Урок-семинар по теме: «Задачи, решаемы с помощью интегралов»

11 класс

План урока:

1.Цель и задачи урока (решение проблемной ситуации):

- рассмотреть задачи, решаемые с помощью интеграла;

- повторить способы вычисления площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию;

- систематизировать знания по теме урока

2. Экспресс- отчет:

А) Формула для вычисления площади фигуры, составленной из неперекрывающихся криволинейных трапеций;

Б) Формула для вычисления площади фигуры - как разность криволинейных трапеций;

В) Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции f(х), если f(х);

3. Устный тренажер.

4.Самостоятельная работа.

5.Подведение итогов - составление кластера (ЛСМ-логической смысловой модели).

Оборудование: Мультимедийная установка. На уроке используется презентация: «Формула Ньютона-Лейбница»:

• при повторении теоретического материала на экране высвечиваются повторяемые формулы, примеры, иллюстрирующие основные определения и алгоритмы решения задач;

• при самопроверки самостоятельной работы на экране появляются эталонные ответы на соответствующие задания.

Ход урока:

На доске таблица и эпиграф к уроку:

… если вы хотите плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

Д.Пойя.

1.

2.

3.

4.S=

5.

6.

6.

Фронтальная беседа:

1.Укажите рисунки, на которых изображены криволинейные трапеции (рис.1,5,6)

2.Что называется криволинейной трапецией?

-Фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции y=f(х), отрезком [a,b] и прямыми х=a и х=b, называют криволинейной трапецией.

3.Как вычисляется площадь криволинейной трапеции?

S=

Итак, площади криволинейных трапеций, изображенных на рисунке 1,5,6 вычисляются по формуле:S=.

Возникает вопрос: «Как найти площади остальных фигур?»

Итак, ваше предположение:

-выделить в сложной фигуре криволинейные трапеции;

-вычислить их площади;

- найти их сумму или разность.

В математике существует важный принцип решения математической задачи- сведение задачи к известной, чем мы и займемся на уроке.

Кто попробует сформулировать цель и тему нашего урока:

- рассмотрим задачи, решаемые с помощью интеграла;

- повторить способы вычисления площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию;

- систематизировать наши знания по теме урока, и как итог составим кластер

( на парте у каждого рабочая схема урока).

Итог нашей беседы подводит I группа - описывает способ вычисления фигуры на рис.2 и записывает основные этапы вычислений:

1. Построить графики функций y=f(х) и y=g(х) образующие вместе с ОХ криволинейные трапеции.

2. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций y=f(х) и y=g(х) друг с другом и осью ОХ.

3. Если S=S₁+S₂, тоS=dx+, где х=в - абсцисса точки пересечения графиков функций f(x) и g(x) с осью ОХ.

На чьих карточках вопросы соответствуют отчету I группы.

( Вопрос: Какое свойство площадей надо использовать при вычислении площади фигур, имеющих сложную конфигурацию?)

Отчет продолжает I группа - демонстрация решения задачи: вычислить S фигуры, ограниченной графиками функций y=x² и y=2x-x²_.

Решение:

1. x² =2x-x²; x² -(2x-x²)=0; 2х²-2х=0; 2х(х-1)=0; х₁=0 и х₂=1.

2. S==1.

Отчет II группы- вывести формулу для вычисления Sфигуры на рисунке 3.

1. Построить графики функций y=f(х) и y=g(х) образующие вместе с ОХ криволинейные трапеции.

2. Если S=S₁-S₂, то S₁, S_{2 =}, то

S=_, гдеf(x)

На чьих карточках вопросы соответствуют докладу второй группы:

1. Какое свойство площадей надо использовать при вычислении площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию?

2. В записи f(x)…..g(x)…..0 вместо многоточий поставьте знаки , так, чтобы можно вычислить по формуле

S=, образованной графиками функций y=f(x) и y=g(x) и прямыми х=а и х=в.

Отчет продолжает II группа- демонстрация решения задачи:

Пример нахождения площади криволинейной трапеции через определённый интеграл.

Пусть имеем две функции:

И нам надо найти площадь фигуры ограниченной этими двумя функциями.
Преобразуем эти функции к следующему виду.

Нанесём их на декартовую систему координат и обозначим нашу фигуру:

Видим по рисунку, что часть нашей фигуры находится над осью абсцисс и часть под ней. Для того, что бы найти площадь той части, что над осью нужно просто найти интеграл от первой функции в границах от 0 до 2. Что бы найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс, надо вычислить интеграл от второй функции (не забудьте про знак минус) в границах от 0 до 3. Но это будет площадь треугольника OAC, видим, что с этого надо ещё вычесть площадь фигуры ABC (это будет интеграл от первой функции в границах от 2 до 3). Поэтому, выходя из этих данных, мы это всё можем записать одним интегралом:

Решив этот интеграл, мы и найдём площадь нужной нам фигуры.

Отчет III группы- решение на вычисление площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), если f(x) и прямыми х=а, х=в:

1. Найти на [а,в], на котором задана функция y=f(x)/

2. Построить график функции y-f(x) на [а,в].

3. Если f(x) на [а,в], то S=.

Отчет продолжает III группа, демонстрация решения задачи: найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²-2 и y=0.

Решение:

S= -dx=5.

II. Устный тренажер

Вычислить интеграл

Ответ

1)

x

2)

3)dx

X⁷

4)

+x

5)dx

6)

7)

8)

9)

10)dx

III. Самостоятельная работа с последующей проверкой на уроке.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

I группа: y=x²+2 и y=2x+2

II группа: y=x²-4x+3

III группа: y=6x² и y=x²-7x+12.

Итог урока:

Кластер -ЛСМ - логическая смысловая модель

Задачи, решаемые с помощью интеграла

Вычисление площади фигуры

Вычислительные навыки

Свойства площадей фигуры сложной конфигурации

Что нужно знать и уметь!

Нахождение первообразных элементарных функций

Построение графиков элементарных функций и нахождение точек их пересечения аналитическими методами

Домашнее задание: составить и решить контрольную карточку, содержащую задачи ЛСМ