октябрьской до цирка можно проехать через ул. Северную и Южную. В первом случае число дорог - 4, во втором - 3. Ск. Способами можно добраться с ул. Октябрьской до цирка?

5. Сколько существует трехзначных чисел, в запись которых входит ровно одна цифра 5?

6. Из Перми до Чайковского можно добраться теплоходом, поездом, автобусом или самолетом. Из Чайковского до Ижевска - теплоходом или автобусом. Ск. Способами можно осуществить путешествие по маршруту Пермь - Чайковский - Ижевск?

7. В киоске продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт и марку?

8. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если

а) ни одна цифра не повторяется больше одного раза в записи числа

б) Цифры в записи числа могут повторяться

в) Цифры могут повторяться в записи числа, но число должно быть нечетным?

9. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную из слова «КОНВЕРТ»?

10. Сколько семизначных чисел не содержит цифры 2?

11. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

12. В магазине «Все для чая» есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

13. В Стране Чудес есть три города: А, Б, В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В - 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

14. В Стране Чудес есть еще и город Г и несколько новых дорог. Из города А в город Г ведут 3 дороги, а из города Г в город В ведут две дороги. Сколькими способами можно теперь добраться из города А в город В?

15. В магазине «Все для чая» по-прежнему продаются 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

16. Имеется 8 шаров. В первый ящик положили 5 шаров, во второй - 3 шара. Сколькими способами можно вытащить один шар?

17. В первом ящике 5 зеленых шаров, во втором - 3 красных шара. Сколькими способами можно вытащить один зеленый и один красный шар?

18. Назовем натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?

19. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

20. Каждую клетку квадратной таблицы 2  2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

21. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв: А, Б, В. Словом считается любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

22. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

23. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

24. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

25. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

26. В звене 12 человек. Требуется выбрать звеньевого, санитара, командира. Сколькими способами это можно сделать?

27. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр

1, 2, 3, … 9?

28. В кружке юных математиков 25 членов. Сколькими способами можно выбрать председателя кружка, заместителя, редактора стенгазеты и секретаря?

29. В отряде имеется 4 звена по 8 человек. Сколькими способами можно выбрать командира, заместителя, барабанщика, спорторга, культорга?

30. В группе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту, командира, знаменосца?

31. В одном городе были трехзначные велосипедные номера. Однако велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 0 и 8. (Первая из них похожа на вытянутое колесо, а что означает для велосипедиста восьмерка колеса, знает каждый). Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек?

Графы

1. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?

2. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

3. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?

4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга, а 10 по 5 друзей?

5. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединен с тремя другими; 8 телефонов, каждый из которых соединен с шестью другими; 3 телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

6. У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства 1, 5 или 9 соседних баронств?

7. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходят 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

8. Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются 7 островов, с каждого из которых ведет 1, 3 или 5 мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов выходит на берег озера?

9. Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

10. Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

11. В стране Семерка 15 городов, каждый из которых соединен дорогами не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

12. В тридевятом царстве лишь один вид транспорта - ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний - одна, а из всех остальных городов - по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно с пересадками).

13. В стране из каждого города выходит 100 дорог и от любого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь от любого города можно добраться до любого другого.

14. Волейбольная сетка имеет вид прямоугольника размером 50  500 клеток. Какое наибольшее число веревочек можно перерезать так, чтобы сетка не распалась на куски?

15. В некоторой стране 30 городов, причем каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый?

16. Доказать, что в любом связном графе можно удалить вершину вместе со всеми выходящими из нее ребрами так, чтобы он остался связным?

17. В стране 100 городов, некоторые из них соединены авиалиниями. Известно, что от любого города можно долететь до любого другого (возможно с пересадками). Докажите, что можно побывать в каждом городе, совершив не более а) 198 перелетов; б) 196 перелетов.

18. В стране Озерная 7 озер, соединенных между собой 10 каналами, причем от любого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов?

19. В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?

20. Докажите, что каждого графа справедливо неравенство 2E  3F.

21. Для плоского связного графа справедливо неравенство E  3V - 6.

22. Докажите, что для любого плоского графа (в том числе и несвязного) справедливо неравенство E  3V - 6.

23. Доказать, что граф, имеющий 5 вершин, каждая из которых соединена ребром с любой другой, не является плоским.

