Методические рекомендации для обучающихся по выполнению практических занятий по учебной дисциплине ЕН. 01 Математика 050144 Дошкольное образование

Рабочая программа

по выполнению практических занятий

по учебной дисциплине

ЕН.01 Математика

по специальности СПО

050144 Дошкольное образование

(углубленной подготовки)

2012г.

Разделы содержания

С.

Введение

Методические рекомендации для обучающихся по выполнению практических занятий по дисциплине составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом, рабочим учебным планом, рабочей программой и календарно-тематическим планом учебной дисциплины ЕН.01 Математика по специальности среднего профессионального образования 050144 Дошкольное образование (углубленной подготовки).

Практические занятия относятся к основным видам учебных занятий и составляют важную часть практической подготовки будущих специалистов.

Ведущей дидактической целью предлагаемых практических заня­тий является закрепление теоретических знаний по дисциплине, формирование практических умений, способствующих формированию общих и профессиональных компетенций, необходимых в последующей профессиональной деятельности.

В соответствии с ведущей дидактической целью содержанием практических занятий являются: решение математических задач, анализ полученного решения, сравнения методов решения, определение границ их применения, работа с Интернет-ресурсами, проведение простейших исследовательских работ.

Задачами выполнения практических занятий являются:

- обобщение, систематизация, углубление, закрепление полученных теоретических знаний по конкретным темам дисциплины;

- формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;

- развитие интеллектуальных умений у будущих специалистов: аналитических, проектировочных, конструктивных и др.;

- совершенствование умений и навыков самостоятельной работы с научной, справочной, методической литературой, Интернет-ресурсами и другой информацией, необходимой для повышения эффективности профессиональной деятельности, профессионального самообразования и саморазвития;

- формирование творческого подхода к составлению алгоритмов решения математических задач;

- формирование у студентов навыков исследовательской деятельности;

-выработка при решении поставленных задач таких профессионально значимых качеств, как самостоятельность, коммуникабельность, мобильность, конкурентоспособность, ответственность, точность, творческая инициатива.

В методических рекомендациях представлены 7 тем практических занятий, которые включают цели, средства обучения, содержание, алгоритм выполнения, методические указания к их выполнению, контрольные вопросы, список рекомендуемой литературы, критерии оценивания работы студентов на практических занятиях, контроль и оценка результатов выполнения практических занятий по дисциплине.

Предлагаемые практические занятия носят репродуктивный, частично-поисковый и поисковый характер. Формами организации студентов на практических занятиях являются: фронтальная, групповая и индивидуальная.

При самостоятельной подготовке студентов к практическим занятиям предусматривается изучение рекомендуемой литературы.

В ходе практических занятий студенты в тетрадях для выполнения практических работ записывают задания, решают предложенные задания и проводят анализ их решения. Отдельные задания выполняются на ПК, отчеты предоставляются в электронном виде.

Общие методические указания по выполнению практических занятий

При самостоятельной подготовке к практическим занятиям необходимо составить план работы, повторить лекционный материал, при необходимости подобрать дополнительную литературу.

Для практических занятий студенту необходимо завести тетрадь, где на первой странице указываются фамилия, инициалы студента, название изучаемой дисциплины, на второй указывается перечень выполняемых заданий. Оформлять выполненные задания следует аккуратно, не нарушая логики решения задания.

В ходе практических занятий студенты в тетрадях для выполнения практических работ записывают задания, выполняют их в соответствии с целями, предложенными алгоритмом и критериями, заносят данные о выполнении, результаты выполненной работы и их анализ.

При подготовке к выступлению на практических занятиях необходимо заблаговременно продумать возможность использования наглядного материала (схем, плана, видеозаписи, конспектов, презентации и др.), который поможет студенту проиллюстрировать свой доклад.

Оценки за выполнение практических занятий выставляются по пятибалльной системе и учитываются как показатели текущей успеваемости студентов.

Правила подготовки к практическим занятиям

При подготовке к практическим занятиям студент должен:

• повторить теоретический материал по теме практического занятия;

• уметь составлять план решения задачи, анализировать процесс решения;

• уметь делать выводы, умозаключения, оформлять результаты работы в соответствии с требованиями.

Требования к результатам выполнения практических занятий

по дисциплине ЕН.01 Математика

В процессе подготовки и выполнения практических занятий, обучающиеся должны овладеть следующими

умениями:

- применять математические методы для решения профессиональных задач;

- решать текстовые задачи;

- выполнять приближенные вычисления;

- проводить элементарную статистическую обработку информации и результатов исследований, представлять полученные данные графически.

знаниями:

- понятия множества, отношения между множествами, операции над ними;

- понятия величины и ее измерения;

- историю создания систем единиц величины;

- этапы развития понятий натурального числа и нуля; системы счисления;

- понятия текстовой задачи и процесса ее решения;

- историю развития геометрии;

- основные свойства геометрических фигур на плоскости и в пространстве;

- правила приближенных вычислений;

- методы математической статистики.

Перечень практических занятий

Таблица 2

Практическое занятие № 1

Задание множеств различными способами. Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера-Венна

Цель: научиться задавать множества различными способами, решать задачи с использованием кругов (диаграмм) Эйлера-Венна.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Ответьте на контрольные вопросы.

3. Запишите алгоритм решения задач с применением кругов Эйлера.

4. Решите задачи с применением кругов Эйлера.

Контрольные вопросы

1. Какие основные символы, используемые в теории множеств, вы знаете?

2. Что такое множество? Как его обозначить? Как можно задать множество? Что такое подмножество?

3. Какие основные операции выполняются над множествами?

4. Какое множество можно назвать универсальным?

5. Что такое диаграмма Эйлера-Венна? Проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна объединение и пересечение трёх множеств.

6. Что называется разбиением множества на классы? Назовите условия правильной классификации.

7. Что называется соответствием между двумя множествами? Назовите способы задания соответствий.

8. Какое соответствие называется взаимно-однозначным?

9. Какое множество называется равномощным, равночисленным?

10. Назовите способы задания отношений на множестве.

11. Какое отношение на множестве называется рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

12. Какое множество называют упорядоченным?

Алгоритм решения задач с применением кругов Эйлера

1. Изобразите универсальное множество.

2. С учетом данных задачи изобразите подмножества.

3. Найдите неизвестную область и выделите её на рисунке.

4. Решите задачу, воспользовавшись диаграммой.

5. Проведите алгебраические расчеты.

6. Выпишите ответ. Проведите проверку решения.

Текстовые задачи, решаемые с применением кругов Эйлера

Задача 1. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 - в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Задача 2. В одном канадском городе все жители говорят на английском или французском языке. На английском языке говорят 90% всех жителей, на французском - 80%. Сколько процентов всех жителей говорят на обоих языках?

Задача 3. Каждый из членов команды играет либо в футбол, либо в хоккей, либо в футбол и в хоккей. Сколько человек в команде, если известно, что 18 человек играют в футбол, 21 - в хоккей?

Задача 4. Из 220 студентов 163 играют в шахматы, 175 - в футбол, 22 человека не играют в эти игры. Сколько студентов одновременно играют в шахматы и в футбол?

