Методическая разработка по теме: «Исторический экскурс в курсе алгебры и начала математического анализа 10-11 классов»

Методическая разработка по теме: «Исторический экскурс в курсе алгебры и начала математического анализа 10-11 классов»

Подготовлено: преподаватель математики Арцыбашева Наталья Владимировна

Содержание

1. Тригонометрия.

Клавдий Птолемей…………………………………….стр.2-3

Бартоломей Питискус………………………………..стр.4

2. Производная.

Карл Теодор Вейерштрасс…………………………….стр.5-7

3. Степени и корни. Степенные функции.

Рене Декарт……………………………………………..стр.8-10

4. Показательная и логарифмическая функции.

Джон Непер……………………………………………...стр.11-13

Бернулли Иоганн I ……………………………………...стр.13-15

5. Первообразная и интеграл.

Готфрид Вильгельм Лейбниц………………………….стр.16-17

Исаак Ньютон…………………………………………...стр.18-20

6. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей.

Пьер Ферма……………………………………………….стр.21-23

Блез Паскаль……………………………………………...стр.23-26

Якоб Бернулли……………………………………………стр.26-28

Литература…………………………………………….стр.29

Тригонометрия

Клавдий Птолемей (ок. 87-ок.165)

Клавдий Птолемей - греческий геометр, астроном и физик. Жил и действовал в Александрии в первой половине II в. по Р. Хр. Дошедшие до нас произведения древнегреческой литературы не дают никаких сведений о жизни, житейских и ученых отношениях и даже о месте рождения Птолемея.

Важнейшим из учено-литературных произведений Клавдия Птолемея было его «Великое собрание» более известное под именем «Алмагест». В этом сочинении, состоящем из 13 книг, содержится все, чем имя автора сделалось знаменитым в астрономии; и все главное из им сделанного в области математики, а именно - тригонометрии.

Клавдий Птолемей, подобно его предшественникам, начиная с Гипсикла, делит окружность на 360 равных частей, подразделяемых на половины, а диаметр на 120 частей, который делятся на 60-ые или первые части и 3600-ые или вторые. Названия этих частей в переводе на латинский язык, выраженные partes minutae primae и partes minutae secundae, перешли в минуты и секунды новейших языков. Родиной этих приемов подразделения окружности и диаметра была Халдея.

Тригонометрия является, в посвященной ей главе, изложенной исключительно в интересах астрономии, вследствие чего главное место принадлежит здесь сферической тригонометрии, основные предложения которой, относящиеся к прямоугольному сферическому треугольнику, выведены с помощью известной теоремы Менелая. Плоская тригонометрия изложена в самых незначительных размерах.

От своего появления в свет и до Николая Коперника «Алмагест» был единственным основным кодексом астрономии, образовавшим около себя громадную литературу. С Коперника начинается реакция. Преклонение перед Клавдием Птолемеем, возведение его положений в неопровержимые догматы сменились строгой критикой, дошедшей в лице французского историка астрономии Деламбра до полного отрицания оказанных Птолемеем науке несомненных услуг, и даже до обвинения в плагиате, совершенном им будто бы у его знаменитых предшественников - Гиппарха и Эвдокса.

Правильные взгляды на деятельность и заслуги К. Птолемея в области астрономии установились только в новейшее время. «Алмагест» был написан между 160 и 160 гг. по Р. Хр. Лучшее издание «Алмагеста» принадлежит французскому аббату Гальма. Оно вышло в свет в 1813 - 16 гг. (Париж), в двух томах, и содержало, кроме греческого текста, французский перевод, историческое введение переводчика и ряд сообщенных последнему Деламбром заметок. Позднее (в 1822 - 25 гг.) им же был издан и комментарий к «Алмагесту» Теона Александрийского.

Заслуживают также внимания работы Птолемея по предмету географии или, в более тесном смысле, - математической географии вообще и картографии в частности. Главным сочинением Клавдия в этой области является его вполне дошедшая до нас «География» в восьми книгах.

Положение мест на земной поверхности определяется в «Географии» Клавдия Птолемея, как и у Гиппарха, помощью долготы (mhcoV) и широты (platoV), причем за первый меридиан принимается, по примеру Маринуса Тирского, меридиан Канарских островов. Обе эти координаты даются в «Географии» Птолемея для очень большого числа мест, находящихся между 67° северной и16° южной широты, что дало автору возможность приложить к своему сочинению 27 карт, изображающих соответственные части земной поверхности.

Из недошедших до нас сочинений Клавдия Птолемея мы имеем сведения только о двух, которые, по-видимому, оба были посвящены геометрии. После работ по тригонометрии и астрономии в ряду трудов ученого самое видное место занимают его работы по физике, первые в греческой науке, положившие в основание оптики опыт и измерение: «Оптика» в пяти книгах и учение о гармонии в трех книгах («Harmonicorum libri III»). Первое в греческом подлиннике до нас не дошло. Мы имеем только его неполный арабский перевод. Содержание книги Клавдия Птолемея составляют теория зрения, отражение, теория плоских и сферических зеркал и преломление. Особенный интерес представляет последнее. Не зная его законов, ученый измеряет углы, составляемые падающим и преломленным лучами с проведенным к плоскости, разделяющей рассматриваемые средины, перпендикуляром при переходе света из воздуха в воду и в стекло и из стекла в воду, при чем достигает весьма удовлетворительных результатов.

Известно также и о существовании работ Птолемея по механике, но они до нас не дошли, т.к. были бесследно утеряны.