24. Можно ли построить три дома, вырыть три колодца и соединить каждый дом с каждым колодцем так, чтобы тропинки не пересекались?

25. Докажите, что граф, имеющий 10 вершин, степень каждой из которых равна 5, не является плоским.

26. Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5.

27. Каждое ребро полного графа с 11 вершинами покрашено в один из двух цветов; красный или синий. Докажите, что либо «красный», либо «синий» граф не является плоским.

Геометрия

1. (1.1) Можно ли расположить на плоскости 8 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими? Тот же вопрос для 7 отрезков. (На рисунке показано, что 6 отрезков так расположить можно.)

2. (1.2) На рисунке а 7 прямых пересекаются в 7 точках, на рисунке б - в 9 точках. Могут ли 7 прямых пересекаться в 8 точках? Сколько, вообще, может быть точек пересечения у 7 прямых? (Перечислите все возможные значения.)

3. (1.9) Какое наибольшее число веревочек, соединяющих соседние узлы волейбольной сетки с квадратными ячейками, можно разрезать так, чтобы сетка не распалась на отдельные куски?

Размеры сетки - 10 х 100 ячеек.

4. (Математические задачи. Е.Б. Дынкин и др; 1) на рисунке изображен многоугольник ABCDE. Из точки О видны полностью стороны AB, DE и ЕА и лишь частично сторона CD.

а) Нарисовать какой-нибудь многоугольник и точку О внутри него так, чтобы ни одно сторона не была видна из нее полностью.

б) Нарисовать многоугольник и точку О вне его так, чтобы ни одно сторона не была видна из нее полностью.

5. (3) Расстояние между деревнями А и В по шоссе равно 3 км. В деревне А 100 школьников, в деревне В 50 школьников. На каком расстоянии от деревни А надо построить школу, чтобы общее расстояние, которое придется пройти всем 150 школьникам, было наименьшим?

6. (4) Пользуясь одним только циркулем, построить вершины квадрата, вписанного в данную окружность. (Центр окружности известен.)

7. (8) Через вершину А выпуклого четырехугольника ABCD проведите прямую, разбивающую его на две фигуры одинаковой площади.

8. (23) На плоскости даны 4000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что можно найти 1000 непересекающихся четырехугольников с вершинами в этих точках.

9. (24) С помощь циркуля и линейки разделить данный угол в 19 на 19 равных частей.

10. (32) Построить четырехугольник ABCD по четырем сторонам и углу между сторонами АВ и CD.

11. (37) Расположить шесть круглых неотточенных карандашей так, чтобы каждые два из них прикасались друг к другу.

12. (38) Докажите, что нельзя провести прямую так, чтобы она пересекала все стороны 1001-угольника.

13. (44) В выпуклом четырехугольнике найти точку, для которой сумма расстояний до вершин минимальна.

14. (52) Внутри выпуклого 100-угольника выбрано 30 точек так, что из 130 точек (100 вершин и 30 выбранных точек) никакие три не лежат на одной прямой. 100-угольник разрезали на треугольники так, Что совокупность вершин всех этих треугольников состоит из 30 выбранных точек и 100 вершин первоначального многоугольника. Сколько имеется треугольников?

15. (53) На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка - одна из его вершин. Построить этот треугольник.

16. (57) Построить квадрат, зная по одной точке на каждой его стороне.

17. (65) Предположим, что длина спички равна 1. Составить из 12 спичек многоугольник, ограничивающий площадь, равную четырем квадратным единицам.

18. (69) Сторона квадрата равна единице. Через его центр проведена произвольная прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырех вершин квадрата до этой прямой.

19. (75) Построить треугольник, зная его основание, угол при вершине и медиану к боковой стороне.

20. Построить треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне

21. Построить прямоугольный треугольник АВС, если даны острый угол В и биссектриса BD.

22. Построить треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведенной из вершины другого угла.

23. Постройте треугольник по периметру и двум углам.

24. Найти множество центров окружностей, проходящих через две данные точки.

25. Как разрезать треугольник с углами 15, 105 и 60 на равнобедренные треугольники?

26. Всякий ли треугольник можно разрезать на несколько равнобедренных треугольников?

27. Сколько прямых достаточно провести, чтобы получить 6 точек пересечения?

