Конспект урока алгебры в 11 классе по теме Способы решения иррациональных уравнений

План - конспект урока алгебры в 11 М классе

по теме «Способы решения иррациональных уравнений»

Цели:

1. Образовательные: усвоить различные способы решения иррациональных уравнений и научиться применять их в соответствии с заданным уравнением.

2. Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, сознательного отношения к учению, познавательной активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока - урок изучения нового материала.

ПЛАН УРОКА:

1. Организационный момент

2. Подготовка к изучению нового материала

3. Изучение нового материала

4. Первичная проверка понимания

5. Подведение итогов урока

6. Домашнее задание

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Подготовка учащихся к работе на уроке.

II. Подготовка к изучению нового материала

1. Формулирование целей урока для определения действий школьников во время лекции.

2. Повторение.

а) Определение иррационального уравнения

б) Решение уравнений

• уравнение равносильно системе

• уравнение равносильно любой из систем

или

в) Наиболее распространенный метод решения иррациональных уравнений - последовательное возведение в степень.

3. Решите уравнение

(Учащиеся должны высказать разные предположения, и они затрудняются решить данное уравнение, учитель предлагает оставить его и решить после изучения других способов решения иррациональных уравнений)

III. Изучение нового материала

Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются иррациональные уравнения, так как отсутствуют общие алгоритмы их решения и приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям, не равносильным данным. Рассмотрим случаи, когда проще свести решение уравнения к решению следствия и проверке. Следствия могут быть получены:

1. Последовательным возведением исходного уравнения в степень.

2. Заменой исходного уравнения системой уравнений.

3. Умножением обеих части исходного уравнения на разность радикалов.

4. Использованием монотонности функций в левой части уравнения.

5. Использованием подстановок, сводящих исходное уравнение к рациональному.

1. Пусть дано уравнение .

Возведем обе части уравнения в куб, воспользовавшись формулой

(a + b)³= a³ + b³ + 3ab(a + b).

Получим уравнение

Заменим сумму кубических корней величиной с и получим следствие последнего уравнения: . Это уравнение решается последовательным возведением в куб.

Пример: Решите уравнение

Это уравнение равносильно уравнению

Следствием его является уравнение

Решение - х = 80. Проверка показывает, что это число является корнем данного уравнения.

2. Некоторые уравнения удобно заменить системой уравнений.

Пример: Решите уравнение

Возведение в степень не дает результата. Тогда сделаем замену:

Заменим данное уравнение системой Исключая из первых двух уравнений переменную х, получим систему Решаем эту систему методом подстановки, получимa₁=0, a₂= -2, a₃= 1, тогда х₁=2, х₂=10, х₃= 12. Проверка показывает, что все найденные значениях есть корни данного уравнения.

Этот прием хорош в том случае, когда сумма или разность подкоренных выражений есть константа.

3. Уравнения вида , в котором разность подкоренных выражений есть число, можно решать, умножив обе части уравнения на разность радикалов.

Пример: Решите уравнение

Умножив обе части уравнения на разность корней, получим уравнение

Сложив почленно эти уравнения, получим и х = . Проверка показывает, что найденное число корень данного уравнения.

4. При решении некоторых уравнений полезно воспользоваться тем, что функция монотонна.

Пример: Решите уравнение

В левой части уравнения сумма возрастающих функций, а в правой - константа, значит уравнение имеет не более одного корня. х = 1 - корень уравнения.

5. Решить уравнение

Решение:

Обозначая Получим

Откуда t = -3, t = 2.

Следовательно,

Согласно проверке, x = 2 корень исходного уравнения.

IV. Первичная проверка понимания</</p>

1. Почему данные уравнения не имеют корней?

a)

б)

в)

г)

2. Решите уравнения:

а)

б)

в)

V. Подведение итогов урока

VI. Домашнее задание на выбор:

1. Решить уравнения:

2. Пообобрать или придумать иррациональные уравнения, решаемые изученными приемами

3. Индивидуальное задание для желающих: Найти в пособиях по математике другие способы решения иррациональных уравнений.