ПОНЯТИЕ ЦЕЛОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО СТЕПЕНИ

Понятие целого уравнения и его степени

Цели: ввести понятие целого уравнения и его степени; формировать умение определять степень целого уравнения и решать целые уравнения не выше второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, сколько корней имеет уравнение:

а) 2х + 1 = 0; д) 3х + 1 = 5 + 3х;

б) х² - 5 = 0; е) х² + 2х + 1 = 0;

в) х⁵ + 1 = 0; ж) х² + х + 10 = 0;

г) х⁶ + 2 = 0; з) 1 - 4х = 1 - 4х.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке достаточно ввести понятие целого уравнения и его степени; рассмотреть примеры приведения целого уравнения к виду Р (х) = 0, где Р (х) - многочлен; обратиться к решению целых уравнений первой и второй степени. Вопрос о методах решения целых уравнений выше второй степени целесообразно изучить на следующем уроке.

Объяснение проводится по следующей с х е м е:

1. В в е д е н и е п о н я т и я целого уравнения.

После формирования определения данного понятия необходимо дать учащимся задание на распознавание целых уравнений.

З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются целыми? Ответ объясните.

а) х⁴ + 2х³ - 7 = 0; г) - 5х³ = 0;

б) 4х¹⁰ = 0,7х⁸; д) ;

в) (х - 1) (3х² + 5) = х⁴ + 2; е) = 0.

2. В в е д е н и е п о н я т и я степени целого уравнения.

После введения данного понятия дать учащимся задание на определение степени целого уравнения.

З а д а н и е. Какова степень уравнения:

а) 2х⁵ + 4х - 3 = 0; г) - 5х = 7;

б) х⁷ + 5х = 0; д) (2х + 1) (х - 7) - х = 0;

в) х¹¹ = х³; е) 5х² - 4х² (1 - х) = 0?

3. Р а с с м о т р е н и е р е ш е н и я линейных и квадратных уравнений как целых уравнений первой и второй степени соответственно.

Необходимо, чтобы учащиеся осознали следующее:

1) изученные ранее линейные и квадратные уравнения являются целыми уравнениями первой и второй степени соответственно;

2) уравнение первой степени может иметь не более одного корня;

3) уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют задания на определение степени целого уравнения и приведение целых уравнений к виду Р (х) = 0. Для решения нужно предлагать им уравнения не выше второй степени.

Упражнения:

1. Приведите уравнение к виду Р (х) = 0 и определите его степень:

а) 2х (1 - 3х) + (х + 4) (х² - 1) = 0;

б) (х³ - 2) (1 + 3х²) - 3 (х⁴ - 1) = 5;

в) (х - 1) (х + 2) (х - 3) = х - 4х² (2 - х⁵).

2. Какие из следующих чисел -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:

а) х³ - 4х = 0;

б) х² (х + 1) + (х + 4) = 4;

в) х⁴ - 5х² + 4 = 0?

3. № 266 (а, в), № 267 (б, г).

4. № 268.

Р е ш е н и е

5х⁶ + 6х⁴ + х² + 4 = 0.

Выражения 5х⁶, 6х⁴ и х² могут принимать только неотрицательные значения при любых значениях х. Поэтому выражение 5х⁶ + 6х⁴ + х² + 4 при любых значениях х принимает только положительные значения, а значит, не может быть равно нулю, то есть уравнение 5х⁶ + 6х⁴ + х² + 4 = 0 не имеет решений.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 270.

Р е ш е н и е

Пусть ребро куба равно х см, тогда его объем равен х³ см³. Если увеличить ребро куба на 3 см, то оно станет равно (х + 3) см, а объем куба будет равен (х + 3)³ см³.

Составим и решим уравнение:

(х + 3)³ = х³ + 513;

х³ + 9х² + 27х + 27 = х³ + 513;

9х² + 27х - 486 = 0;

х² + 3х - 54 = 0;

х = 6;

х = - 9 - не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 6 см.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какое уравнение называется целым?

- Что такое степень целого уравнения?

- Какова степень уравнения 2х³ - 5 + х⁶ = 0?

- Сколько корней может иметь целое уравнение первой степени? второй степени?

Домашнее задание: № 266 (б ( 1 вариант), г(2 вариант)), № 267 (а, в), № 269.