Бартоломей Питискус (1561-1613)

Бартоломей Питискус - германский математик (1561-1613), духовного звания. Главным предметом его работ была тригонометрия, самое название которой впервые, насколько известно, появилось в сочинении Питискуса, вышедшем в свет сперва в виде прибавления к напечатанной в 1595 г. книге "Abrahami Sculteti Grunbergensis Silesii sphaericorum libri tres methodice conscripti... Accessit de resolutione Triangulorum tractatus brevis et perspicuus Bartholomaei Pitisci Grunbergensis" (Гейдельберг). В 1600 г. в виде первого учебника тригонометрии оно вышло под заглавием "Bartholomaei Pit i sci Gruenbergensis Silesii Trigonomeiriae sive de dimensione Triangulorum Libri quinque..." (Аугсбург). Вторая книга этого сочинения занимается тригонометрическими функциями, именно синусами, тангенсами и секансами, рассматриваемыми как отношения. Третья и четвертая книги рассматривают плоские и сферические треугольники. Пятая книга заканчивается изложением правила ложных положений, которое в руках Питискуса превратилось мало-помалу в настоящий метод приближенного решения численных уравнений, даже третьей и пятой степеней.

Далее следуют тригонометрические таблицы, вычисленные через секунду для первой и последней минут квадранта (при радиусе равном 10 ¹²), через 2 " для ближайших к ним 9' (при радиусе равном 10 ¹⁰), затем через 10", а начиная с 1° через 1' (причем радиус изменяется, смотря по потребностям вычисления, от 10 ⁵ до 10 ¹²).

Десять книг, составляющих остальную часть содержания, посвящены приложениям плоской и сферической тригонометрии и решению задач, относящихся к землемерию, определению высот, фортификации, математической географии и астрономии. В третьем (1612) издании помещена новая 11-ая книга с собранием архитектонических задач.

Другим учено-литературным трудом Питискуса было издание таблиц Ретикуса, вышедшее в свет в 1613 г. во Франкфурте под заглавием "Thesaurus Mathematicus sive canon sinuum ad radium 1000000000000000 et ad dena quaeque scrupula secunda quadrantis una cum sinibus primi et postremi gradus, ad eundem radium et ad singula scrupula secunda quadrantis etc." К ним он прибавил от себя еще две таблицы, из которых первая содержит Principia sinuum (хорды для дуг в 60°, 30°, 10°, 2°, 1°, 20', 10', 2', 1', 20", 10", 2") и их произведения на числа 1, 2, 3, 4,...., 9; а вторая дает синусы 10", 30", 50", 1'10", 1'30" и т. д. от начала квадранта до 35' вместе с синусами дополнительных углов и с разностями от первой до пятой для первых и от первой до четвертой для вторых.

Производная

Карл Теодор Вейерштрасс (1815-1897)

Нельзя быть настоящим математиком

не будучи немного поэтом.

К. Т. Вейерштрасс

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс - Выдающийся немецкий математик, «отец современного анализа». Он заложил основы современной общей теории функций, комплексного переменного и начал ее систематическую разработку. Ему принадлежат и важные результаты в вариационном исчислении, вошедшие в современные университетские курсы.

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм родился 31 октября 1815 г. в семье Остенфельда Вильгельма Вейерштрасса - секретаря бургомистра городка Вестфалии. В детстве Карл интересовался лирикой, стремился изучать музыку, но у него был плохой слух. Уже в гимнастические годы он увлекался математикой. Сверх школьной программы изучил интегральное исчисление, геометрические работы Я. Штейнера.

Математика помогала вносить свой вклад в семейный бюджет: с 15 лет он начал вести приходно-расходные книги у одной из торговок ветчиной и маслом.

Карл окончил гимназию и, подчиняясь воле отца, поступил на юридический факультет боннского университета, хотя он сам предпочитал изучение математики. Изучение юридических наук было скучным для Вейерштрасса, поэтому он вскоре перестал ходить на лекции и начал самостоятельно изучать математические работы.

Через 4 года после начала учебы Карл покинул Бонн и появился в родительском доме. Продолжить дальнейшее обучение не позволяло материальное положение семьи.

Карлу посоветовали подготовиться к сдаче экзаменов на звание учителя. В 1839 г. он зачислен в Мюнстерскую академию. После блестяще сданных экзаменов 25-летний Вейерштрасс получил право преподавания в гимназиях.

В католической прогимназии небольшого городка Дрейч-Крон Карл Вейерштрасс получил должность штатного учителя. Кроме математики приходилось преподавать физику, ботанику, географию, историю, немецкий язык, чистописание и гимнастику. Осенью 1848г. его перевели в гимназию Браунсберге.

Учебная нагрузка была большой, и научными исследованиями Вейерштрасс занимался по ночам. В центре его исследований была теория абелевых функций. Постоянные умственные перегрузки привели к тому, что Вейерштрасс в 1850г. серьезно заболел.

Отдыхая, Вейерштрасс подготовил статью "К теории абелевых функций". Она была признана лучшей работой в этой области. Философский факультет Кенигсбергского университета присудил Вейерштрассу 31 марта 1854г. степень почетного доктора без защиты диссертации. Имя Вейерштрасса становилось все более популярным.

14 июня Вейерштрасса утвердили профессором Промышленного института в Берлине. Наконец, Вейерштрасс получил возможность пользоваться хорошей математической библиотекой и общаться с людьми, увлеченными наукой.

11 ноября 1856г. Вейерштрасса назначили на должность экстраординарного профессора. В 1861г. его избрали членом Баварской академии наук. 16 декабря 1861г. во время лекции у него был такой сильный приступ головокружения, что он был вынужден прервать ее. Больше никогда Вейерштрасс не мог читать лекции, стоя у доски. Он читал их сидя, а кто- либо из хороших студентов писал на доске.

В 1868г. Вейерштрасса избрали членом-корреспондентом Парижской академии наук. В 1870г. у 55-летнего Вейерштрасса появилась ученица из России- двадцатилетняя С.В. Ковалевская. В 1873г. Вейерштрасса избрали ректором университета. Он продолжал руководить работой Ковалевской, которую она готовила для получения звания доктора.