Задача 5. В группе из 100 туристов 66 человек знают английский язык, 54 знают французский язык и 33 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

Задача 6. Из 20 человек двое изучали только английский, трое только немецкий, шестеро - только французский. Никто не изучал трех языков. Один изучал английский и немецкий, трое - английский и французский. Сколько человек изучало немецкий и французский?

Задача 7. Из 100 студентов английский язык изучают 42, французский - 28, немецкий - 30, французский и немецкий - 8, английский и французский - 10, немецкий и английский - 5, английский, немецкий и французский - 3. Сколько студентов изучают один английский, один немецкий, один французский?

Задача 8. В классе 38 учеников. Из них 16 увлекаются математикой, 17 - физикой, 18 - историей. Увлекаются двумя предметами - математикой и физикой - четверо, математикой и историей - трое, физикой и историей - пятеро. Трое не увлекаются ни математикой, ни физикой, ни историей.

1. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя предметами?

2. Сколько ребят увлекаются лишь одним из этих предметов?

Задача 9. В отряде из 40 ребят 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько ребят умеют плавать и играть в шахматы?

Задача 10. В спортивном лагере 65% ребят умеют играть в футбол, 70% - в волейбол, 75% - в баскетбол. Каково наименьшее число ребят в процентном отношении, умеющих играть и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол?

Задача 11. В лицее при некотором университете 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружков, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

Задача 12. В классе 40 учеников. Из них по украинскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике - 17 человек и по физике - 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки »:по украинскому языку - 11 человек. Семь человек имеют «тройки» и по математике, и по физике, из них пятеро имеют «тройки» и по украинскому языку.

Сколько человек учатся без «троек»?

Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Задача 13. (Задача Льюиса Кэрролла.) В бою 70 из 100 пиратов потеряли глаз, 75 - одно ухо, 80 получили ранение в руку и у 85 была ранена нога. Какое может быть минимальное число тех пиратов, которые получили одновременно все четыре ранения?

Задача 14. После схватки пиратов капитана Флинта с флибустьерами капитана Блада в судовом журнале капитана Флинта было записано: «Все пираты моей команды пострадали. 81% из них потеряли верхний зуб, 82% - нижний, у 83% был подбит правый глаз, у 84% - левый». Как по этим данным установить, какой процент пиратов Флинта одновременно лишился двух зубов и оказался с двумя подбитыми глазами?

Домашнее задание. Решите задачи

Задача 1. В некоторой школе есть класс увлеченных ребят. Семь учеников из этого класса увлекаются математикой, шесть - физикой, пять - астрономией. Четверо из учеников увлекаются математикой и физикой, трое - математикой и астрономией, двое - физикой и астрономией, а один - и математикой, и физикой, астрономией. Сколько учеников в этом классе?

Задача 2. Пол комнаты площадью 12 м² покрыт тремя коврами: площадь одного ковра 5 м², другого - 4 м² третьего - 3 м². Каждые два ковра перекрывают по площади 1,5 м², причем 0,5 м² из этих полутора квадратных метров приходится на участок пола, где перекрываются все три ковра.

а) Какова площадь пола, не покрытого коврами?

б) Какова площадь участка, покрытого только одним ковром, площадь которого 5 м².

Задача 3. Придумайте задания для дошкольников на установление соответствий между множествами (взаимно-однозначных и не являющихся таковыми).

Задача 4. Придумайте множество и задайте на нем отношения. Установите, какими свойствами они обладают (рефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью).

Список рекомендуемой литературы

Основная:

1. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012. - 380с. - (Среднее профессиональное образование).

2. Галушкина, Ю.И., Марьямов, А.Н., Конспект лекций по дискретной математике. - М.: Айрис-пресс, 2007.

3. Москинова, Г.И., Дискретная математика: учебное пособие. - М.: Логос, 2009.

Дополнительная:

1. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу /Под ред. В.А., Садовничего. - М.: Высшая школа, 2007.

2. Воробьева, Г.Н., Данилова, А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая математика, 2010.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика. - М.: Академия, 2010.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] - Режим доступа: http: //www.intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: .

3. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

4. Пехлецкий, И.Д. Математика, - М.: Академия, 2010.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1)выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 2

Практическое измерение величин (длины, площади, массы, промежутков времени) и формулирование правил измерения. Составление диалогов для дошкольников и младших школьников с целью ознакомления их с процессом измерения длины, площади, массы, времени.

Цель: освоить понятия величина, однородные и разнородные величины, свойства однородных величин. Научиться измерять величины. Научиться выявлять зависимости между величинами, переводить единицы измерения в систему SI.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по темам: «Величина», «Свойства однородных величин», «Измерение величин».

2. Рассмотрите алгоритмы измерения величин.

3. Выполните предложенные задания, применяя алгоритм измерения величин.

4. Рассмотрение зависимостей между величинами.

Контрольные вопросы

1. Какие величины называются однородными, разнородными, аддитивными? Приведите примеры.

2. Какие свойства однородных величин вы знаете?

3. Что значит измерить величину? Какова цель измерения?

4. Что называют численным значением величины?

5. Какие величины называются скалярными, векторными?

6. Как связаны величины и их численные значения?

7. Дайте определение длины отрезка, опишите свойства длин отрезков,

процесс измерения отрезка.

8. Дайте определение площади фигуры, опишите свойства площадей

фигуры, процесс измерения площади фигуры.

9. Дайте определение массы тела, опишите процесс измерения массы.

10. Опишите свойства промежутков времени.

Величины и их измерение

Общее понятие величины является непосредственным обобщением более

конкретных понятий: длины, площади, объема, массы, скорости и т.п.

Каждый конкретный род величин связан с определенным способом

сравнения соответствующих свойств объектов.

Так, отрезки сравниваются при помощи наложения и это сравнение

приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая целиком, то длина первого меньше длины второго.

Для сравнения двух предметов по массе - их взвешивают. Если чаши

весов уравновешиваются, то предметы имеют одинаковую массу, если же чаши не уравновешены, то предмет, находящийся на той чаше, которая перетягивает, имеет большую массу, второй предмет - меньшую.

Зависимости между величинами

Понятие величины, принимающей различные численные значения, является отражением изменяемости окружающей нас действительности. Нам известны формулы, связывающие различные величины:

- площадь квадрата и длину его стороны: S=a²,

- объем куба и длину его ребра: V=a³,

- расстояние, скорость, время (при прямолинейном равномерном движении): S=Vt,

- стоимость, цену и количество товара: М=сk и др.

Этапы развития единиц величин

1. Единицы длины отождествляются с частями тела человека: ладонь,

локоть, фут (длина ступни), дюйм (длина сустава большого пальца).

2. Появляются более объективные единицы (14-16 в.в.): дюйм (длина

трех приставленных друг другу ячменных зерен), фут (ширина 64 ячменных зерен, положенных бок о бок), карат (масса семени одного из видов бобов).

3. Вводятся взаимосвязанные единицы: 3 аршина = сажень, 500 саженей

= верста, 7 верст = миля.

4. Создание метрической системы мер (18 в.).

5. Введение Международной системы единиц SI (1960 г.).