28. Докажите, что если биссектрисы углов АВС и CBD перпендикулярны, то точки A, B, D лежат на одной прямой.

29. Биссектриса угла треугольника пересекает сторону под углом 85 и биссектрису одного из углов под углом 54. Найти величины углов треугольника.

30. Доказать, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.

31. Построить параллелограмм, у которого середины трех сторон лежат в заданных точках.

32. Найти угол между двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

33. Медиана и высота треугольника АВС, проведенные из одной вершины А делят на три равные части угол А. Доказать, что треугольник АВС - прямоугольный.

34. Высоты треугольника пересекаются в точке О. Известно, что ОС = АВ. Найти угол при вершине С.

35. Построить прямоугольник по стороне и сумме диагонали с другой стороной, используя циркуль и линейку.

36. Дан угол и точка М внутри него. Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам.

37. Построить квадрат, три вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых.

38. Построить треугольник по трем медианам.

39. Даны точки M, N, K - середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Построить четырехугольник.

40. Имеется 13 палочек по 2 см, 11 палочек по 3 см и 10 палочек по 5 см. Можно ли сложить квадрат?

41. Можно ли составить квадрат или прямоугольник со стороной 9 см из 9 палочек, если: 3 из них - по 5 см; 3 из них - по 3 см, 3 из них - по 2 см?

42. Длина прямоугольника в 5 раз больше, чем ширина. Найти стороны прямоугольника, если периметр его 1224.

43. Начертите угол в 66. С помощью циркуля и линейки разделите его на 11 равных частей.

44. Два поселка А и В расположены по разные стороны и на разных расстояниях от берегов реки. Где следует устроить переходный мост через реку, чтобы он одинаково отстоял от обоих поселков? (Берега реки считать параллельными прямыми.)

45. Дан угол в 36. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 99?

46. Дан угол в 54. Как с помощью циркуля и линейки разделить его на три равные части.

47. Дан острый угол ВАС и на одной из его сторон точка М. Постройте на этой же стороне угла такую точку N, которая была бы одинаково удалена от точки М и от другой стороны угла.

48. Построить ромб по диагонали и его высоте.

49. Дан угол и точка вне его. Построить прямую, проходящую через данную точку и отсекающую от угла треугольник данного периметра.

50. Постройте прямоугольный треугольник по медианам, проведенным к катетам.

51. Постройте треугольник по высоте, медиане и биссектрисе, проведенным из одной и той же вершины.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Примерные самостоятельные работы

Арифметические задачи

Вариант 1

1. Двум операторам было поручено набрать на компьютере рукопись. Первый оператор набрал всей рукописи, а второй за то же время - всей рукописи. Сколько страниц в рукописи, если первый оператор набрал на 7 страниц больше, чем второй?

2. Школьник прочитал книгу за 3 дня. В первый день он прочитал всей книги, во второй - остатка, а в третий - нового остатка и последние 16 страниц. Сколько страниц в книге?

3. К ванне подведены два крана. Через один кран ванна может наполниться за 12 мин, а через другой - в раза быстрее. За сколько минут наполнится ванны, если открыть сразу оба крана?

4. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Они встретились через 4 ч после выезда, а затем еще через 5 ч первый автомобиль пришел в В. Через сколько времени после встречи второй автомобиль пришел в А?

Вариант 2

1. Автотурист проехал в первый день намеченного пути, а во второй день - остальной путь. Какой путь он проехал в каждый из этих дней, если известно, что в первый день он проехал на 80 км меньше, чем во второй?

2. Фермер продал картофель трем покупателям: первому часть всего картофеля, второму - остатка, а третьему - нового остатка и последние 10 кг. Сколько картофеля купил каждый из трех покупателей?

3. Плавательный бассейн наполняется двумя трубами при их совместной работе за 48 мин. Через первую трубу бассейн может наполниться за 2 ч. За сколько времени наполнится бассейн на своего объема через одну вторую трубу?

4. Из Санкт-Петербурга в Москву выехал пассажирский поезд. Одновременно с ним из Москвы в Санкт-Петербург выехал товарный поезд. Пассажирский поезд через 4 ч 48 мин после выезда встретил товарный и еще через 3 ч 12 мин прибыл в Москву. За сколько времени товарный поезд проходит путь из Москвы в Санкт-Петербург?