В1874г. Вейерштрасса представили к особому ордену за "Заслуги в области науки и искусств". В1881г. его избрали членом Лондонского королевского общества.

Лекции и научные статьи Вейерштрасса посвящены математическому анализу, теории аналитических функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и линейной алгебре. Большое значение для математики имеет разрабатывавшаяся Вейерштрассом система логического обоснования математического анализа, основанная на построенной им теории действительных чисел.

Значительны результаты Вейерштрасса в области математического анализа: систематическое использование понятий верхней и нижней граней числовых множеств, учение о предельных точках, строгое обоснование свойств непрерывных функций, построение примера непрерывной функции, нигде не имеющей производной, доказательство теоремы о возможности разложения любой непрерывной на отрезке функции в равномерно сходящийся ряд многочленов.

Именем Вейерштрасса названы апроксимационная теорема, признак равномерной сходимости, функция; есть также функция Вейерштрасса - Стоуна. Значительное место в работах Вейерштрасса занимает теория аналитических функций.

1889 г. был очень тяжелым. В феврале Вейерштрасс сильно заболел, только лежа он не чувствовал недомогания. 10 февраля 1891г. в возрасте 41 года С.В. Ковалевская умерла. Вейерштрасс был так потрясен известием о кончине своей ученицы, что родные стали беспокоиться за его жизнь. Среди венков, возложенных на гроб Ковалевской, был венок из белых лилий с короткой надписью "Соне от Вейерштрасса".

В период 1892-1896гг. Вейерштрасс занимался изданием своих трудов. В начале 1897г. он заболел гриппом, который перешел в воспаление легких. 19 февраля 1897г. Карл Вейерштрасс скончался.

В его честь был назван кратер Weierstrass на Луне. Имя Вейерштрасса носит математический институт WIAS в Берлине.

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Степени и корни. Степенные функции.

Рене Декарт (1596-1650)

Рене Декарт - французский философ, математик, физик и физиолог, основатель новоевропейского рационализма и один из влиятельнейших метафизиков Нового времени. Рене Декарт родился 31 марта 1596, Лаэ, Турень, Франция. Скончался 11 февраля 1650, в Стокгольме.

Декарт заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения. Высказал закон сохранения количества движения, дал понятие импульса силы. Автор теории, объясняющей образование и движение небесных тел вихревым движением частиц материи (вихри Декарта).

В основе философии Декарта - дуализм души и тела, «мыслящей» и «протяженной» субстанции. Материю отождествлял с протяжением (или пространством), движение сводил к перемещению тел. Человек - связь безжизненного телесного механизма с душой, обладающей мышлением и волей.

Основные сочинения: «Геометрия» (1637), «Рассуждение о методе...» (1637), «Начала философии» (1644).

Родившись в дворянской семье, Рене получил хорошее образование. В 1606 году отец отправил его в иезуитскую коллегию Ла Флеш. Учитывая не очень крепкое здоровье Декарта, ему делали некоторые послабления в строгом режиме этого учебного заведения, например, разрешали вставать позже других. Приобретя в коллегии немало познаний, Рене Декарт в то же время проникся антипатией к схоластической философии, которую он сохранил на всю свою жизнь.

После окончания коллегии Декарт продолжил образование. В 1616 в университете Пуатье он получил степень бакалавра права. В 1617 Декарт поступает на службу в армию и много путешествует по Европе.

1619 год в научном отношении оказался ключевым для Декарта. Именно в это время, как Рене сам писал в дневнике, ему открылись основания новой «удивительнейшей науки». Скорее всего, Декарт имел в виду открытие универсального научного метода, который он впоследствии плодотворно применял в самых разных дисциплинах.

В 1620-е годы Декарт знакомится с математиком М. Мерсенном, через которого он долгие годы «держал связь» со всем европейским научным сообществом.

В 1628 Рене Декарт более чем на 15 лет обосновывается в Нидерландах, но не поселяется в каком-то одном месте, а около двух десятков раз меняет место жительства.

Естественно-научные достижения Декарта родились как «побочный продукт» разрабатываемого им единого метода единой науки. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z...), коэффициентов (a, b, c...), обозначение степеней (a², x^-1...).

Декарт является одним из авторов теории уравнений: им сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода. Он указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах (а также указал решение с помощью циркуля и линейки, если это уравнение приводимо).

Рене Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разрабатывал одновременно с Пьером Ферма), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им система координат получила его имя.

В работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. Переменная трактуется им двояко: как отрезок переменной длины и постоянного направления (текущая координата точки, описывающей своим движением кривую) и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок.

В область изучения геометрии Декарт включил «геометрические» линии (позднее названные алгебраическими) - линии, описываемые при движении шарнирными механизмами.

«Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. Действительные числа Декарт фактически трактовал как отношение любого отрезка к единичному. В оптике он открыл закон преломления световых лучей на границе двух различных сред (изложены в «Диоптрике», 1637). Р. Декарт внес серьезный вклад в физику, дав четкую формулировку закона инерции.

Декарт оказал громадное влияние на последующую науку и философию. Европейские мыслители восприняли от него призывы к созданию философии как точной науки (Б. Спиноза), к построению метафизики на базе учения о душе (Дж. Локк, Д. Юм). Декарт активизировал и теологические споры в вопросе о возможности доказательств бытия Бога.

В 20 веке к философии Декарта часто обращаются участники многочисленных дискуссий по проблемам философии сознания и когнитивной психологии.

Показательная и логарифмическая функции.

Джон Не́пер (1550-1617)

Джон Не́пер (1550-1617) - шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.