Единицы Международной системы SI

Основные

Дополнительные

Производные

Длина

Метр - м

Плоский угол

Радиан - рад

Площадь

Квадратный метр - м²

Масса

Килограмм - кг

Телесный угол

Стерадиан - стер

Время

Секунда - с

Объем

Кубический метр - м³

Сила тока

Ампер - А

Температура

Кельвин - К

Скорость

Метр в секунду - м/сек

Сила света

Кандела - кд

Количество вещества

Моль - моль

Другие

Алгоритм измерения длины А отрезка а

1. Выбрать единичный отрезок е с длиной Е.

2. На отрезке а последовательно отложить от одного из его концов отрезки, равные единичному, пока это возможно.

3. Подсчитать количество отложенных отрезков:

- если отрезок е отложили n раз и конец последнего совпал с концом отрезка а, то численное значение длины отрезка а есть натуральное число, а его длина А= nЕ,

- если отрезок е отложили n раз и получили остаток, меньший е, то на нем откладывают отрезки, равные е₁=0.1е, е₂=0.01е и т.д. Таким образом, численное значение длины отрезка а будет выражено десятичной дробью, т.е. положительным действительным числом х, и длина отрезка А = хЕ.

Алгоритм измерения площади

1. Выбрать единицу площади Е (обычно квадрат со стороной равной единичному отрезку е).

2. Сравнить площадь фигуры с площадью единичного квадрата Е.

3. Результат сравнения обозначить числом, которое называют численным значением площади S_фигуры = хЕ, где х - численное значение площади.

Алгоритм измерения массы

1. Выбрать тело, масса которого принимается за единицу (предполагается, что можно взять и ее доли 0,1; 0,01; и т.д.).

2. На одну чашу весов положить измеряемое тело, а на другую - тела, выбранные в качестве единицы массы (гири), так, чтобы весы были уравновешены.

3. Посчитать численное значение массы гирь. Это и будет численным значением искомой массы.

Задание 1. Придумайте план обучения дошкольников измерению длины (полосками)

Задание 2. Придумайте план обучения дошкольников измерению объема (стаканами).

Задание 3. Придумайте сюжеты для работы с младшими дошкольниками, в процессекоторых вы познакомите детей с общепринятыми мерами величин: метром, сантиметром, дециметром, килограммом, литром, секундой, минутой и их измерениями.

Задание 4. Составьте диалоги для дошкольников с целью ознакомления их с некоторыми свойствами и процессом измерения длины, площади, массы, времени.

Задание 5. Сформулируйте определение объема тела, процесса его измерения и свойства (по аналогии с площадью). Придумайте задание для дошкольника, в процессе которого он будет измерять объем коробки.

Задание 6. Подберите примеры ситуаций

а) в процессе труда в природе по обучению сравнению предметов по величине,

б) в процессе изобразительной деятельности по развитию глазомера.

Домашнее задание

1. Вспомните формулы, не рассмотренные на практическом занятии,

раскрывающие связи между различными величинами. Назовите единицы этих величин.

2. Подберите задачи для дошкольников, в которых дети используют знания о зависимостях между величинами.

3. Выпишите старинные единицы величин, встречающиеся в детской литературе. Найдите в справочниках их численные значения в единицах системы SI. В каких странах они зародились?

Список рекомендуемой литературы

Основная:

1. Стойлова, Л.П. Математика. - М.: Просвещение, 2007.

2. Фрейлах, Н.И. Математика. - М.: Инфра-М, 2008.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика. - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012. - 380с. - (Среднее профессиональное образование).

2. Галушкина, Ю.И., Марьямов, А.Н., Конспект лекций по дискретной математике. - М.: Айрис-пресс, 2007.

3. Москинова, Г.И., Дискретная математика: учебное пособие. - М.: Логос, 2009.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] - Режим доступа: http: //www.intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: .

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) владеет полным объемом теоретического материала по теме занятия;

2) знает и понимает алгоритмы измерения величин;

3) выполняет измерение величин различными способами;

4) самостоятельно выполняет задание по измерению величин;

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) владеет теоретическим материалом по теме занятия;

2) знает и понимает алгоритм измерения величин;

3) выполняет измерение величин;

4) выполняет задание по измерению величин, используя алгоритм;

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) частично владеет теоретическим материалом по теме занятия;

2) понимает алгоритм измерения величин;

3) выполняет задание по измерению величин с помощью преподавателя;

4) имеет затруднения при измерении величин.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если:

1) частично владеет теоретическим материалом по теме занятия;

2) путается в измерениях величин;

3) не выполняет задание по измерению величин.

Практическое занятие № 3

Формулирование определений и свойств геометрических фигур на плоскости. Изображение геометрических фигур на плоскости.

Составление диалогов для дошкольников и младших школьников на выявление существенных свойств понятий: треугольник, квадрат, прямоугольник, четырехугольник, многоугольник.

Цель: рассмотреть основные понятия геометрии, классификацию геометрических фигур; научиться изображать изучаемые геометрические фигуры; познакомиться с историей возникновения и развития геометрии, Евклидовой геометрией и геометрией Лобачевского, правилами построения геометрии.

Средства обучения: таблица «Геометрические фигуры, их классификация», тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Заслушивание докладов и сообщений об истории возникновения и развития геометрии;

2. Повторение теоретического материала в виде ответов на вопросы;

3. Конспектирование теоретического материала «Геометрические фигуры на плоскости, их свойства».

4. Выполните задания №1-7.

5. Знакомство с геометрической фигурой как множеством точек, классификация геометрических фигур. Обсуждение определений геометрических фигур и свойств однородных величин;

6. Выполнение заданий №8-10.

Контрольные вопросы:

1. Что изучает геометрия, планиметрия, стереометрия?

2. Что называется геометрической фигурой?

3. Назовите правила построения геометрии.

4. Какие фигуры называются равными, плоскими, выпуклыми?

5. Назовите основные геометрические фигуры?

6. Дайте определение отрезка, луча. Как они изображаются?

7. Какие углы вы знаете? Дайте им определения. Изобразите их.

8. Какая фигура называется многоугольником? Изобразите правильный многоугольник, выпуклый многоугольник.

9. Какой геометрической фигурой являются: вершина многоугольника, сторона многоугольника, вершина угла, сторона угла?

Геометрические фигуры на плоскости, их свойства.

ТРЕУГОЛЬНИК. Термин образован путем соединения двух слов: "три" и "угол". Слово "три" общеславянское, индоевропейского характера (сравним в греческом "трйс" - "три"). Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные и прямоугольные треугольники, затем - равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. В русских учебниках геометрии конца XIX и. используются такие термины, как "треугольники о равных бедрах», "бок угла", "бок квадрата". Только в последнее десятилетие XIX в. устанавливается знакомая нам терминология.

Треугольник - это многоугольник с тремя сторонами.

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. Термин образован путем соединения слов «четыре» и «угол». Четыре - общеславянское слово (сравним в литовском «кетичи» "четыре'', и в латинском "кватор" - ''четыре").

Четырехугольник - это многоугольник, имеющий четыре стороны.

ПРЯМОУГОЛЬНИК. Термин образован путем соединения двух слов: "прямой" и "угол".

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Прямоугольник является параллелограммом. Прямоугольник, у которого смежные стороны конгруэнтны, называется квадратом.

КВАДРАТ. Термин образовался как буквальный перевод соответствующего греческого слова "квадратус" - "четырехугольный".

Квадрат - это прямоугольник, у которого длины всех сторон равны. Квадрат - правильный четырехугольник.