Свойства отношений и пропорций

Вариант 1

1. Известно, что . Найдите:

2. Докажите, что если , то верны производные пропорции:

3. За 14 дней 9 рабочих выполнили задания. Сколько рабочих необходимо нанять дополнительно, чтобы выполнить оставшуюся часть задания за 6 дней?

4. Радиус переднего колеса кареты равен 0,2 м, а заднего - 0,8 м. Какое расстояние проехала карета, если ее переднее колесо сделало на 3600 оборотов больше заднего?

5. Запас крупы для экспедиции был рассчитан на 40 дней. После 10 дней количество участников экспедиции сократилось на от первоначального, а норма выдачи крупы возросла на от запланированной. На сколько дней хватит оставшейся крупы?

6. В течении зимы завод выпустил 4225 холодильников. Сколько холодильников выпускалось ежемесячно, если 18 % холодильников, выпущенных в январе, равны 27 % холодильников, выпущенных в декабре и 36 % холодильников, выпущенных в феврале?

7. Найдите a, b, c, d, если , а среднее арифметическое этих четырех чисел равно 9.

8. Из двух сплавов, один из которых содержит 20 % олова, а другой - 40 % олова, необходимо получить сплав массой 4 кг, который содержал бы 25 % олова. Сколько килограммов каждого сплава необходимо для этого взять?

9. В 6-Е классе количество девочек составляет количества мальчиков. Сколько процентов учащихся класса - девочки?

Свойства отношений и пропорций

Вариант 2

1. Известно, что . Найдите:

2. Докажите, что если , то верны производные пропорции:

3. За 12 дней 8 коров съели заготовленных кормов. Сколько кормов необходимо продать, чтобы оставшемуся поголовью хватило корма на 24 дня?

4. На некотором расстоянии переднее колесо кареты сделало 2000 оборотов, а заднее - 500 оборотов. Найдите это расстояние, если диаметр заднего колеса на 1,2 м больше, диаметра переднего?

5. Водитель автофургона рассчитал запас горючего на 50 часов езды. После первых 5 часов рейса водитель пополнил запас горючего до 1,2 от оставшегося, а расход горючего из за погодных условий увеличился на от запланированного. На сколько часов езды хватит оставшегося горючего?

6. Папа, мама и сын собрали 360 грибов. Сколько грибов собрал каждый из них, если 30 % грибов, собранных папой, равны 35 % грибов, собранных мамой, и 42 % грибов, собранных сыном?

7. Найдите a, b, c, d, если , а сумма этих четырех чисел равна 36.

8. Из 60%-го и 80%-го растворов соляной кислоты необходимо получить 8 литров 75%-го раствора. Сколько литров каждого раствора необходимо для этого взять?

9. В 6-Е классе количество девочек составляет 80 % количества мальчиков. Какую часть учащихся класса составляют - девочки?

Делимость целых чисел

Задачи на делимость (1)

1. Докажите, что разность любого трехзначного числа и трехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

2. Докажите, что числа, запись которых состоит из трех одинаковых цифр, делится на 3 и на 37.

3. Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число разделится на 7.

4. Докажите, что если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9.

5. Число состоит из семи цифр 8, девяти цифр 1 и цифры 5. Делится ли оно на 9?

6. Делится ли на 9 число 10³³ + 8?

7. Напишите подряд три раза двузначное число. Докажите, что полученное число делится на 3, 7, 13 и 37.

8. Докажите, что число, записанное шестью одинаковыми цифрами, делится на 3, 7, 11, 13 и 37.

9. К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

10. К числу 10 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.

Арифметические задачи (текстовые)

Вариант 1

1. Каждый из 7 городов соединен с другими скоростными трассами. Сколько всего скоростных трасс между этими городами?

2. Сумма двух чисел равна 20. Когда одно слагаемое увеличили в 5 раз, а другое - в 3 раза, то новая сумма оказалась равной 84. Найти эти числа.

3. Маша сказала Даше: «Дай мне 8 конфет, тогда у меня будет в 2 раза больше конфет, чем у тебя». А Даша ответила: «Лучше ты дай мне 8 конфет, тогда у нас конфет будет поровну». Сколько конфет было у каждой девочки?

4. На озере растут водяные лилии. Известно, что их количество удваивается каждый день, и к концу 49-го дня озеро полностью зарастет лилиями. К концу какого дня заросла восьмая часть озера?