В ранней молодости, тотчас же по окончании курса в Сент-Эндрюсском университете, куда он поступил в 1563 году, Непер совершил путешествие по Германии, Франции и Италии, из которого вернулся на родину в 1571 году. Поселившись в своем родном замке и женившись в том же году, он затем уже никогда не оставлял Шотландии.

Всё его время было посвящено занятиям богословскими предметами и математикой. По его собственным словам, истолкование пророчеств всегда составляло главный предмет его занятий, математика же служила для него только отдыхом.

Тем не менее, Непер вошёл в историю как изобретатель замечательного вычислительного инструмента - таблицы логарифмов. Это открытие вызвало гигантское облегчение труда вычислителя. Кроме того, оно привело к появлению новой трансцендентной функции и показало пример решения дифференциального уравнения.

Лаплас говорил, что Непер своим изобретением «продлил жизнь астрономов», упростив их вычисления.

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла. Значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

В 1614 году Непер опубликовал в Эдинбурге сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», на латинском языке (56 страниц текста и 90 страниц таблиц). Там было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов.

Сочинение разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая - плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой. Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M - масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1615 году Непера посетил оксфордский профессор математики Генри Бригс. Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617). Они уже включали десятичные, а не натуральные, логарифмы, и не только синусов, но и самих чисел (от 1 до 1000, с 14 знаками). Логарифм единицы теперь, как положено, был равен нулю.

Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов - незаменимый инструмент инженера.

Современное определение логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконеноЭйлером в XVIII веке. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Немалую популярность получил придуманный Непером оригинальный прибор для быстрого умножения - палочки Непера.

Непер занимался также астрономией, астрологией и богословием. Его толкование Апокалипсиса: «A plaine discovery of the whole revelation of S. John etc.» вышло в 1593 г. Оно написано в математической форме, то есть с разделением содержания на теоремы и доказательства. В частности, 26-я теорема утверждала, что папа есть Антихрист, 36-я - что упоминаемая в Апокалипсисе саранча означает турок и арабов. Конец света, как доказал автор, должен иметь место между 1688 и 1700 годами.

Книга имела несравненно больший успех, чем все научные произведения автора.

Бернулли Иоганн I (1667-1748)

Род Бернулли ведет свое начало из Фландрии. В конце 16 в. Бернулли покинули родной Антверпен из-за религиозных гонений и после неудачной попытки осесть во Франкфурте - на - Майне, оказались в Базеле. Отец Бернулли занимал в городе заметное положение, был членом городского суда и членом Большого городского совета. У Иоганна было пять сыновей, но научной деятельностью занимались только три старших - Николай, именуемый обычно Николаем II, Даниил I и Иоганн II. Все три сына Иоганна I были профессорами математики. У Иоганна II было два сына математика - Иоганн III, академик Берлинской академии наук, и Якоб II- математик Петербургской академии наук, утонувший в Неве в тридцатилетнем возрасте. После Иоганна III и Якоба II в семье Бернулли математиков не было, но крупные деятели в других областях культуры, например историки, музыканты, художники, искусствоведы и т.д., появляются непрестанно. Любопытно, что в течение свыше 250 лет в Базельском университете всегда были профессора Бернулли, а кафедрой математики Бернулли заведовали более ста лет- с 1687г. (Якоб I) по 1790г. (Иоганн III). Кресло иностранного члена Парижской академии Бернулли занимали в течение 91 года.

Иоганн, впоследствии называвшийся Иоганном I, родился 27 июля 1667г. В 1682г. после окончания школы, он был отправлен отцом в Невшатель для торговой практики и совершенствования во французском языке. Через год Иоганн возвратился домой, но никакой склонности к торговой практике не обнаружил. Он поступил в университет и вскоре защитил диссертацию (написанную латинскими стихами) на степень бакалавра В1685г. он защитил еще одну диссертацию, на этот раз написанную греческими стихами, и получил степень магистра искусств. В том же 1685г. по совету брата он начинает заниматься математикой. За два года изучены труды древних и новых математиков, включая "Геометрию" Декарта; Иоганн сравнивается с братом, и статью Лейбница они изучают сообща. Они не только поняли все, что содержалось в статье, но и продвинули исчисление значительно дальше. Иоганн успешно изучает еще и медицинские науки, так что уже в 1690г. защитил диссертацию на степень лиценциата медицины.

В 1690г. Иоганн отправляется в путешествие. После Женевы он едет в Париж. В литературном салоне известного тогда философа Мальбранша он знакомится с Лопиталем. Завязывается оживленная беседа на математические темы и Лопиталь просит Бернулли прочитать ему несколько лекций по новому исчислению и получает согласие. В 1692г. Иоганн возвратился в Базель. Якоб в это время успешно разрабатывал новые отделы дифференциального исчисления. 1691-1696 годы отличаются большим числом и важностью полученных братьями результатов. Иоганн продолжает изучать медицину и в 1694г. он успешно защитил диссертацию на степень доктора медицины. Через несколько дней после защиты Иоганн женился и вместе с семьей в 1695г. уехал в Гронинген, где прожил десять лет. Он читал там математику и экспериментальную физику.

В 1705г., после смерти Якоба Бернулли, Иоганн возвращается в Базель и занимает там кафедру математики. Главный предмет его занятий - это приложение анализа к различным вопросам механики, физики и т.д. Осенью 1747г., когда Иоганну исполнилось восемьдесят лет, его здоровье стало сдавать. Но такова была привычка к труду, что он продолжал работать ежедневно до полуночи. 1 января 1748г. он скончался. К его портрету Вольтер написал четверостишие: Его ум видел истину, Его сердце познало справедливость. Он - гордость Швейцарии и всего человечества.