Круг - это множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которой до данной точки этой плоскости не больше данного расстояния.

ОВАЛ. Французское слово "оваль" - "овальный" произошло от латинского "овум" - "яйцо".

Овал - замкнутая выпуклая гладкая плоская кривая.

ОКРУЖНОСТЬ. В переводе с греческого это слово означает "периферия".

Окружность - это множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в той же плоскости и называемой ее центром. Окружность - это граница круга.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Это слово образовано путем соединения двух греческих слов: "параллелос" - "параллельный" и "грамме" - "линия", т.е. буквально переводится как "параллельнолинейный".

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

РОМБ. Одни считают, что этот термин произошел от греческого слова "ромбос", означающего ''бубен", т.к. ромб похож на четырехугольный бубен, другие - от греческого слова "'ромб", которое означает «вращающееся тело», «веретено», т.к. сечение в обмотанном веретене имеет форму ромба.

Ромб - что параллелограмм, все стороны которого конгруэнтны

ТРАПЕЦИЯ. Греческое слово "трапедзион" переводится как "столик" (сравним со словом "трапеза"). Раньше трапецией называли любой четырехугольник (не параллелограмм). Лишь в XVII п. это слово приобрело современный смысл.

Трапеция - это выпуклый четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Задание 1. Можно ли из палочек длиной 10 см, 6 см, 4 см сложить треугольник?

Задание 2. Установите вид треугольника (по углам), если один из его внутренних углов:

- равен сумме двух других,

- больше суммы двух других,

- меньше суммы двух других.

Задание 3. Столяру нужно заделать отверстие треугольной формы. Какие он должен снять размеры, чтобы изготовить латку? Что он должен измерить, если отверстие имеет форму:

- прямоугольного треугольника;

- равностороннего треугольника.

Задание 4. Докажите, что почтовый конверт склеивается из листа бумаги, имеющей форму ромба (припуски на склеивание не учитывать).

Задание 5. Назовите 5 свойств параллелограмма и 5 свойств прямоугольника. Какие из них содержатся в его определении, а какие надо доказывать? Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Задание 6. Сколько окружностей можно провести через:

- одну точку;

- две точки;

- три точки, не лежащие на одной прямой?

Задание 7. Окружность разделена в отношении 1:2:3, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного треугольника.

Геометрические фигуры, их классификация

ФИГУРА. Латинское слово, означает "образ", "вид", "начертание". Этот термин вошел в общее употребление в XII в. До этого чаще употреблялось другое латинское слово - "форма", также означающее ''наружный вид", "внешнее очертание предмета".

Любая геометрическая фигура представляет собой множество точек, в том числе одну точку тоже принято считать геометрической фигурой.

Классификация геометрических фигур

Основные геометрические фигуры: точка, прямая, плоскость.

Фигуры на плоскости

Основные понятия:

точка, прямая

отрезок, луч

Углы:

прямой, острый, тупой, развернутый

Ломаные:

незамкнутая замкнутая

Кривые:

незамкнутая

замкнутые: овал, окружность

Круг

Многоугольники

Выпуклые

Невыпуклые

Правильные

Треугольники:

равнобедренный,

равносторонний,

прямоугольный,

остроугольный

тупоугольный

Четырехугольники:

прямоугольник,

квадрат,

параллелограмм,

ромб,

трапеция

Фигуры в пространстве

Многогранники

Выпуклые многогранники

Невыпуклые многогранники

Пирамида

Призмы:

треугольная

шестиугольная

четырехугольные: параллелепипед, куб

Правильные выпуклые многогранники:

Тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

Тела вращения:

цилиндр, конус, шар

Задание 8. Постройте цепочку определений через род и видовое отличие: отрезок → ломаная → многоугольник → четырехугольник → прямоугольник → квадрат.

Задание 9. Определите, какие отношения между фигурами устанавливают, и какие операции над фигурами выполняют дети, получив следующие задания:

1. Нарисуй круг и квадрат так, чтобы:

- круг находился в квадрате,

- квадрат находился в круге,

- квадрат и круг пересекались,

- квадрат и круг не пересекались.

2. Закрась:

- часть фигуры между границей круга и квадрата,

- общую часть фигур.

Задание 10. Придумайте задания для дошкольников с геометрическими фигурами, которые предполагают их объединение, пересечение, дополнение.

Домашнее задание

1. Площадь круга египтяне считали равной площади квадрата, сторона которого составляет диаметра. Чему при таких подсчетах оказывается равным число ?

2. В каждой нижеприведенной теореме выделите условие и заключение:

- хорда, не проходящая через центр окружности, меньше диаметра этой окружности;

- углы, с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если оба они острые или оба тупые;

- для того чтобы два угла в сумме составляли 180, достаточно, чтобы они были смежными.

3. Для каждой из приведенных ниже теорем сформулируйте обратное утверждение.

- сумма смежных углов равна 180;

- соответственные углы, получающиеся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равны;

- если в треугольнике один угол тупой или прямой, то два других - острые.

4. Проанализируйте аксиоматики положенные в основу школьных учебников геометрии, ответив на следующие вопросы:

- какие понятия и отношения выбраны в качестве основных?

- какие группы аксиом выделены? Составьте список всех аксиом.

5. Верно ли, что:

- каждое понятие геометрии можно определить с помощью других, более постых понятий?

- в геометрии существуют понятия, которые принимаются без определения?

- аксиома - это предложение, которое не требует доказательства?

6. Как найти центр окружности, если он неизвестен?

7. В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены?

8. Разрежьте по диагонали произвольный прямоугольник и из полученных треугольников составьте всевозможные выпуклые многоугольники.

9. Составьте диалоги для дошкольников на выявление существенных свойств понятий: треугольник, квадрат, прямоугольник, четырехугольник, многоугольник.

Список рекомендуемой литературы

Основная:

1. Атанасян, Л.С. Геометрия: учебник для общеобразовательных учреждений: - М.: Просвещение, 2009.

2. Стойлова, Л.П. Математика: учебное пособие. - М.: Просвещение, 2007.

3. Фрейлах, Н.И. Математика - М.: Инфра-М, 2008.

4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. - М., 1998.

5. История математики. Т. 1 / Под ред. Юшкевича А.Г. - М., 2000.

6. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012. - 380с. - (Среднее профессиональное образование).

Дополнительная:

1. Стойлова, Л.П. Математика. - М.: Просвещение, 2007.

2. Фрейлах, Н.И. Математика. - М.: Инфра-М, 2008.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика. - М.: Академия, 2010.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] - Режим доступа: http: //www.intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: .

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы, не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 4

Формулирование определений и свойств геометрических фигур в пространстве. Изображение геометрических фигур в пространстве. Проигрывание ситуаций на распознавание дошкольниками и младшими школьниками моделей и предметов, имеющих форму куба, параллелепипеда, пирамиды, конуса, цилиндра, шара и обсуждение их свойств.

Цель: изучить геометрические фигуры в пространстве, их свойства, научиться изображать изучаемые геометрические фигуры.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Повторение теоретического материала в виде ответов на вопросы.

2. Обсуждение определений геометрических фигур в пространстве, их свойств.

3. Изображение объемных геометрических фигур.

4. Выполнение заданий.

Контрольные вопросы:

1. Что изучает геометрия, планиметрия, стереометрия?

