Урок на тему: 'Касательная. Уравнение касательной'

Тема урока: Касательная. Уравнение касательной

ЦЕЛИ УРОКА (Образовательные ,развивающие ,воспитательные):

●Уточнить понятие « касательной»

●Вывести уравнение касательной.

●Составить алгоритм « Составления уравнения касательной к графику функции y=f (x)»

●Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

ЗАДАЧИ УРОКА:

● Отработать умения и навыки по применению производной.

●Расширять кругозор, развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.

●Развивать умения анализировать, обобщать, показывать , использовать элементы исследования.

МОТИВАЦИЯ УЧАЩИХСЯ (ДЕВИЗ УРОКА): ●ПЛОХИХ ИДЕЙ НЕ БЫВАЕТ

●МЫСЛИТЕ ТВОРЧЕСКИ

●РИСКУЙТЕ

● НЕ КРИТИКУЙТЕ

2.ПОВТОРЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

Цель: проверить знание основных правил дифференцирования.

Найти производную функции:

1. Y=5

2. Y=3

3. Y=3x + 5

4. Y=

5. Y=

6. Y=

Поменяйтесь тетрадью с соседом, оцените работу. Тест проверяют сами учащиеся.

3. АКТУАЛИЗАЦИЯ

Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной.

Что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что « Касательная- это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?

Рассмотрим конкретные примеры:

Прямая х=1 имеет с параболой у = одну общую точку М (1; 1) , однако не является касательной к параболе.

Прямая же у = 2х - 1, проходящая через ту же точку,является касательной к даной параболе.

Рисунок № 1

Рисунок №2

Прямая х = π не является касательной к графику у = , хотя имеет с ним единственную общую точку К (π ;1 ) . С другой стороны, прямая у = -1 , проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида ( π + 2 πk ; 1) , касается графика.

4. Изучение нового материала

Что же такое касательная?

Касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой.( у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(x).

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а) ) и пусть существует производная f '(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную. Уравнение касательной - это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? ( да, k = f '(а).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) - ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) - f '(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f '(а)x + f(a) - f '(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом:

(а, f (а) ) - точка касания

1. f '(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент

2. (х,у) - любая точка касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении, давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x)

5. Составление алгоритма

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.

2. Вычислим f(a).

3. Найдем f '( х) и вычислим f '( а).

4. Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.

5. y = f(a) + f '(а) · (x-a).

6. Закрепление

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой

а = -1.

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.

1. а = -1;

2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

3. f '(x) = 2х - 3,
   f '(a) = f '(-1) = -2 - 3 = -5;

4. y = 9 - 5 · (x + 1),

y = 4 - 5x.

Ответ: y = 4 - 5x.

Задание №1

1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = 1. Вычислите значение производной

f'(x) в точке а= 1.

Решение: для решения необходимо вспомнить, что если известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = , где (x₁;у₁), (х₂; у₂)- координаты точек А, В соответственно. По графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1; -2) и (3; -1), значит к=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

к= fˈ(1)=0,5

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f'(x) в точке а = -2.

Решение : график проходит через точки (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

7.Самостоятельная работа

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

8.Домашнее задание

Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10

9. Подведение итогов.

• Что называется касательной к графику функции в точке?

• В чём заключается геометрический смысл производной?

• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?