Иоганн I Бернулли достиг больших результатов в разработке дифференциального и интегрального исчислений, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, геометрии и механики. Развил теорию показательной функции, вывел правило раскрытия неопределенности типа 0/0 (носящее имя Лопиталя), разработал методы интегрирования рациональных дробей, вычисления площадей плоских фигур спрямление различных кривых, открыл ряд, называемый его именем и родственный ряду Тейлора, дал определение понятия функции как аналитического выражения, составленного из переменных и постоянных величин. Иоганну I принадлежит первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений. ние. В геометрии Бернулли дал определение пространственных координат (1715г.), занимался также различными специальными кривыми, создал и разработал теорию каустик и др.

Иоганну I принадлежат ценные работы по механике, в частности он дал четкое понятие работы и для простейших случаев сформулировал так называемый принцип виртуальных скоростей.

Первообразная и интеграл.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)

Мы созданы, чтобы мыслить.

Нет необходимости, чтобы мы жили,

но необходимо, чтобы мы мыслили.

Г. В. Лейбниц.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), выдающийся немецкий философ и математик. Родился 1 июля 1646 году в Лейпциге. Его отец, профессор моральной философии Лейпцигского университета, умер, когда сыну было шесть лет. Лейбниц поступил в Лейпцигский университет в возрасте 15 лет, окончил обучение в 1663 году, защитив диссертацию на степень бакалавра "О принципе индивидуации", в которой содержатся в зародыше многие позднейшие идеи философа. В 1663-1666 годах изучал юриспруденцию в Йене и опубликовал работу по вопросам юридического образования. Благодаря последней был замечен бароном Бойнебургом и курфюрстом архиепископом Майнцским, который принял его на службу. Архиепископа весьма занимало сохранение мира в границах Священной Римской империи, а также между Германией и ее соседями. Лейбниц всецело погрузился в планы архиепископа. Он также искал рациональное основание христианской религии, равно приемлемое для протестантов и католиков.

Самой серьезной опасностью для мира в Европе того времени был Людовик XIV. Лейбниц представил королю план завоевания Египта, указав, что такое завоевание более приличествует величию христианского монарха, чем война с мелкими и незначительными европейскими странами. План был настолько хорошо продуман, что Наполеон, как полагают, ознакомился с ним в архивах перед тем, как отправить экспедицию в Египет. В 1672 году Лейбница вызвали в Париж для объяснения плана, и он провел там четыре года. Ему не удалось увидеть Людовика, однако он познакомился с такими философами и учеными, как Н. Мальбранш, А. Арно, Х. Гюйгенс. Лейбниц также изобрел счетную машину, которая превзошла машину Паскаля, ибо могла извлекать корни, возводить в степень, умножать и делить. В 1673 году он отправился в Лондон, встретился с Р.Бойлем и Г. Ольденбургом, продемонстрировал действие своей машины Королевскому обществу, которое после этого избрало его своим членом.

В 1673 году архиепископ Майнцский умер. В 1676 году, за неимением места, более соответствующего его вкусу и способностям, Лейбниц поступил на службу библиотекарем к герцогу Брауншвейгскому. Он убедил короля Пруссии основать научную академию в Берлине и стал ее первым президентом; в 1700 году ему были пожалованы должность императорского советника и титул барона.

В более поздний период Лейбниц участвовал в печально известном диспуте с друзьями Ньютона о первенстве в изобретении исчисления бесконечно малых. Нет сомнения, что Лейбниц и Ньютон работали над этим исчислением параллельно. Нет ничего невероятного в одновременном и независимом открытии исчисления, и Лейбницу несомненно следует отдать должное как первому, кто применил бесконечно малые в качестве разностей и разработал символику, оказавшуюся настолько удобной, что ее используют и сегодня.

Не повезло Лейбницу и в том, что касается признания его оригинальных логических идей, более всего ценимых сегодня. Только в 20 веке об этих идеях стало вообще известно; результаты Лейбница пришлось переоткрывать заново, а его собственный труд был похоронен в грудах рукописей королевской библиотеки в Ганновере. Под конец жизни Лейбница о нем забыли. Курфюрстина София и ее дочь королева Пруссии София-Шарлотта, которые очень ценили Лейбница и благодаря которым он написал многие сочинения, умерли соответственно в 1705 и 1714 годах. К тому же в 1714 году Георг Людовик, герцог Ганноверский, был призван на английский трон. По-видимому, он недолюбливал Лейбница и не позволил ему сопровождать его вместе с двором в Лондон, приказав продолжить работу в качестве библиотекаря.

Ложное истолкование сочинений Лейбница принесло ему репутацию человека, верующего в ничто, и его имя не пользовалось популярностью. Здоровье философа стало ухудшаться, хотя он продолжал работать; к этому периоду относится блестящая переписка с С. Кларком.

Лейбниц умер в Ганновере 14 ноября 1716 года. Никто из свиты ганноверского герцога не проводил его в последний путь. Берлинская академия наук, основателем и первым президентом которой он был, не обратила внимания на его смерть, однако год спустя Б. Фонтенель произнес известную речь в его память перед членами Парижской академии. Позднейшие поколения английских философов и математиков воздали должное достижениям Лейбница, компенсировав сознательное пренебрежение его кончиной Королевским обществом.

Среди наиболее важных работ Лейбница - "Рассуждение о метафизике" (1686, опубликовано в 1846 году); "Новая система природы и общения между субстанциями, а также о связи, существующей между душою и телом" (1695);

"Новые опыты о человеческом разуме" (1704, опубликовано в 1765 году); "Опыты теодицеи о благости Божией, свободе человека и начале зла" (1710); "Монадология" (1714).

Исаак Ньютон (1643-1727)

Я смотрю на себя, как на ребенка,

который, играя на морском берегу,

нашел несколько камешков поглаже

и раковин попестрее, чем удавалось

другим,

в то время как неизмеримый океан истины расстилался перед моим взором

неисследованным.