2. Что называется геометрической фигурой?

3. Какие фигуры называются равными, плоскими, выпуклыми? Приведите примеры.

4. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости и в пространстве.

5. Дайте определение треугольника. Какие виды треугольников вы знаете? Какими свойствами они обладают?

6. Какая фигура называется многоугольником? Изобразите правильный многоугольник, выпуклый многоугольник.

7. Дайте определение выпуклого четырехугольника.

8. Определите понятия «параллелограмм», «трапеция», «ромб», «прямоугольник», «квадрат», использую в качестве родового понятие четырехугольника.

9. Дайте определение круга и окружности.

Геометрические фигуры в пространстве, их свойства.

МНОГОГРАННИК. Термин образован путем соединения двух слов "много"' и "грань".

Многогранник - геометрическое тело, граница которого есть объединение конечного числа многоугольников.

Выпуклый многогранник называется правильным, если у него все грани - правильные конгруэнтные многоугольники и все многогранные углы конгруэнтны.

Грань многогранника - это плоский многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника и ограниченный ее ребрами.

РЕБРО. Общеславянское слово, образованное от основы «реб», имеющей индоевропейский характер (сравним и англосакском ''рибби" - "ребро", "узкий край", "сторона предмета").

Ребрами многогранника называются стороны граней многогранника.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. Термин образован путем соединения двух греческих слов: "параллелос" - "параллельный" и "эпипедос" - "плоскость".

Параллелепипед - призма, основанием котopoй является параллелограмм.

Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны плоскости основания, то параллелепипед называется прямым, и противном случае - наклонным. Если основание прямого параллелепипеда - прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным.

Прямоугольный параллелепипед с разными измерениями называется кубом.

Куб - это правильный шестигранник. Куб - это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между собой.

ПИРАМИДА. Одни считают, что греческое слово ''пирамида" происходит от египетского "пирамус" - "боковое ребро сооружения". Существует другое предположение: термин берет своё начало от формы хлебцев в Древней Греции, т.е. является производным от греческого слова "пирос" - "рожь". Некоторые ученые считают, что термин произошел от греческого слона "пир" - "огонь", т.к. пламя иногда напоминает по форме пирамиду.

Пирамида - это многогранник, одна из граней которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину.

ПРИЗМА. Греческое слово "призма" означает "отпиленный кусок", "отпиленная часть".

Призма - это многогранник, у которого две грани - конгруэнтные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы. Конгруэнтные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а другие грани (параллелограммы) - боковыми гранями призмы.

Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, называется прямой призмой, в противном случае - наклонной. Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом

КОНУС. Происходит от греческого "конос", что в переводе означает «сосновая шишка" или "остроконечная верхушка шлема", "кегля", "остроконечный предмет".

Конус - это геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, пересекающей ее по замкнутой кривой.

Если основание конуса есть круг и вершина конуса проецируется в центр круга, то конус называется прямым круглым конусом. Он образуется вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Пирамида есть частный случай конуса, когда его основание многоугольник.

Цилиндр - это тело, полученное пересечением цилиндрической поверхности и двумя параллельными плоскостями.

Прямой круговой цилиндр - это тело, образованное вращением прямоугольника около одной из его сторон.

Шар - это множество точек трехмерного пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки не больше данного расстояния. Шар - это тело, ограниченное сферой.

СФЕРА. Термин происходит от греческого "сфайра" - "шар", "мяч".

Сфера - это множество точек трехмерного пространства, находящихся на данном положительном расстоянии от данной точки.

Задание 1. Изобразите на листе бумаги:

- прямую призму, основаниями которой являются правильные шестиугольники;

- параллелепипед;

- правильную пирамиду, основанием которой является квадрат.

Задание 2. Выпуклый многогранник имеет 6 вершин и 8 граней. Найдите число ребер и изобразите этот многогранник.

Задание 3. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 1,1,2.

Задание 4. Среди перечисленных фигур выберите тела вращения: круг, цилиндр, овал, сфера, окружность, шар, додекаэдр, точка. Изобразите их.

Задание 5. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7см.

Домашнее задание

1. Нарисуйте пятиугольную пирамиду. Покажите ее основание, боковую поверхность, боковые грани и ребра. Какими геометрическими фигурами они являются?

2. Придумайте игровые упражнения и диалоги к ним для детей (возраст определите сами) на распознавание геометрических тел: куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, конуса, цилиндра, шара.

Список рекомендуемой литературы

Основная:

1. Атанасян, Л.С. Геометрия: учебник для общеобразовательных учреждений: - М.: Просвещение, 2009.

2. Стойлова, Л.П. Математика: учебное пособие. - М.: Просвещение, 2007.

3. Фрейлах, Н.И. Математика - М.: Инфра-М, 2008.

4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. - М., 1998.

5. История математики. Т. 1 / Под ред. Юшкевича А.Г. - М., 2000.

6. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012. - 380с. - (Среднее профессиональное образование).

Дополнительная:

1. Стойлова, Л.П. Математика. - М.: Просвещение, 2007.

2. Фрейлах, Н.И. Математика. - М.: Инфра-М, 2008.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика. - М.: Академия, 2010.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] - Режим доступа: http: //www.intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: .

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы, не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 5

Составление и решение текстовых задач разными методами и способами. Построение различных моделей для решения задач.

Обсуждение примеров обучения старших дошкольников решению задач по этапам с использованием различных моделей. Разбор педагогических ситуаций, в которых ребенок неправильно решил задачу, с демонстрацией различных способов проверки правильности ответа.

Цель: познакомиться с текстовой задачей, ее структурой; научиться составлять и решать текстовые задачи различными методами и способами, строить различные модели для решения задач.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Ответьте на контрольные вопросы.

2. Составление и решение текстовых задач различными методами и способами.

3. Обсуждение примеров обучения дошкольников решению задач по этапам с использованием различных моделей.

4. Решение задач.

Текстовые задачи

Структура задачи: условие, вопрос, решение, ответ.

Виды задач

- задачи-драматизации (действующими лицами условий задачи являются дети), с таких задач необходимо начинать обучение;

- задачи-иллюстрации (условие изображается на иллюстрациях или моделях);

- устные задачи без наглядности.

Типы задач (в зависимости от выполняемых действий и вопросов)

- задачи, в которых неизвестна сумма или разность (D+О=? О-D=?)

- если неизвестно одно слагаемое или вычитаемое (D+?=О О-?=D)

- задачи на разностные отношения (задаются вопросы: на сколько больше стало?).

Методы решения задачи

1. Практический.

2. Арифметический.

3. Алгебраический.

4. Геометрический.

5. Логический.

Этапы решения текстовой задачи

1. Восприятие и анализ задачи.

2. Поиск и составление плана решения.

3. Выполнение плана решения.

4. Проверка решения задачи.

Этапы моделирования в процессе решения текстовой задачи

1. Перевод задачи на математический язык.

2. Внутримодельное решение.

3. Перевод полученного решения на естественный язык.

Контрольные вопросы

1. Какая задача называется текстовой?

2. Какова структура текстовой задачи?

3. Что значит решить задачу?

4. Что значит задача решена практическим, арифметическим, алгебраическим, геометрическим, логическим методом?

5. Назовите основные этапы решения текстовой задачи, раскройте цели и приемы их выполнения.