5. Витя купил 5 яблок. Все они без первого весили 798г, без второго - 794 г, без третьего - 813 г, без четвертого - 806 г, без пятого - 789 г. Какова масса всех пяти яблок?

6. Отец в три раза старше сына. Когда сыну было 6 лет, отцу было 30 лет. Сколько лет теперь каждому из них?

7. Если автомобиль из пункта А в пункт В будет ехать со скоростью 80 км/ч, то он опоздает на 20 мин, а если будет ехать со скоростью 90 км/ч, то приедет раньше на 10 мин. Найдите расстояние между пунктами А и В.

8. Скорый поезд проезжает мимо столба за 9 сек, а мимо перрона длиной 336 метров - за 23 сек. Какова длина поезда, если его скорость постоянна?

9. Используя цифра 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 каждую по одному разу, придумайте два таких четырехзначных числа. Чтобы их разность была наибольшей

10. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

Вариант 2

1. Каждый из 8 городов соединен с другими скоростными трассами. Сколько всего скоростных трасс между этими городами?

2. Сумма двух чисел равна 25. Когда одно слагаемое увеличили в 5 раз, а другое - в 3 раза, то новая сумма оказалась равной 107. Найти эти числа.

3. Коля сказал Толе: «Если ты дашь мне 10 марок, тогда у меня будет в 3 раза больше марок, чем у тебя». А Толя ответил: «Если ты дашь мне 10 марок, то у нас будет марок поровну». Сколько марок было у каждого мальчика?

4. В пробирке размножаются бактерии. Известно, что их количество утраивается каждый день, и к концу 100-го дня пробирка полностью заполнится бактериями. К концу какого дня была заполнена девятая часть пробирки?

5. Петя купил 6 апельсинов. Все они без первого весили 1660 г, без второго - 1685 г, без третьего - 1680 г, без четвертого - 1670 г, без пятого - 1665 г, без шестого - 1640 г. Какова масса всех шести апельсинов?

6. Бабушке 54 года, а внучке 10 лет. Через сколько лет бабушка будет вдвое старше внучки?

7. Если пешеход из пункта А в пункт В будет идти со скоростью 5 км/ч, то он опоздает на 45 мин, а если будет идти со скоростью 6 км/ч, то придет раньше на 15 мин. Найдите расстояние между пунктами А и В.

8. Товарный поезд проезжает мимо столба за 18 сек, а по мосту длиной 315 метров - за 33 сек. Какова длина поезда, если его скорость постоянна?

9. Используя цифра 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 каждую по одному разу, придумайте два таких четырехзначных числа. Чтобы их разность была наименьшей

10. Шестеро крестьян решили купить лошадь. Иван внес часть суммы, Петр - остатка, Кузьма - нового остатка, Архип - недостающей к этому моменту суммы, а Яков и Герасим добавили поровну, после чего необходимая сумма была собрана. Кто из крестьян внес больше денег на покупку?

Задачи на проценты (домашняя самостоятельная работа)

Вариант 1

1. В двух корзинах 7,92 кг овощей. В одной из них овощей на 20% больше, чем в другой. Сколько килограммов овощей в каждой корзине?

2. Сумма двух чисел равна 76, а сумма 25% первого числа и 15% второго числа равна 14. Найдите эти числа.

3. Аня подсчитала, что цена юбки составляет 80% ее денег, а цена блузки - 60% ее денег. И если дедушка даст ей еще 96 рублей, то она сможет купить себе вещи. Сколько стоит юбка и сколько стоит блузка?

4. В январе рабочий недовыполнил план на 5%, а в феврале перевыполнил тот же план на 7%, собрав на 24 прибора больше, чем в январе. Сколько приборов собрал рабочий в январе и сколько в феврале?

5. Андрей прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 40% книги и еще 8 страниц, во второй день - 60% остатка и еще 4 страницы, а в третий день - 75% нового остатка и последние 3 страницы. Сколько страниц в книге?

6. Сколько воды надо добавить в 75-процентный раствор соли, масса которого равна 1200 г, чтобы раствор стал 40-процентным?

7. Смешали 200 г, 500 г и 300 г соляной кислоты, соответственно 25%, 40% и 30% концентрацией. Какова концентрация смеси?