Исаак Ньютон.

Исаак Ньютон (1643-1727) - английский математик, физик, алхимик и историк, заложивший основы математического анализа, рациональной механики и всего математического естествознания, а также внесший фундаментальный вклад в развитие физической оптики.

Исаак родился в местечке Вулсторп в Линкольншире на Рождество 25 декабря 1642 (4 января 1643 по новому стилю) уже после смерти отца. Детство Ньютона прошло в условиях материального достатка, но было лишено семейной теплоты. Мать вскоре вышла вторично замуж - за немолодого уже священника из соседнего местечка - и переехала к нему, оставив сына с бабушкой в Вулсторпе.

Ньютон получил начальное образование в окрестных деревенских школах, а затем в Грамматической школе, где изучал преимущественно латынь и Библию. Вследствие обнаружившихся способностей сына мать отказалась от намерения сделать сына фермером. В 1661 Ньютон поступил в колледж св. Троицы (Тринити-колледж) Кембриджского университета и через три года получил одну из 62 стипендий, дававших право на последующее принятие в члены колледжа.

Ранний период поразительной творческой активности Ньютона приходится на пору его студенчества в страшные чумные 1665 и 1666, занятия в Кембридже частично приостанавливались. Значительную часть этого времени Ньютон провел в деревне. К этим годам относится зарождение у Ньютона, не имевшего до поступления в университет практически никакой математической подготовки, фундаментальных идей, легших в основу большинства его последующих великих открытий, - от элементов теории рядов (включая бином Ньютона) и математического анализа до новых подходов в физической оптике и динамике, включая вычисление центробежной силы и возникновение, по крайней мере, догадки о законе всемирного тяготения.

В 1667 Ньютон стал бакалавром и младшим членом колледжа, а на следующий год - магистром и старшим членом Тринити-колледжа. Наконец, осенью 1669 он получил одну из восьми привилегированных королевских кафедр Кембриджа - Лукасовскую кафедру математики.

К концу 1660-х - началу 1670-х относится изготовление Ньютоном телескопа-рефлектора, за что он был удостоен избрания в Лондонское королевское общество (1672). В том же году он представил Обществу свои исследования по новой теории света и цветов.

В те же годы Ньютон разрабатывал основы математического анализа, о чем стало широко известно из переписки европейских ученых, хотя сам Ньютон не опубликовал тогда по этому поводу ни одной строчки: первая публикация Ньютона об основах анализа была напечатана лишь в 1704, а более полное руководство - посмертно (1736).

Десятью годами позже Ньютона к общим идеям математического анализа пришел также Г.В. Лейбниц, начавший уже с 1684 печатать свои работы в этой области. Надо отметить, что общепринятая впоследствии система обозначений Лейбница была практичнее «метода флюксий» Ньютона, получив широкое распространение в континентальной Западной Европе уже в 1690-х.

Внешне однообразная жизнь Ньютона в Кембридже была покрыта налетом таинственности. Едва ли не единственным серьезным нарушением ее ритма были два с половиной года, посвященные в середине 1680-х написанию Математических начал натуральной философии (1687), положивших начало не только рациональной механике, но и всему математическому естествознанию. В этот короткий период Ньютон проявил сверхчеловеческую активность, сосредоточив на создании Начал весь творческий потенциал дарованного ему гения. Начала содержали законы динамики, закон всемирного тяготения с эффективными приложениями к движению небесных тел, истоки учения о движении и сопротивлении жидкостей и газов, включая акустику. Это сочинение остается на протяжении свыше трех веков наиболее замечательным творением человеческого гения.

Завершив издание Начал, Ньютон, по-видимому, вновь замкнулся в своей (ал)химической лаборатории. Последние годы его пребывания в Кембридже в 1690-х были омрачены особенно глубокой психической депрессией. Кто-то окружил тогда Ньютона заботой, предупредив широкое распространение слухов о его болезни, и в результате мало что известно о действительном положении дел.

Весной 1696 Ньютон получил место хранителя Монетного двора и переехал из Кембриджа в Лондон. Здесь Ньютон сразу же интенсивно включился в организационно-административную деятельность, под его руководством была осуществлена в 1696-1698-х громадная работа по перечеканке всей английской монеты. В 1700 он был назначен на высокооплачиваемую должность директора Монетного двора, которую занимал до своей кончины. Весной 1703 скончался Роберт Гук - непримиримый оппонент и антипод Ньютона. Смерть Гука предоставила Ньютону полную свободу в Лондонском королевском обществе, и на ближайшем же годичном собрании Ньютон был избран его президентом, заняв это кресло на четверть века.

В Лондоне он приблизился ко двору. В 1705 королева Анна возвела его в рыцарское звание. Вскоре сэр Исаак Ньютон стал общепризнанной национальной гордостью Англии. Обсуждение преимуществ его философской системы над декартовой и его приоритета по отношению к Лейбницу в открытии исчисления бесконечно малых стали непременным элементом бесед в образованном обществе.

Сам Ньютон в последние годы жизни много времени посвящал теологии и античной и библейской истории.

Скончался 31 марта 1727 холостяком на 85-ом году жизни в своем загородном доме, тайно отказавшись от причастия и оставив весьма значительное состояние. Через неделю прах его был торжественно помещен на почетное место в Вестминстерском аббатстве.

Сравнительно полное собрание сочинений Ньютона было опубликовано в Лондоне в пяти томах (1779-1785). Однако более глубоко его труды и рукописи стали изучаться лишь с середины 20 в., когда были изданы 7 томов его переписки (Correspondence, 1959-1977) и 8 томов математических рукописей (Mathematical Papers, 1967-1981). На русском языке опубликованы Математические начала натуральной философии Ньютона (первое издание - 1915/1916, последнее - 1989), его Оптика (1927) и Лекции по оптике (1945), избранные Математические работы (1937) и Замечания на книгу «Пророк Даниил и Апокалипсис св. Иоанна» (1916).