6. Что такое математическая модель?

7. Назовите этапы моделирования в. процессе решения текстовых задач

8. Какие виды моделей используют в процессе решения текстовых задач?

Задание 1. Решите задачу различными арифметическими способами: Расстояние между двумя городами по железной дороге 720 км. Два поезда одновременно выходят навстречу друг другу и встречаются через 10 часов. Скорость одного поезда на 8 км/ч больше скорости второго поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Задание 2. Решите задачу логическим методом: Из девяти монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?

Задание 3. Ответьте на поставленный вопрос, решив задачу арифметическим методом, выделите этапы решения задачи и приемы их выполнения: «Сколько лап у трех кошек?».

Задание 4. Решите задачу. Выделите этапы моделирования в процессе ее решения: «Сколько надо купить линолеума, чтобы застелить полы в комнате шириной 3м и длиной 6м?»

Задание 5. Для решения данной задачи постройте все виды схематизированных моделей: «В коробке 12 карандашей. Скольким детям можно поровну разделить все карандаши?»

Задание 6. Придумайте педагогическую ситуацию, в которой ребенок неправильно решил задачу, и продемонстрируйте различные способы проверки правильности ответа.

Задание 7. Придумайте задачу, постройте для ее решения различные модели: вспомогательные (реальные предметы, предметы-заместители, рисунок, схему, чертеж, краткую запись, таблицу) и решающие (числовое выражение, уравнение).

Задание 8. Предложите бытовую ситуацию (ремонт квартиры, приготовление пищи или др.), в которой вы вынуждены прибегнуть к решению задачи. Выявите этапы моделирования в процессе решения этой задачи.

Домашнее задание

1. Придумайте задачи с лишними или недостающими данными для старших дошкольников.

2. Придумайте простую задачу и решите ее различными возможными методами.

3. Придумайте составную задачу и решите ее арифметическим методом двумя способами.

4. Напишите диалог с ребенком (возраст определите сами), отражающий процесс решения конкретной задачи по этапам.

5. Подберите логические задачи для дошкольников и проведите рассуждения в процессе их решения.

Список рекомендуемой литературы

Основная:

1. Стойлова, Л.П. Математика. - М.: Просвещение, 2007.

2. Фрейлах, Н.И. Математика. - М.: Инфра-М, 2008.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика. - М.: Академия, 2010.

4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. - М., 1998.

5. История математики. Т. 1 / Под ред. Юшкевича А.Г. - М., 2000.

Дополнительная:

1. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012. - 380с. - (Среднее профессиональное образование).

2. Галушкина, Ю.И., Марьямов, А.Н., Конспект лекций по дискретной математике. - М.: Айрис-пресс, 2007.

3. Москинова, Г.И., Дискретная математика: учебное пособие. - М.: Логос, 2009.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] - Режим доступа: http: //www.intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: .

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы, не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно»ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 6.

Вычисление значений выражений. Практические приёмы вычислений с приближёнными данными. Нахождение погрешности приближений и вычислений.

Цель: научиться использовать методы приближенных вычислений.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Рассмотрите пример №1, решения задач №1, 2.

3. Выполните задания.

Контрольные вопросы:

1. Понятие случайной и систематической ошибки.

2. Понятие погрешности измерения.

3. Перечислите способы округления чисел.

Приближенное значение величины. Абсолютная погрешность.

Измерения и вычисления с давних времен играют важную роль в жизни человека. Необходимость подсчитывать урожай, измерять емкость сосудов, размеры земельных участков, производить расчеты при строительстве крупных сооружений - вот далеко не полный перечень задач, решаемый людьми с давних времен.

Но вычисления играют уже не только вспомогательную, но и основную роль во многих научных и технических достижениях. Во всех случаях, когда нужно довести до конца решение какой либо математической задачи практического характера, необходимо получить численный результат. Если исходные данные приближенные, то нельзя добиться любой степени точности результата. Возникает необходимость оценки точности исходных данных. Надо уметь определять какая точность результата может быть достигнута и какая точность результата нужна при практическом использовании полученных численных результатов. В одних вычислениях требуется получить результат с очень большой точностью, а в других такая точность не требуется. Отсюда ясно, что нужно организовывать вычисления так, чтобы получать результаты с требуемой точностью при минимальной затрате вычислительного труда. Для этого необходимо :

- изучить принципы и правила вычислений с приближенными данными;

- овладеть необходимыми навыками рациональных вычислений.

В практической деятельности человеку приходится измерять разные величины, производить различные вычисления. Измерить - сопоставить с некоторым эталоном. Например, измерим ширину стола, толщину. Т.е. мы сопоставили линейный размер стола с линейкой. Как вы думаете это абсолютно верное число?... Результатами различных измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Числа полученные в результате измерений лишь приблизительно, с некоторой степенью точности характеризуют искомые величины. Точные измерения невозможны ввиду неточности измерительных приборов, несовершенства наших органов зрения и особенностей самих предметов.

Существует несколько способов классификации ошибок, самый простой из них:

1. - систематическая ( присутствует постоянно, обычно связана с средством измерения)

2. - случайная ( меняется, обычно связана с методом измерения)

систематические ошибки обусловлены неточностью измерительных приборов, а к случайные особенностями объектов измерения….

Ошибка это сам факт неточности измерения, а погрешностью называют количественную оценку ошибочного измерения.

Рассмотрим на примере как оценить систематическую ошибку, т.е. найти систематическую погрешность. Возьмем линейку и определим цену наименьшего деления - 1мм. Фактически это означает, что этой линейкой нельзя измерить точнее чем 1мм. Если говорить строго то систематическая погрешность этого измерительного устройства равна 1мм.( цена наименьшего деления).

Посмотрите на свои часы скажите мне чему равна систематическая погрешность вашего устройства для измерения промежутка времени, аргументируйте свой ответ. Секунда, минута....

Методика оценки случайных ошибок значительно трудней и зависит от многих факторов. Мы с вами этим заниматься не будем. В каждой науке свои приемы учета случайных ошибок.

Полная погрешность измерения некоторой величины а включает в себя как систематическую, так и случайную погрешности.

Пример 1: возьмите ручку измерьте ее длину (143мм). Могу ли я утверждать что длина ручки ровно 143мм? Нет. Какова систематическая погрешность моего измерения? (1мм) Если учесть, что это измерение провожу очень аккуратно, то случайная погрешность будет намного меньше систематической и в качестве полной погрешности можно принять величину 1мм.

Теперь я могу сказать длина ручки лежит в пределах от 142 мм до 144мм.

Математически записывают L_ручки= (143+1) мм.

Запишем строго наши рассуждения.

Если имеется некоторая величина а, истинное значение которой неизвестно, а приближенное значение этой величины равно х, то пишут а х.

В теории погрешности вводится еще одна величина относительная погрешность, которая определяется следующим образом

Иногда эту величину выражают в процентах, умножая на 100.

Вернемся к нашему примеру с ручкой. Вычислим относительную погрешность нашего измерения или 0,7%.

Принято считать удовлетворительным измерение величины, если относительная погрешность менее 1%.

Задача 1: измерьте толщину ручки и оцените относительную погрешность.

У меня получилось или 12,5% очень плохое измерение. В учебных лабораториях допускается до относительная погрешность до 5%. Т. о. измерение длины ручки выполнено точнее.