8. Все пятиклассники либо спортсмены, либо танцоры, либо и спортсмены, и танцоры одновременно. 85% детей занимаются в спортивных клубах, 75% детей - в танцевальных кружках. Какой процент детей и танцуют, и занимаются спортом?

Вариант 2

1. В двух корзинах 7,92 кг овощей. В одной из них овощей на 20% меньше, чем в другой. Сколько килограммов овощей в каждой корзине?

2. Сумма двух чисел равна 26, а сумма 20% первого числа и 30% второго числа равна 5,7. Найдите эти числа.

3. Митя подсчитал, что цена компьютерной мышки составляет 95% его денег, а цена коврика для мышки - 15% его денег. И если бабушка даст ему еще 12 рублей, то он сможет купить и мышку, и коврик. Сколько стоит мышка и сколько стоит коврик?

4. В первом полугодии завод перевыполнил план на 12%, а во втором недовыполнил на 7%, выпустив на 95 единиц продукции меньше, чем в первом полугодии. Каков годовой план завода?

5. Маша и Даша за три дня съели коробку конфет. В первый день они съели 30% коробки и еще 8 конфет, во второй день - 40% остатка и еще 2 конфеты, а в третий день - 60% нового остатка и последние 4 конфеты. Сколько конфет было в коробке?

6. Сколько воды надо выпарить из 40-процентного раствора соли, масса которого равна 1200 г, чтобы раствор стал 75-процентным?

7. Смешали 250 г, 300 г и 450 г азотной кислоты, соответственно 20%, 30% и 40% концентраций. Какова концентрация смеси?

8. Все шестиклассники либо футболисты, либо теннисисты, либо и футболисты, и теннисисты одновременно. 58% детей занимаются футболом, 68% детей - теннисом. Какой процент шестиклассников занимаются и футболом, и теннисом?

Задачи на проценты

Вариант 1

1. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40 % меди. Сколько чистого олова нужно добавить к нему, чтобы получить сплав с 30 %-ым содержанием меди?

2. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10 %, а затем увеличили на 10 %. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 10 %, а затем уменьшили на 10 %. В какой бочке стало воды больше?

3. На сколько процентов увеличится площадь квадратного садового участка, если его периметр увеличится на 20 %?

4. В двух корзинах 7,92 кг овощей. В одной из них овощей на 20% больше, чем в другой. Сколько килограммов овощей в каждой корзине?

5. Сумма двух чисел равна 76, а сумма 25% первого числа и 15% второго числа равна 14. Найдите эти числа.

6. В январе рабочий недовыполнил план на 5%, а в феврале перевыполнил тот же план на 7%, собрав на 24 прибора больше, чем в январе. Сколько приборов собрал рабочий в январе и сколько в феврале?

7. Андрей прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 40% книги и еще 8 страниц, во второй день - 60% остатка и еще 4 страницы, а в третий день - 75% нового остатка и последние 3 страницы. Сколько страниц в книге?

8. Сколько воды надо добавить в 75-процентный раствор соли, масса которого равна 1200 г, чтобы раствор стал 40-процентным?

9. Смешали 200 г, 500 г и 300 г соляной кислоты, соответственно 25%, 40% и 30% концентрацией. Какова концентрация смеси?

Задачи на проценты

Вариант 2

1. Смесь удобрений содержит 40 % калийного и 60 % фосфорного удобрения. Сколько нужно добавить килограммов калийного удобрения к 100 кг смеси, чтобы соотношения калия и фосфора изменилось на противоположное?

2. Женя за весну похудел на 20%, потом за лето поправился на 30 %, за осень опять похудел на 20 %, а за зиму поправился на 10 %. Поправился или похудел Женя за год?

3. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольного садового участка, если длины всех его сторон увеличатся на 40%?

4. В двух корзинах 7,92 кг овощей. В одной из них овощей на 20% меньше, чем в другой. Сколько килограммов овощей в каждой корзине?

5. Сумма двух чисел равна 26, а сумма 20% первого числа и 30% второго числа равна 5,7. Найдите эти числа.

6. В первом полугодии завод перевыполнил план на 12%, а во втором недовыполнил на 7%, выпустив на 95 единиц продукции меньше, чем в первом полугодии. Каков годовой план завода?

7. Маша и Даша за три дня съели коробку конфет. В первый день они съели 30% коробки и еще 8 конфет, во второй день - 40% остатка и еще 2 конфеты, а в третий день - 60% нового остатка и последние 4 конфеты. Сколько конфет было в коробке?