Теорема (Формула Ньютона - Лейбница)Если функция непрерывна на отрезке , то справедлива формула

,

Где - первообразная для .

Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей

Пьер Ферма (1601-1665)

«Многие будут приходить и уходить,

а наука обогащается».

Пьер Ферма.

Пьер Ферма (1601-1665) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике (принцип Ферма).

В одном из некрологов Пьеру Ферма говорилось - «Это был один из наиболее замечательных умов нашего века, такой универсальный гений и такой разносторонний, что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном слове».

Пьер Ферма родился на юге Франции в небольшом городке Бомон-де-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был «вторым консулом», т. е. чем-то вроде помощника мэра. Доминик Ферма дал своему сыну Пьеру очень солидное образование. В колледже родного города Пьер приобрел хорошее знание языков - латинского, греческого, испанского, итальянского. Впоследствии он писал стихи на латинском, французском и испанском языках. Пьер Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались за консультацией по поводу трудных мест при изданиях греческих классиков.

Но Ферма направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ученые его времени не имели возможности посвятить себя целиком любимой науке.

Ферма избирает юриспруденцию. Степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). О его юридической деятельности говорится в «похвальном слове», что он выполнял ее «с большой добросовестностью и таким умением, что он славился как один из лучших юристов своего времени».

В 1631 году Пьер Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны - Луизе де-Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым. Ему мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма, вышедшим в 1679 году. К сожалению, Самюэль Ферма не оставил никаких воспоминаний об отце.

При жизни П. Ферма о его математических работах стало известно главным образом через посредство обширной переписки, которую он вел с другими учеными. Собрание сочинений, которое он неоднократно пытался написать, так и не было им создано. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны в рукописи большинству современных ему ученых. Кроме этих трактатов осталась еще обширная и чрезвычайно интересная его переписка. В XVII веке, когда еще не было специальных научных журналов, переписка между учеными играла особую роль. В ней ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались острые научные вопросы.

Корреспондентами Пьера Ферма были крупнейшие ученые его времени Декарт, Паскаль, Христиан Гюйгенс, Торричелли Валлис.

Одной из первых математических работ Пьера Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония «О плоских местах». Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это, несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних.

В конце двадцатых годов Пьер Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной.

В 1637-1638 годах по поводу «Метода отыскания максимумов и минимумов» у Ферма возникла бурная полемика с Декартом. Последний не понял метода и подверг его резкой и несправедливой критике.

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми «параболами» и любыми «гиперболами». Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Пьер Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т. е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей. Таким образом, понятие «площади» у Ферма приобретало уже весьма абстрактный характер.Оставался только шаг, чтобы перейти от площади к еще более абстрактному понятию «интеграл».

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Пьера Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

В задаче второй книги своей «Арифметики» Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал:

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Это и есть знаменитая Великая теорема.

Теорема эта имела удивительную судьбу. В прошлом веке ее исследования привели к построению наиболее тонких и прекрасных теорий, относящихся к арифметике алгебраических чисел. Сам Пьер Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней.

У Пьера Ферма есть много других достижений Он первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Но Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах. Одно из последних писем ученого получило название «завещание Ферма». Вот его заключительные строки:

«Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям, как говорит великий канцлер Англии, следуя чувствам которого, я добавлю: «Многие будут приходить и уходить, а наука обогащается».

Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых поездок.

Блез Паскаль (1623-1662)

Блез Паскаль (1623-1662) - французский математик, физик, религиозный философ и писатель.

Блез Паскаль сконструировал (1641, по другим сведениям - 1642) суммирующую машину. Один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон (Закон Паскаля: давление на поверхность жидкости, производимое внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях). На законе Паскаля основано действие гидравлических прессов и других гидростатических машин.

Блез Паскаль - сын Этьена Паскаля и Антуанетты, урожденной Бегон, родился в Клермоне 19 июня 1623 года. Вся семья Паскалей отличалась выдающимися способностями. Что касается самого Блеза, он с раннего детства обнаруживал признаки необыкновенного умственного развития.

В 1631 году, когда маленькому Паскалю было восемь лет, его отец переселился со всеми детьми в Париж, продав по тогдашнему обычаю свою должность и вложив значительную часть своего небольшого капитала в Отель де-Билль.

Имея много свободного времени, Этьен Паскаль специально занялся умственным воспитанием сына. Он сам много занимался математикой и любил собирать у себя в доме математиков.

Собрания, проходившие у отца Паскаля и у некоторых из его приятелей, имели характер настоящих ученых заседаний. С шестнадцатилетнего возраста молодой Блез Паскаль также стал принимать деятельное участие в занятиях кружка. Он был уже настолько силен в математике, что овладел почти всеми известными в то время методами. Очень часто из Италии и Германии присылались задачи и теоремы, и если в присланном была какая-либо ошибка, Паскаль одним из первых замечал ее.

Шестнадцати лет Блез Паскаль написал весьма примечательный трактат о конических сечениях, то есть о кривых линиях, получающихся при пересечении конуса плоскостью, - таковы эллипс, парабола и гипербола. От этого трактата, к сожалению, уцелел лишь отрывок.

Однако усиленные занятия вскоре подорвали и без того слабое здоровье Паскаля. В восемнадцать лет он уже постоянно жаловался на головную боль, на что первоначально не обращали особого внимания. Но окончательно расстроилось здоровье Паскаля во время чрезмерных работ над изобретенной им арифметической машиной.

Придуманная Паскалем машина была довольно сложна по устройству, и вычисление с ее помощью требовало значительного навыка.