В отличии от абсолютной погрешности, которая чаще бывает размерной величиной, относительная погрешность является безразмерной величиной.

Задача 2: число π3,1415927. Найдите относительные погрешности следующих приближений этого числа: 3,1; 3,14; 3,142 округляем.

ОТВЕТЫ: 3%; 0,3%; 0,03%.

Первое приближение неудовлетворительное именно поэтому мы не используем число 3,1. Второе приближение удовлетворительное, а третье излишне громоздкое.

Ученные занимающиеся высокоточными технологиями (космос..) в расчетах допускают относительную погрешность менее тысячной доли %.

В обыденной жизни для описания значения какой либо величины вполне достаточно использовать три две значащие цифры.

Относительная погрешность характеризует качество измерения величины.

Основные задачи теории погрешности:

- прямая задача , приближенно описать точно неизвестное значение некоторой величины. Фактически это означает задать ее приближенное значение, абсолютную и относительную погрешности;

- обратная задача, зная необходимую точность измерения (т.е. относительную погрешность) определить пределы в которых лежит значение точно неизвестной величины (абсолютную погрешность).

Округление чисел

Существует три способа округления чисел:

1. Округление с недостатком до k -й значащей цифры, состоит в отбрасывании всех цифр начиная с k-й.

2. Округление с избытком, последняя округляемая цифра увеличивается на единицу.

3. Округление с наименьшей погрешностью.

Задания

1 вариант

1. Округлить натуральное число 2,718281828….. до 2-й значащей цифры: с недостатком, с избытком, с наименьшей погрешностью.

2. Какова абсолютная погрешность и относительная погрешность округленного в 1-м задании натурального числа.

3. Измерьте длину и ширину листа, определите приближенное значение площади листа, найдите абсолютную и относительную погрешности этого значения.

4. Определите свою частоту пульса (число ударов за минуту) двумя способами:

- считая число ударов за минуту;

- посчитав число ударов за 15 секунд.

Найдите абсолютную и относительную погрешности обоих измерений. Сравните результаты измерений. Сделайте выводы.

2 вариант

1. Округлить натуральное число 2,718281828….. до 3-й значащей цифры: с недостатком, с избытком, с наименьшей погрешностью.

2. Какова абсолютная погрешность и относительная погрешность округленного в 1-м задании натурального числа.

3. Измерьте длину и ширину листа, определите приближенное значение площади листа, найдите абсолютную и относительную погрешности этого значения.

4. Определите свою частоту пульса (число ударов за минуту) двумя способами:

- считая число ударов за минуту;

- посчитав число ударов за 15 секунд.

Найдите абсолютную и относительную погрешности обоих измерений. Сравните результаты измерений. Сделайте выводы.

3 вариант

1. Округлить натуральное число 2,718281828….. до 4-й значащей цифры: с недостатком, с избытком, с наименьшей погрешностью.

2. Какова абсолютная погрешность и относительная погрешность округленного в 1-м задании натурального числа.

3. Измерьте длину и ширину листа, определите приближенное значение площади листа, найдите абсолютную и относительную погрешности этого значения.

4. Определите свою частоту пульса (число ударов за минуту) двумя способами:

- считая число ударов за минуту;

- посчитав число ударов за 15 секунд.

Найдите абсолютную и относительную погрешности обоих измерений. Сравните результаты измерений. Сделайте выводы.

4 вариант

1. Округлить натуральное число 2,718281828….. до 5-й значащей цифры: с недостатком, с избытком, с наименьшей погрешностью.

2. Какова абсолютная погрешность и относительная погрешность округленного в 1-м задании натурального числа.

3. Измерьте длину и ширину листа, определите приближенное значение площади листа, найдите абсолютную и относительную погрешности этого значения.

4. Определите свою частоту пульса (число ударов за минуту) двумя способами:

- считая число ударов за минуту;

- посчитав число ударов за 15 секунд.

Найдите абсолютную и относительную погрешности обоих измерений. Сравните результаты измерений. Сделайте выводы.

Домашнее задание

1. Вычислить:

2. Изобразить график функции:

3. Найти 75% от числа 800

4. Решить уравнение:

5. Решить неравенство:

6. Сколько Вам лет? (с точностью до года; месяца; дня; часа; минуты; секунды)

Список рекомендуемой литературы

Основная:

1. Атанасян, Л.С. Геометрия: учебник для общеобразовательных учреждений: - М.: Просвещение, 2009.

2. Стойлова, Л.П. Математика: учебное пособие. - М.: Просвещение, 2007.

3. Фрейлах, Н.И. Математика - М.: Инфра-М, 2008.

4. История математики. Т. 1 / Под ред. Юшкевича А.Г. - М., 2009.

5. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Дополнительная:

1. Стойлова, Л.П. Математика. - М.: Просвещение, 2007.

2. Фрейлах, Н.И. Математика. - М.: Инфра-М, 2008.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика. - М.: Академия, 2010.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] - Режим доступа: http: //www.intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: .

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы, не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 7

Построение и анализ таблиц и графиков в статистике.

Цель: ввести понятия задач математической статистики, научиться находить характеристики вариационного ряда.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Законспектируйте решение типовых задач.

3. Рассмотрите примеры решения типовых задач.

4. Решите задачу.

Контрольные вопросы

1. Понятие генеральной совокупности, выборки, среднего арифметического, медианы.

2. Раскройте понятия: корреляция случайных величин, уравнение регрессии.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка.

Выборочной совокупностью (или выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.

Объёмом совокупности (генеральной или выборочной) называется число объектов этой совокупности.

Статистическим распределением выборки называют перечень наблюдавшихся значений х_к признака Х и соответствующих им частот n_k(или относительных частот n_k/n), записанных в возрастающем порядке.

Полигоном относительных частот дискретно распределённого признака Х называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁ ; n₁/n), (x₂ ; n₂/n),…(x_k; n_k/n).

Гистограммой относительных частот непрерывно распределённого признака Х называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы h охватывающие все наблюдаемые значения признака Х, а высоты равны отношению n_k/ (nh). Площадь такой гистограммы равна единицы.

Выборочная средняя (служит оценкой математического ожидания генеральной совокупности) вычисляется по формуле

Выборочная дисперсия (служит оценкой генеральной дисперсии) определяется по формуле

Для расчётов удобнее использовать следующую формулу:

Несмещённой называют точечную оценку (число, полученное по выборке признака Х),математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.

Несмещённой точечной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя.

Смещённой точечной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия.

Несмещённой оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия.

Интервальной называют оценку в виде интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надёжностью γ покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надёжностью γ) математического ожидания а нормально распределённого признака Х по выборочной средней и исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:

где t_γ - коэффициент Стьюдента, находят из таблицы по заданным n и γ (см. приложение).

Интервальной оценкой (с надёжностью γ) среднего квадратического отклонения σ нормально распределённого признака Х по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:

где q находится из таблицы по заданным n и γ (см. приложение).

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х полученное по результатам выборки имеет вид линейного приближения от х

где r _B - выборочный коэффициент корреляции, равный

Если , то связь между случайными величинами достаточно вероятна.