8. Сколько воды надо выпарить из 40-процентного раствора соли, масса которого равна 1200 г, чтобы раствор стал 75-процентным?

9. Смешали 250 г, 300 г и 450 г азотной кислоты, соответственно 20%, 30% и 40% концентраций. Какова концентрация смеси?

Нестандартные задачи

Вариант 1

1. В хоровом кружке, где занимается Петя, более 93% участников - девочки. Какое наименьшее число детей может быть в таком кружке?

2. В заплыве на 400 метров один пловец преодолел всю дистанцию с постоянной скоростью, а второй проплыл первые 200 метров вдвое быстрее первого, а последние 200 метров - вдвое медленнее первого пловца. Кто из них выиграл заплыв?

3. Теплоход идет из Нижнего Новгорода в Астрахань за 6 суток, а назад - за 7 суток. Сколько времени плывет плот из Нижнего Новгорода в Астрахань?

4. Влажность свежескошенной травы составляет 60%, а влажность сена - 20%. Сколько сена получится из тонны свежей травы?

5. Произведение 26 целых чисел равно 1. Может ли их сумма быть равной нулю? Ответ объясните

6. Можно ли провести замкнутую кривую, которая пересекает данную окружность ровно 2003 раза? Ответ объясните

7. Два туриста одновременно вышли по одному маршруту. Первый половину времени движения шел со скоростью 4 км/ч, а затем - со скоростью 5 км/ч. Второй половину пути шел со скоростью 4 км/ч, а затем - со скоростью 5 км/ч. Кто из туристов преодолел маршрут быстрее?

8. В клетках таблицы 3х3 расставлены числа - 1, 0 и 1. Докажите, что среди 8 сумм чисел в строках, в столбцах или на диагоналях таблицы найдутся две равные суммы

Вариант 2

1. В математическом кружке, где занимается Оля, девочки составляют менее 5%. . Какое наименьшее число мальчиков может быть в таком кружке?

2. Пусть из А в В велосипедист проехал с постоянной скоростью. На обратном пути он вдвое увеличил скорость, но, проехав половину пути, из-за дождя вынужден был снизить скорость в 4 раза. Какой путь - из А в В или обратно - он проехал быстрее?

3. Лесозаготовщики на моторной лодке проплыли от места вырубки до склада за 4 часа, а обратно вернулись за 5 часов. Сколько времени понадобится для лесосплава?

4. Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99;. После подсушивания влажность грибов снизилась до 98%. Найдите массу грибов после подсушивания

5. Можно ли разменять купюру в 25 крон десятью монетами достоинством в 1, 3 и 5 крон? Ответ объясните

6. Можно ли построить замкнутую ломаную из 2003 звеньев, в которой каждое звено пересекается ровно с одним из остальных звеньев? Ответ объясните

7. Половину пути из города в село автобус ехал со скоростью 50 км/ч, а затем - со скоростью 60 км/ч. На обратном пути он половину времени движения ехал со скоростью 50 км/ч, а затем со скоростью 60 км/ч. Какой путь - из города в село или обратно - автобус проехал быстрее?

8. В клетках таблицы 3х3 заполнена так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Докажите, что хотя бы в одном столбце таблицы произведение чисел также отрицательно

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Примерные темы для творческих работ

Проведение творческих работ и организация проектной деятельности учащихся, охватывающую всю область рассматриваемых вопросов курса:

1. Занимательные задачи по теме «системы счисления»

2. Применение двоичной системы счисления при решении математических задач

3. Роль системы счисления в истории компьютеров

4. Числа Фибоначчи

5. Фибоначчиева система счисления и ее применение

6. Элементы теории вероятности. Применение. Любопытные задачи

7. Неравенства между средними. Применение

8. Математика в образах

9. Решение уравнений в целых числах

10. Равенства и уравнения с суммой цифр

11. Симметрия. Антисимметрия. Диссимметрия. Асимметрия

12. Старинные занимательные математические задачи

13. Принцип Дирихле

14. Применение принципа Дирихле в задачах на делимость

15. НОД. НОК. Взаимно простые числа

16. Простые и составные числа

17. Решение логических задач, используя понятие графа

18. Задача о замощении плоскости. Орнаменты