Со времени изобретения Блезом Паскалем арифметической машины имя его стало известным не только во Франции, но и за ее пределами.

По тем открытиям, которые были сделаны Паскалем относительно равновесия жидкостей и газов, следовало ожидать, что из него выйдет один из крупнейших экспериментаторов всех времен. Но здоровье...

Состояние здоровья сына нередко внушало отцу серьезные опасения, и с помощью друзей дома он не раз убеждал молодого Паскаля развлечься, отказаться от исключительно научных занятий. Врачи, видя его в таком состоянии, запретили ему всякого рода занятия; но этот живой и деятельный ум не мог оставаться праздным.

После смерти отца Паскаль, став неограниченным хозяином своего состояния, в течение некоторого времени продолжал еще жить светскою жизнью. Светские развлечения, как ни парадоксально, способствовали одному из математических открытий Паскаля. Некто кавалер де Мере, хороший знакомый ученого, страстно любил играть в кости. Он и поставил перед Блезом Паскалем и другими математиками две задачи. Первая: как узнать, сколько раз надо метать две кости в надежде получить наибольшее число очков, то есть двенадцать; другая: как распределить выигрыш между двумя игроками в случае неоконченной партии.

Необходим был гений Паскаля и Ферма, чтобы понять, что такого рода задачи допускают вполне определенные решения и что «вероятность» есть величина, доступная измерению.

Обе задачи были решены одновременно в Тулузе математиком Ферма и в Париже Паскалем. По этому поводу в 1654 году между Паскалем и Ферма завязалась переписка, и, не будучи знакомы лично, они стали лучшими друзьями. Ферма решил обе задачи посредством придуманной им теории сочетаний. Решение Паскаля было значительно проще: он исходил из чисто арифметических соображений. Нимало не завидуя Ферма, Паскаль, наоборот, радовался совпадению результатов и писал: «С этих пор я желал бы раскрыть перед вами свою душу, так я рад тому, что наши мысли встретились. Я вижу, что истина одна и та же в Тулузе и в Париже».

Работы над теорией вероятностей привели Блеза Паскаля к другому замечательному математическому открытию, он составил так называемый арифметический треугольник, позволяющий заменять многие весьма сложные алгебраические вычисления простейшими арифметическими действиями.

Однажды ночью мучимый жесточайшей зубною болью ученый стал вдруг думать о вопросах, касающихся свойств так называемой циклоиды - кривой линии, обозначающей путь, проходимый точкой, катящейся по прямой линии круга, например колеса. За одной мыслью последовала другая, образовалась целая цепь теорем. Изумленный ученый стал писать с необычайной быстротою. Все исследование было написано в восемь дней, причем Паскаль писал сразу, не переписывая. Две типографии едва поспевали за ним, и только что исписанные листы тотчас сдавались в набор. Таким образом, явились в свет последние научные работы Паскаля.

Это замечательное исследование о циклоиде приблизило Паскаля к открытию дифференциального исчисления, то есть анализа бесконечно малых величин, но все же честь этого открытия досталась не ему, а Лейбницу и Ньютону. Будь Блез Паскаль более здоров духом и телом, он, несомненно, довел бы свой труд до конца.

Паскаль не оставил после себя ни одного цельного философского трактата, тем не менее в истории философии он занимает вполне определенное место. Как философ Блез Паскаль представляет в высшей степени своеобразное соединение скептика и пессимиста с искренно верующим мистиком. Последние годы жизни Паскаля были рядом непрерывных физических страданий. Он выносил их с изумительным героизмом. Потеряв сознание, после суточной агонии Блез Паскаль умер 19 августа 1662 года, тридцати девяти лет от роду.

Якоб Бернулли (1654 - 1705)

Якоб Бернулли (27 декабря 1654, Базель, - 16 августа 1705, там же) - швейцарский математик, старший брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687 года).

Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале учился богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В 1677 году совершил поездку во Францию для изучения идей Декарта, затем в Нидерланды и Англию, где познакомился с Гуком и Бойлем.

Вернувшись в Базель, некоторое время работал частным учителем. В 1684 году женился на Юдит Штупанус ( у них родились сын и дочь).

С 1687 года - профессор физики (позже - математики) в Базельском университете.

1684: штудирует первый мемуар Лейбница по анализу и становится восторженным адептом нового исчисления. Пишет письмо Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил только спустя три года (Лейбниц тогда был в командировке в Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении Лейбниц вступает в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся триумвират - Лейбниц и братья Бернулли - 20 лет возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ.

1699: оба брата Бернулли избраны иностранными членами Парижской Академии наук.

В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер Bernoulli на Луне.

Первое триумфальное выступление молодого математика относится к 1690 году. Якоб решает задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс уже установили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб Бернулли опубликовал доказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин «интеграл».

Якоб Бернулли внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли. Он исследовал также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль. Последнюю из перечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; к сожалению, по невежеству там изобразили спираль Архимеда. Согласно завещанию, вокруг спирали выгравирована надпись на латыни, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), которая отражает свойство логарифмической спирали восстанавливать свою форму после различных преобразований.

Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы «числа Бернулли»

Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре», в которой ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел. Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под названием «Искусство предположений». Это содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применении, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли.

Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.

Теорема Бернулли. Пусть - вероятность наступления ровно «успехов» в независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда

,

где - вероятность «успеха», а - вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Литература

1.Вавилов С.И. Исаак Ньютон 1643-1727. Изд. 4, дополненное. М., Наука, 1989

2.Дмитриев И.С. Неизвестный Ньютон: Силуэт на фоне эпохи. СПб, Алетейя, 1999

3.Самин Д. К. 100 великих ученых. - М.: Вече, 2000

4.

5.

6.

7.