Остаточной дисперсией называют величину

Примеры решения типовых задач

1. Изучая демографическую ситуацию в городе, группа исследователей на основе репрезентативной (представительной) выборки объёмом n = 100 составила таблицу, содержащую следующие данные: количество несовершеннолетних детей (признак Х) и доход на одного члена семьи (признак Y, тыс. руб.).

У

Х

0 - 4

2

4 - 8

6

8 - 12

10

12 - 16

14

16 - 20

18

n_x

0

-

3

5

5

3

16

1

7

15

13

5

1

41

2

7

11

8

6

-

32

3

4

5

2

-

-

11

n_у

18

34

28

16

4

n=100

а) По выборке дискретно распределённого признака X требуется: а) изобразить полигон выборки; б) определить выборочное среднее и выборочную дисперсию случайной величины X.

б) По выборке дискретно распределённого признака Y требуется: а) изобразить гистограмму выборки; б) определить выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение случайной величины Y; в) определить доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания и неизвестного среднего квадратического отклонения случайной величины Y. Предполагается, что случайная величина распределена нормально. Доверительная вероятность равна 0,95.

Решение.

а) По оси ординат откладываем варианты выборки признака Х - количество несовершеннолетних детей - 0 ; 1 ; 2 ; 3.

По оси абсцисс откладываем соответствующие им относительные частоты- 16/100; 41/100; 32/100; 11/100.

б) Определяем выборочное среднее:

Определяем выборочную дисперсию:

а) По оси ординат откладываем интервалы выборки признака Y.

По оси абсцисс откладываем соответствующие им отношения , где h - величина заданных интервалов ( в задании h = 4 тыс.руб.). Для расчётов параметров выборки принимаем середины интервалов.

б) Определяем выборочное среднее:

Определяем выборочную дисперсию:

Определяем выборочное среднее квадратическое отклонение:

в) Определяем несмещённую оценку Из таблицы выбираем коэффициент Стьюдента и вычисляем величину Тогда получим доверительный интервал для оценки математического a ожидания признака Y:

Т.е. с надёжностью 0,95 (или на 95%) можно утверждать, что в указанном интервале находится средний доход (в тыс. руб.), приходящийся на одного жителя города.

По таблице приложения определяем показатель q (0,95 ; 100) = 0,143. Тогда получим доверительный интервал неизвестного среднего квадратического отклонения признака Y:

2. Найти реализацию уравнения линейной регрессии Y на Х. Если связь признаков Y и Х достаточно вероятна, то оценить, на сколько в среднем рождение ребёнка сказывается на величине дохода в расчёте на одного члена семьи.

Вычислим среднее квадратическое отклонение выборки Х:

Вычислим коэффициент корреляции:

Подставляем найденные величины в уравнение линии регрессии Y на Х

или окончательно:

Т.к. то связь между рассматриваемыми признаками достаточно вероятна.

В среднем рождение ребёнка уменьшает доход на одного члена семьи на сумму около 1,83 тыс. руб.

Изобразим схематически в координатах ХY выборочное распределение по признакам и построим линию регрессии. Размеры маркеров на рисунке пропорциональны соответствующим вариантам выборки.

Решите задачу:

Дана корреляционная таблица цен У на подержанные автомобили ВАЗ в зависимости от срока эксплуатации автомобиля Х. Найти реализацию уравнения линейной регрессии У на Х и оценить на сколько в среднем падает цена на автомобиль за один год эксплуатации. Вычислить остаточную дисперсию.

Х, лет

У, тыс.руб.

0 - 2

2 - 4

4 - 6

6 - 8

8 - 10

200 - 250

2

150 - 200

8

8

100 - 150

5

20+N

10+M

2

50 - 100

10-N

20-M

5

0 - 50

2

5

3

Домашнее задание: решите задачу

Дана корреляционная таблица цен У на подержанные автомобили ВАЗ в зависимости от срока эксплуатации автомобиля Х. Найти реализацию уравнения линейной регрессии У на Х и оценить на сколько в среднем падает цена на автомобиль за один год эксплуатации. Вычислить остаточную дисперсию.

Х, лет

У, тыс.руб.

0 - 2

2 - 4

4 - 6

6 - 8

8 - 10

200 - 250

2

150 - 200

8

8

100 - 150

5

20+N

10+M

2

50 - 100

10-N

20-M

5

0 - 50

2

5

3

Список рекомендуемой литературы

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2007.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] - Режим доступа: http: //www.intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: .

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1)выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Список литературы

Нормативная литература и источники:

1. Федеральный государственный образовательный стандарт по специальности СПО 140448 050144 Дошкольное образование (утверждён приказом Министерства образования и науки РФ 05.11.2009г. № 530)

2. Рабочая программа учебной дисциплины ЕН.01 Математика по специальности СПО 050144 Дошкольное образование (углубленной подготовки).

Основная:

1. Горелова, Г.В., Кацко, И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебное пособие для вузов. - Ростов н/Д.: Феникс, 2005.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

3. Галушкина, Ю.И., Марьямов, А.Н., Конспект лекций по дискретной математике. - М.: Айрис-пресс, 2007.

4. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2001. - 380с.

5. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 2002. - 405с.

6. Гарнаев, А.Ю. Самоучитель VBA. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 512с.

7. Москинова, Г.И., Дискретная математика: учебное пособие. - М.: Логос, 2009.

8. Кочетков, Е.С., Смерчинская, С.О., Соколов, В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003. - 240с.- (Серия «Профессиональное образование»).

9. Стойлова Л.П., Пышкало А.М., Основы начального курса математики: учебное пособие для учащихся педагогических училищ.- М.: Просвещение, 2008.

10. Пехлецкий, И.Д. Математика. - М.: Академия, 2010.

11. Фрейлах Н.И., Математика.-.М.: ИД «Форум»-Инфра-М, 2008.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] - Режим доступа: http: //www.intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: .

Контроль и оценка результатов выполнения практических занятий

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Формы и методы контроля и оценки результатов выполнения практических занятий

Умения

Применять математические методы для решения профессиональных задач

Решать текстовые задачи

Выполнять приближенные вычисления

Проводить элементарную статистическую обработку информации и результатов исследований

Представлять полученные данные графически

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Тестирование

Анализ выполнения самостоятельной работы

Наблюдение и анализ выполнения письменных заданий

Устный опрос

Анализ выполнения контрольной работы

Знания

Понятия множества, отношения между множествами, операции над ними

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Анализ выполнения самостоятельной работы

Наблюдение и анализ выполнения письменных заданий

Понятия величины и ее измерения;

историю создания систем единиц величины

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Тестирование

Анализ выполнения самостоятельной работы

Наблюдение и анализ выполнения письменных заданий

Устный опрос

Анализ выполнения контрольной работы

Этапы развития понятий натурального числа и нуля; системы счисления

Понятия текстовой задачи и процесса ее решения

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Тестирование

Анализ выполнения самостоятельной работы

Наблюдение и анализ выполнения письменных заданий

Устный опрос

Анализ выполнения контрольной работы

Исследовательские проекты

Историю развития геометрии

Основные свойства геометрических фигур на плоскости и в пространстве

Правила приближенных вычислений

Методы математической статистики

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Тестирование

Анализ выполнения самостоятельной работы

Наблюдение и анализ выполнения письменных заданий

Устный опрос

Анализ выполнения контрольной работы